浙江省金華師范附屬小學 潘洪波

遞歸是一種算法，無論是學習計算機語言，還是學習算法，遞歸一直伴隨其中；遞歸也是一種思維方式，許多復(fù)雜的問題用遞歸的方式來思考就很容易解決。采用遞歸算法編寫的程序直觀、易讀，理解遞歸概念，掌握遞歸本質(zhì)，學會用遞歸編寫程序，對小學生以后的學習將有很大的幫助。筆者以六年級學生為教學對象，在編程社團中經(jīng)過幾年的實踐，總結(jié)出“準、明、歸、倒、煉”五步遞歸教學法。

一、準

準，即導入的案例要精準，能讓學生形成正確的第一感性認識。

小學生學習遞歸總是難以入門、難以掌握，為什么會這樣？常規(guī)課堂教學一般采用故事導入，如老和尚講故事——“從前有座山，山上有座廟，廟里有一個老和尚在給小和尚講‘從前有座山，山上有座廟，廟里有一個老和尚在給小和尚講……’”，或用“德羅斯特效應(yīng)”導入，比較經(jīng)典的就是一個人拿著一個相框，相框里他拿著相框……

用這類故事導入生動有趣，容易活躍課堂氣氛，但對理解遞歸的本質(zhì)是不利的。遞歸的本質(zhì)就是分而治之，通過“遞”將一個大型的、復(fù)雜的問題層層分解為若干與原問題性質(zhì)相同的、規(guī)模更小的子問題來處理，當規(guī)模小到一定程度時，可以直接得出它的解，然后利用“歸”,層層回歸、逐步向上求解就可以得到原問題的解。用函數(shù)實現(xiàn)時，因為解決大問題的方法和解決小問題的方法往往是同一種方法，所以就產(chǎn)生了直接或間接調(diào)用自身的情況。遞歸算法是一種“自己調(diào)用自己”“有去有回”的算法。

“老和尚講故事” “德羅斯特效應(yīng)”有的只是“自己調(diào)用自己”的重復(fù)，但并沒有分而治之的思想（將大問題解決轉(zhuǎn)化成小的子問題），也沒出現(xiàn)遞歸結(jié)束條件，更沒有“遞”和“歸”以及“有去有回”的過程。用這類故事導入，容易讓學生形成一種錯誤的認識:遞歸就是重復(fù),遞歸就是循環(huán)。

第一印象、第一感知很重要，如果一開始就理解錯了，以后就更難學了。有沒有更好的例子呢？筆者選用《小學生C++趣味編程》中“交作業(yè)啦”為課堂導入的例子。

這個例子中有分而治之的思想：求第1 個學生交的作業(yè)數(shù)，可以先求第2 個學生要交的作業(yè)數(shù)；求第2個學生交的作業(yè)數(shù)，可以先求第3 個學生要交的作業(yè)數(shù)……要解決的問題性質(zhì)不變但規(guī)模越來越小。每個學生都是收作業(yè)，就是“自己調(diào)用自己”。前一個學生轉(zhuǎn)過去對后一個學生說“交作業(yè)啦”，這就是“遞”的過程?！暗? 個是格萊爾，她是一組中的最后一個學生”，這就是遞歸結(jié)束條件，可以直接得出它的解。把自己的作業(yè)連同收到的作業(yè)交給前一個同學，這就是“歸”的過程?！敖蛔鳂I(yè)啦”完整地演繹了遞歸算法的“自己調(diào)用自己” “有去有回”的過程，能讓學生形成正確的第一感性認識。

二、明

明，即讓學生明白遞歸的概念及遞歸程序的執(zhí)行過程。教學時可以先分析執(zhí)行過程再提出概念，這樣就能讓學生在動態(tài)的過程中理解靜態(tài)的概念。

