韓龍淑 柳瓔乃 李露

摘? ? ? 要 選取人教A版高中數(shù)學(xué)新舊教材中“函數(shù)的零點與方程的解”課題，采用內(nèi)容分析法和比較研究法，從課題的呈現(xiàn)位置和名稱、內(nèi)容編排、旁白設(shè)置、例習(xí)題類型和難度方面進(jìn)行比較，旨在發(fā)現(xiàn)新教材的變化特點。并據(jù)此提出課題導(dǎo)入突出數(shù)學(xué)新知識產(chǎn)生的必要性、內(nèi)容生成遵循數(shù)學(xué)知識內(nèi)在的邏輯體系、課堂提問彰顯數(shù)學(xué)教材旁白的思維導(dǎo)向功能和鞏固檢測突出數(shù)學(xué)例習(xí)題的拓展性等教學(xué)建議。

關(guān) 鍵 詞 人教A版高中數(shù)學(xué)新舊教材? 函數(shù)的零點與方程的解? 數(shù)學(xué)思維

引用格式 韓龍淑，柳瓔乃，李露.高中數(shù)學(xué)新人教A版“函數(shù)的零點與方程的解”的變化與教學(xué)建議[J].教學(xué)與管理，2023（15）：66-69.

數(shù)學(xué)教材是教師進(jìn)行課堂教學(xué)與學(xué)生學(xué)習(xí)的重要載體，是極其重要的數(shù)學(xué)教學(xué)資源。教師對數(shù)學(xué)教材的理解及合理運用是課程實施的基礎(chǔ)和關(guān)鍵[1]。函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的核心概念和大觀點，是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)?！昂瘮?shù)的零點與方程的解”屬于函數(shù)應(yīng)用的內(nèi)容，是高中數(shù)學(xué)的核心知識和教學(xué)難點，有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和直觀想象等核心素養(yǎng)。

隨著《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》的頒布，高中數(shù)學(xué)教材也隨之進(jìn)行了修訂，2019年高中數(shù)學(xué)人教A版教材（以下簡稱新教材）與2004年高中數(shù)學(xué)人教A版教材（以下簡稱舊教材）相比，“函數(shù)的零點與方程的解”的內(nèi)容發(fā)生了較大的變化。數(shù)學(xué)教師需要及時把握新舊教材的異同，從而讀懂新教材的變化特點并創(chuàng)造性地運用。然而，通過多次觀摩“函數(shù)的零點與方程的解”的課堂教學(xué)發(fā)現(xiàn)：多數(shù)教師對函數(shù)的零點產(chǎn)生的必要性和優(yōu)越性認(rèn)識不足，一些教師在課堂中未體現(xiàn)用函數(shù)零點求相應(yīng)方程的解的思想，而是又用方程的解返回去求相應(yīng)函數(shù)的零點，從而引起學(xué)生思維的無序和混亂。在中國知網(wǎng)以“函數(shù)的零點與方程的解比較研究”為主題進(jìn)行檢索，發(fā)現(xiàn)模糊匹配的文章僅有2篇，且都是對舊版教材相關(guān)內(nèi)容的比較[2，3]。因此，研究高中數(shù)學(xué)人教A版新教材中“函數(shù)的零點與方程的解”的內(nèi)容變化具有重要意義。

一、高中數(shù)學(xué)新人教A版中“函數(shù)的零點與方程的解”內(nèi)容的變化

以人教A版高中數(shù)學(xué)新舊教材中“函數(shù)的零點與方程的解”為研究對象，采取內(nèi)容分析法和比較研究法，發(fā)現(xiàn)新教材中課題的呈現(xiàn)位置和名稱、內(nèi)容編排、旁白設(shè)置、例習(xí)題類型和難度方面發(fā)生的變化。

1.新教材中課題的呈現(xiàn)位置和名稱發(fā)生變化

（1）新教材中課題的呈現(xiàn)位置發(fā)生變化

新舊教材中“函數(shù)的零點與方程的解”雖然都編排在必修一，但從表1可看出，舊教材中該內(nèi)容位于第三章“函數(shù)的應(yīng)用”的第一節(jié)“函數(shù)與方程”，新教材中函數(shù)的應(yīng)用分為（一）、（二）兩部分，該內(nèi)容屬于函數(shù)的應(yīng)用（二）。

