游佳婧 (浙江省杭州市開元中學(xué) 310016)

田 興 (上海紐約大學(xué)文理學(xué)部 200122)

丁 鼐 (浙江大學(xué)生物醫(yī)學(xué)工程與儀器科學(xué)學(xué)院 310027)

1 人機協(xié)同的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)概述

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(2022年版)》明確指出,“合理利用現(xiàn)代信息技術(shù),提供豐富的學(xué)習(xí)資源,設(shè)計生動的教學(xué)活動,促進數(shù)學(xué)教學(xué)方式方法的變革”[1]4．傳統(tǒng)意義上,信息技術(shù)起到局部輔助的作用,比如幾何畫板等軟件可以繪制幾何圖形及函數(shù)圖象,但是這些軟件沒有完備的數(shù)學(xué)問題求解功能;計算機編程語言可以實現(xiàn)很多數(shù)學(xué)問題的求解,但又需要編程能力,使用門檻較高．隨著人工智能技術(shù)的發(fā)展,人類使用機器智能體對特定的計算或者繪圖進行輔助的這一模式正在轉(zhuǎn)換為人類智能與機器智能緊密融合的模式．近期,ChatGPT等高水平人機對話技術(shù)的出現(xiàn)實現(xiàn)了一種全新的人機協(xié)同的方式——人類直接通過自然語言與機器進行交流．換言之,人類不需要再利用特定的編程語言與機器智能體進行溝通,而是可以用像與人對話一樣的方式與機器智能體進行交流．ChatGPT所代表的未來方向是通用人工智能,這是一個具有廣泛知識和能力的系統(tǒng),而不是一個只能實現(xiàn)少數(shù)特定功能的專門系統(tǒng)．

包括ChatGPT在內(nèi)的人機協(xié)同新模式為創(chuàng)新教育教學(xué)方法提供了機遇[2]．一種將ChatGPT應(yīng)用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法就是通過人機互動來實現(xiàn)新的互動式、探索式學(xué)習(xí)．互動式、探索式學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)課程標準明確提倡的教學(xué)模式,有助于“激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,引發(fā)學(xué)生積極思考,鼓勵學(xué)生質(zhì)疑問難”[1]3．傳統(tǒng)的互動式學(xué)習(xí)是學(xué)生與學(xué)生、學(xué)生與教師之間進行互動,但是ChatGPT技術(shù)的出現(xiàn)為實現(xiàn)學(xué)生與機器智能體的互動式學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ),即學(xué)生像與同伴討論一樣與機器智能體進行討論．同樣,傳統(tǒng)的探究式學(xué)習(xí)一般是學(xué)生獨自一人或者分組查閱紙質(zhì)或者電子資料進行探究,但是ChatGPT技術(shù)使得學(xué)生與機器智能體共同探究一個問題成為了可能．ChatGPT等技術(shù)的新穎性及其強大的功能、淵博的知識使得人機協(xié)同的學(xué)習(xí)模式可以充分激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,而且可以通過合理設(shè)計,利用人機協(xié)同學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維．

ChatGPT既可以提供新的學(xué)習(xí)模式,也對各階段、各領(lǐng)域的教育提出了挑戰(zhàn),甚至一定程度上引起了教育界的擔(dān)憂．尤其對于語文、英語等學(xué)科,由于ChatGPT寫作文、回答語言問題的功能非常強大,學(xué)生可以利用其完成課程作業(yè),這就形成了一種新的意義下的抄襲——抄襲機器智能體的產(chǎn)出．相對而言,ChatGPT的數(shù)學(xué)能力還不夠完善,其引起的擔(dān)憂相對有限．但是,初中數(shù)學(xué)難度并不高,所以即使ChatGPT的數(shù)學(xué)能力還不夠完善,它仍具有正確完成初中數(shù)學(xué)習(xí)題的可能性．

綜上,ChatGPT對數(shù)學(xué)教育的機遇與挑戰(zhàn)并存．下面以八年級下冊一元二次方程的教學(xué)為例,討論利用ChatGPT 3.0技術(shù)實現(xiàn)人機系統(tǒng)的合作式、探究式學(xué)習(xí)的可能性,以及學(xué)生直接利用ChatGPT進行抄襲的可能性．之所以選用一元二次方程進行討論是因為ChatGPT是人機對話技術(shù),幾何呈現(xiàn)能力還比較有限,因此更適合代數(shù)、統(tǒng)計等內(nèi)容的教學(xué),而一元二次方程屬于初中代數(shù)學(xué)習(xí)中的重要內(nèi)容．下面將以此為例針對3種場景對應(yīng)用ChatGPT提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力進行評估．ChatGPT是一種統(tǒng)計模型,不同次測試中對同一問題可以有不同回答,本研究只進行了一次測試．文中的“問”是筆者的提問,“答”是ChatGPT的答復(fù),“評”是筆者對ChatGPT答復(fù)的評價．

2 人機交互在合作學(xué)習(xí)中的應(yīng)用

浙教版教材中含有大量的合作學(xué)習(xí)案例,本文探究ChatGPT 3.0技術(shù)是否可以參與這些合作學(xué)習(xí)過程．設(shè)定的場景是在學(xué)生進行討論之后,可以與機器智能體進行更深入的討論;或者在預(yù)習(xí)或自學(xué)過程中與機器智能體進行討論．

案例1浙教版八年級下“2.2 一元二次方程的解法”(第1課時)合作學(xué)習(xí)案例(圖1)[3]29．

圖1

下面通過人機問答進行合作學(xué)習(xí)．

問 如果A乘以B等于0,我覺得A和B都為0,你覺得對嗎?