遞歸程序在執(zhí)行時分兩步：第一步是“遞歸前進”；第二步是“遞歸返回”。要想讓學生明白這一過程，教師可以畫一畫遞歸執(zhí)行圖。（見圖1）

圖1 遞歸執(zhí)行圖

學生在繪制“遞”與“歸”的路徑中動態(tài)地理解遞歸概念。程序執(zhí)行zuoye(1)時，要調(diào)用zuoye(2)；執(zhí)行zuoye(2)時，要調(diào)用zuoye(3)……執(zhí)行zuoye(6)時，要調(diào)用zuoye(7)，這就是“遞歸前進”。zuoye(7)為1，求出zuoye(6)為2； zuoye(6)為2，求出zuoye(5)為3……最后求出zuoye(1)為7，這就是“遞歸返回”。

三、歸

歸，即根據(jù)遞歸執(zhí)行圖，找到邊界條件及邊界值，歸納出遞歸表達式。在歸納遞歸表達式時，先寫出分步表達式，再歸納出綜合表達式，因為分步表達式會在題目中直接或間接地呈現(xiàn)，容易寫出，而綜合表達式需要推理才能得出，難度大一些，在此要遵循先簡單后復(fù)雜的原則。

分步表達式：

zuoye(1)=zuoye(2)+1

zuoye(2)=zuoye(3)+1

zuoye(3)=zuoye(4)+1

zuoye(4)=zuoye(5)+1

zuoye(5)=zuoye(6)+1

zuoye(6)=zuoye(7)+1

zuoye(7)= 1

綜合表達式：

這樣，根據(jù)遞歸表達式寫出程序就容易多了。

在此過程中，教師要讓學生明白，遞歸表達式是解決問題的通式，掌握歸納遞歸表達式的方法——可以先寫出分步表達式，找出其中的規(guī)律，再寫出綜合表達式。同時要讓學生明白，并不是所有的問題都能用遞歸的方法來解決，用遞歸解決問題時是有條件的：原問題可轉(zhuǎn)化為規(guī)模更小的子問題，子問題和原問題有相同的解決方法；問題可以繼續(xù)轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化后問題規(guī)模更??；在有限次轉(zhuǎn)化后，根據(jù)遞歸結(jié)束的條件（邊界條件）能得到最小子問題的值（邊界值）。

四、倒

倒，即根據(jù)程序倒推出遞歸表達式，畫出遞歸執(zhí)行圖,并說一說程序的作用，進行鞏固練習，只有鞏固后才能應(yīng)用。這個過程可以借助于閱讀程序?qū)懡Y(jié)果方式進行由淺入深的訓練。

可以先讓學生說一說、寫一寫上面這個程序遞歸表達式，在說和寫遞歸表達式時，要先綜合表達式后分步表達式（因為此時綜合表達式、邊界條件和邊界值在程序中能找到，而分步表達式需要推理才能得出，所以寫出綜合表達式比分步表達式容易），然后畫一畫遞歸執(zhí)行圖，交流“遞”與“歸”的具體執(zhí)行路徑，最后思考程序的功能。

同時也可以引導學生針對遞歸的問題用遞推的方式來解,先找到最小問題的解，然后逐步求稍大問題的解，最后求出原問題的解，為遞歸與遞推的轉(zhuǎn)化做鋪墊。

需要注意的是，入門階段遞歸函數(shù)參數(shù)的個數(shù)要少，建議用一個，不用兩個或多個，主程序調(diào)用遞歸函數(shù)實參數(shù)值要小，建議在5 以內(nèi),這樣易于小學生分析、畫圖、理解，可以節(jié)約時間、提高學習效率。

五、煉

煉，即提煉出編寫遞歸程序的方法,以實現(xiàn)學以致用。

這個過程以上機編程訓練為主，訓練時可分兩步走：第一步，根據(jù)已知邊界條件和邊界值、遞歸表達式直接寫出程序；第二步，根據(jù)問題描述，由學生自己找出邊界條件和邊界值，推導出遞歸表達式，然后編寫程序。

所選的題目題意要淺顯，要讓學生很容易就能找到邊界條件和邊界值，歸納出遞歸表達式。學生不應(yīng)花大量的時間在數(shù)學分析上、花大量的精力在數(shù)學公式的推導上，應(yīng)把時間和精力放在“遞歸”本身上。題目只是載體，學生通過這個載體來學習、鞏固、提高、應(yīng)用遞歸算法。