（2）新教材中課題的名稱表述調(diào)換順序且把“根”變?yōu)椤敖狻?/p>

從表1可看出，新舊教材中該課題的名稱表述發(fā)生了變化：舊教材為“方程的根與函數(shù)的零點”，新教材為“函數(shù)的零點與方程的解”。新教材將“函數(shù)的零點”前移，突出用函數(shù)的觀點研究方程的解，表明利用函數(shù)零點求方程的解屬于函數(shù)的應(yīng)用。課題名稱中用“解”代替“根”，對于一元方程來說根和解是兩種不同的表述方式，但在多元方程中用方程的解來表述，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)概念表述的嚴(yán)謹(jǐn)性。

2.新教材中知識的編排方式發(fā)生變化

（1）新教材的課題導(dǎo)入突出學(xué)習(xí)內(nèi)容產(chǎn)生的必要性

從表2可看出，在創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入課題方面，舊教材以思考一元二次方程的根與二次函數(shù)圖象的關(guān)系導(dǎo)入，通過探究和歸納獲得函數(shù)零點的概念。而新教材用問號框圖提出問題：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了用二次函數(shù)的觀點認(rèn)識一元二次方程，知道“一元二次方程的實數(shù)根是相應(yīng)二次函數(shù)的零點”，“像lnx+2x-6=0這樣不能用公式求解的方程，是否也能采用類似的方法，用相應(yīng)的函數(shù)研究它的解的情況呢”？為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了疑難的問題情境，提供了類比推理的探究思路。

（2）新教材的內(nèi)容生成注重類比特殊函數(shù)的零點并調(diào)整等價順序

舊教材將方程存在實數(shù)根轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)圖象與x軸有交點，再等價于對應(yīng)函數(shù)有零點。而新教材將原先位于舊版必修五教材中的“二次函數(shù)與一元二次方程、不等式”一節(jié)設(shè)置在必修一的第二章第三節(jié)，梳理了初中數(shù)學(xué)相關(guān)知識并定義了二次函數(shù)的零點，以此引導(dǎo)學(xué)生用類比的方法定義一般函數(shù)的零點概念。方程f（x）=0有實數(shù)解，即存在實數(shù)x使方程f（x）=0成立，直接求方程的實數(shù)解不易時，從函數(shù)的觀點看即是求函數(shù)y=f（x）當(dāng)函數(shù)值f（x）=0時的x值，因此把使f（x）=0的實數(shù)x稱為函數(shù)的零點。從而將不易直接求方程解的問題，化歸為求對應(yīng)函數(shù)的零點問題。函數(shù)y=f（x）有零點，則函數(shù)的圖象與x軸有交點，因此函數(shù)的零點是函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)，進(jìn)而獲得函數(shù)零點的幾何意義，如圖1所示。

（3）新教材中“函數(shù)零點的存在性”呈現(xiàn)了定理名稱并突出零點個數(shù)

舊教材以 “一般地，我們有：”為開頭表述函數(shù)零點存在的判定，未呈現(xiàn)函數(shù)零點存在定理的名稱，而新教材用藍(lán)色字呈現(xiàn)函數(shù)零點存在定理。同時，新教材將舊教材內(nèi)容中“函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）有零點”改為“函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)至少有一個零點”，此變化有助于學(xué)生產(chǎn)生“具體有幾個零點”的疑問，凸顯用函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行證明的必要性。新教材還將“方程f（x）=0的根”變?yōu)椤胺匠蘤（x）=0的解”，從而呼應(yīng)課題名稱的變化，如圖2所示。

3.新教材中的旁白設(shè)置發(fā)生變化

旁白是指教材正文旁邊的小字或圖片，有助于啟發(fā)和促進(jìn)師生對教學(xué)內(nèi)容的深入理解。旁白按其功能主要有探究類旁白和注釋類旁白。探究類旁白通過創(chuàng)設(shè)問題情境為師生引導(dǎo)思考方向，注釋類旁白為教材正文內(nèi)容做出解釋[4]。

新舊教材中“函數(shù)的零點與方程的解”的旁白如圖3所示，都屬于探究類旁白。其中對函數(shù)f（x）=lnx+2x-6，新舊教材都提示要對該函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明。但新教材的旁白增加了反問：為什么由圖象和f（2）f（3）<0還不能說明函數(shù)只有一個零點？以此引導(dǎo)學(xué)生思考和感悟函數(shù)單調(diào)性對于確定其零點個數(shù)的必要性。

4.新教材中例習(xí)題的類型、難度及要求發(fā)生變化

（1）新教材中例習(xí)題的類型更加豐富

舊教材的例習(xí)題主要分為例題、練習(xí)、習(xí)題A組、習(xí)題B組四種，其中例題出現(xiàn)在正文部分，練習(xí)出現(xiàn)在小節(jié)知識點之后。而新教材中的例習(xí)題分為例題、練習(xí)、復(fù)習(xí)鞏固、綜合運用和拓廣探索五種，后三種屬于習(xí)題。新舊教材中的練習(xí)題大都是數(shù)值運算或通過簡單推理便可得出。但新教材中還設(shè)置有證明題和改錯題，不僅豐富了習(xí)題的類型，還提高了對學(xué)生數(shù)學(xué)思維批判性品質(zhì)的要求。

（2）新教材中例習(xí)題的難度有所變化

研究者提出了例習(xí)題綜合難度因素的水平劃分表[5]，之后優(yōu)化為五因素、四水平綜合難度模型[6]，此模型的計算公式為：

di=（i=1，2，3，4，5;j=1，2，3，4）

其中di表示第i個難度要素的權(quán)重，代表五個難度要素的值。dij為第i個難度要素的第j程度的權(quán)重，nij表示第i個難度要素在第j程度上的問題的數(shù)量。借助此模型對新舊教材中“函數(shù)的零點與方程的解”部分的例習(xí)題進(jìn)行難度分析，見表3。

從表3中可以看出，新舊教材“函數(shù)的零點與方程的解”的例習(xí)題注重考察學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知能力。新教材的例習(xí)題明顯加大了知識背景和推理能力兩方面的難度要求，但在知識綜合方面難度有所降低。

（3）新教材的例題突出用函數(shù)觀點研究方程的解

新教材的例題設(shè)置首先回到課題導(dǎo)入中的問題，即求方程lnx+2x-6=0的實數(shù)解數(shù)學(xué)情境中，提出求此方程實數(shù)解的個數(shù)問題。舊教材中則求函數(shù)y=lnx+2x-6的零點個數(shù)，如圖4所示。由此可見，新教材的例題不僅注重與課題導(dǎo)入的數(shù)學(xué)情境建立聯(lián)系，而且“求方程的實數(shù)解的個數(shù)”，突出直接求方程lnx+2x-6=0的解不容易時，需要化歸為用函數(shù)的零點研究方程的實數(shù)解。

二、高中數(shù)學(xué)新人教A版中“函數(shù)的零點與方程的解”的教學(xué)建議

1.課題導(dǎo)入突出數(shù)學(xué)新知識產(chǎn)生的必要性

數(shù)學(xué)是以思維為主的科學(xué)，思維在個體頭腦中進(jìn)行且別人無法替代，需要學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)新知識的自然生成過程。數(shù)學(xué)新學(xué)習(xí)內(nèi)容是由于已有知識或方法不夠用，為了研究問題的需要自然而然產(chǎn)生的。像lnx+2x-6=0的方程不能直接用公式求解，需要尋找新知識和探求新方法，從而突出函數(shù)零點產(chǎn)生的必要性。另外，教師在設(shè)計導(dǎo)入環(huán)節(jié)時還需關(guān)注新教材中“二次函數(shù)與一元二次方程、不等式”的呈現(xiàn)位置與舊教材的變化。在教學(xué)時善于運用方法論提示語啟發(fā)學(xué)生的思維自然地遷移到新知上，從而得到一般函數(shù)的零點以及方程的實數(shù)解與對應(yīng)函數(shù)零點的關(guān)系。

2.內(nèi)容生成遵循數(shù)學(xué)知識內(nèi)在的邏輯體系

與其他學(xué)科相比，數(shù)學(xué)知識的銜接性和連貫性較強(qiáng)，其內(nèi)在的邏輯體系是課堂的核心教學(xué)內(nèi)容。整體來看，無論是一般函數(shù)零點的定義還是一般函數(shù)零點與對應(yīng)方程的解之間的關(guān)系，均通過類比二次函數(shù)進(jìn)行抽象概括。此過程符合學(xué)生的認(rèn)知特點，不僅可以體現(xiàn)從特殊到一般的邏輯順序，而且有助于學(xué)生在觀察比較中產(chǎn)生正遷移，從而形成組織良好的知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)[7]。教師需關(guān)注新教材在呈現(xiàn)方程實數(shù)解與函數(shù)零點的等價關(guān)系時發(fā)生的變化：將“對應(yīng)函數(shù)有零點”和“函數(shù)圖象與x軸有交點”調(diào)換了順序，先呈現(xiàn)函數(shù)有零點，以此自然生成函數(shù)零點的幾何意義。此調(diào)整突出該課題的指向是求方程的實數(shù)解，而當(dāng)方程不易直接求解時，可轉(zhuǎn)化為從函數(shù)的觀點進(jìn)行思考，將方程的解化歸為相應(yīng)函數(shù)的零點。由此體現(xiàn)了函數(shù)作為核心概念和大觀點的地位以及用函數(shù)統(tǒng)整方程的思想，節(jié)標(biāo)題說明求方程的實數(shù)解屬于函數(shù)的應(yīng)用，有助于學(xué)生感悟化歸思想并培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng)。

3.課堂提問彰顯數(shù)學(xué)教材旁白的思維導(dǎo)向功能

學(xué)源于思，思源于疑，疑難和困惑的問題情境有利于激活學(xué)生的思維。教材中的旁白以問題形式呈現(xiàn)，以此啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行思考與探究[8]。在教學(xué)中充分發(fā)揮旁白的思維導(dǎo)向功能，有利于促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的深度思考。對于例題“求方程lnx+2x-6=0的實數(shù)解的個數(shù)”，在運用函數(shù)零點存在定理探究對應(yīng)函數(shù)是否存在零點后，教師可參考新教材中的旁白，運用啟發(fā)性提示語“為什么由圖4.5-2和f（2）f（3）<0，還不能說明函數(shù)f（x）只有一個零點”創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生思考證明函數(shù)單調(diào)性的必要性，并通過追問為學(xué)生的解題思路提供必要的“提示和暗示”，引導(dǎo)學(xué)生綜合考慮函數(shù)圖象、f（a）f（b）<0及其單調(diào)性，以強(qiáng)化其對函數(shù)零點存在定理結(jié)論中“至少”二字的理解，如圖5所示。

4.鞏固檢測突出數(shù)學(xué)例習(xí)題的拓展性

數(shù)學(xué)例習(xí)題的呈現(xiàn)方式影響教師對題目的選擇。新教材豐富了習(xí)題的類型，體現(xiàn)了題目的層次性和拓展性，為課堂練習(xí)和作業(yè)布置提供了更明確的指導(dǎo)，有利于促進(jìn)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識并提升遷移能力。如圖6所示，新教材第155頁習(xí)題4.5“復(fù)習(xí)鞏固”的第2題，以表格形式呈現(xiàn)，可通過觀察找出函數(shù)值乘積為負(fù)數(shù)的x取值，由此判斷零點存在的區(qū)間，屬于函數(shù)零點存在定理的直接運用;而“綜合運用”的第7題是證明題，要求學(xué)生先判斷f（1）的正負(fù)，在對c的取值分類討論的基礎(chǔ)上分析f（0）和f（2）的正負(fù)，此過程還需用到3a+2b+2c=0的等量代換，對學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)和綜合運用能力要求較高，屬于函數(shù)零點存在定理的理解及應(yīng)用。在“雙減”背景下，減輕學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)更需要教師對現(xiàn)有例習(xí)題進(jìn)行分層篩選和加工拓展，使學(xué)生對已有問題進(jìn)行變式和引申，從而提升數(shù)學(xué)解題的收益率。

研究高中數(shù)學(xué)新人教A版教材中“函數(shù)的零點與方程的解”的內(nèi)容變化，并據(jù)此提出教學(xué)建議。旨在及時把握數(shù)學(xué)新教材的改革特點，優(yōu)化教師對數(shù)學(xué)新教材的深度理解與合理運用。

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[作者：韓龍淑（1965-），女，山西晉中人，太原師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，教授，博士;柳瓔乃（1997-），女，山西晉中人，太原師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，碩士生;李露（1997-），女，河南南陽人，太原師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，碩士生。]

【責(zé)任編輯? 郭振玲】