答 不一定．當(dāng)A或B至少有一個不為0時,A乘以B的結(jié)果可能為0．例如,假設(shè)A等于2,B等于0,那么A乘以B的結(jié)果就是0．但是,A并不等于0,只有B等于0．同樣地,如果A等于0,B等于2,那么A乘以B的結(jié)果也是0,但是這次B并不等于0,只有A等于0．

評 回答正確且給出了例子,有利于學(xué)習(xí)．

問 如果A乘以B等于0,那么A和B之中一定有一個為0嗎?

答 不一定．如果A和B是實數(shù)或復(fù)數(shù),則當(dāng)且僅當(dāng)A或B為0時,它們的乘積等于0．但是,如果A和B是矩陣或向量,則A和B之間的乘積為零并不意味著A或B為零．(后半部分給出了矩陣例子,略)

評 答案沒有考慮初中生的知識儲備,涉及更高等的數(shù)學(xué)知識,但是具有激發(fā)學(xué)生好奇心的潛力,學(xué)有余力的學(xué)生可以在課后通過ChatGPT進一步詢問什么是復(fù)數(shù)及矩陣等更高學(xué)段內(nèi)容．

問 如果A和B都是實數(shù),A乘以B等于0,那么A和B之中一定有一個為0嗎?

答 是的,如果A乘以B等于0,則A和B之中至少有一個必須為0．這是因為,如果A和B都不是0,則它們的乘積必須是正數(shù)或負數(shù)．如果A和B都是正數(shù),它們的乘積也是正數(shù);如果A和B都是負數(shù),它們的乘積也是正數(shù)．因此,A和B的乘積不能為0．只有當(dāng)A或B為0時,A和B的乘積才能為0．因此,如果A乘以B等于0,則A和B之中至少有一個必須為0．

評 回答正確,而且給出了證明,有助于學(xué)習(xí)．

問 如果A乘以B等于0,那么A和B中至少有一個為0．請用這個結(jié)論解方程(2x+3)(2x-3)=0.

評 回答正確,過程完整,可以作為參考答案．

問 如果A乘以B等于0,那么A和B中至少有一個為0．是不是可以用這個結(jié)論求解任意一元二次方程呢?怎么求解呢?

答 不可以直接使用這個結(jié)論求解任意一元二次方程．這個結(jié)論只適用于矩陣乘法,不能用于解決一元二次方程．(后半段回答是解釋如何利用求根公式求解一元二次方程,略)

評 這個問題是個性化的拓展性問題．答案沒有考慮初中生的知識儲備,將問題復(fù)雜化,提出可以用求根公式解任意一元二次方程,答非所問．

小結(jié)ChatGPT較好地參與了初中數(shù)學(xué)問題討論,其優(yōu)勢包括能夠針對學(xué)生的個性化提問給出詳盡的答案,并且可以進行多輪討論,培養(yǎng)探索精神,而且其數(shù)學(xué)知識豐富,可以激發(fā)學(xué)有余力的學(xué)生對更高級數(shù)學(xué)知識的好奇心．其缺點在于答案并不總是正確,因此需要對其答案進行鑒別,而且因為ChatGPT并不是為初中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計的系統(tǒng),它并不考慮初中數(shù)學(xué)教學(xué)的學(xué)情,容易引入更高級的數(shù)學(xué)知識,可能會對部分學(xué)生造成困擾．

案例2浙教版八年級下“2.2 一元二次方程的解法”(第2課時)合作學(xué)習(xí)案例(圖2)[3]32．

圖2

問 你能將x2-10x=-16轉(zhuǎn)化成(x+a)2=b的形式嗎?

答 首先,我們將方程移項得到x2-10x+16=0,接下來,我們需要完成平方項的配方．我們可以通過如下步驟來完成配方:首先,將方程右側(cè)添加一個適當(dāng)?shù)某?shù)項．因為要得到(x+a)2的形式,所以我們需要添加的常數(shù)項應(yīng)該是a2．

然后,我們需要減去剛剛添加的常數(shù)項,以保持方程的平衡．因為方程的左側(cè)是x2-10x+16,所以我們需要從左側(cè)減去a2．

最后,我們需要將方程左側(cè)的常數(shù)項與右側(cè)相等．因為方程的左側(cè)是x2-10x+16,所以我們需要將右側(cè)設(shè)置為b=16-a2．

綜上所述,我們可以得到以下方程x2-10x+a2=a2-16,根據(jù)配方法則可以得到(x-5)2=a2-9．因此,如果令a=±2,則原方程可以轉(zhuǎn)化為以下兩個形式之一:(x-5)2=4或(x-5)2=16．

評 一方面,大多數(shù)參考資料中解方程的答案解析只有解題步驟,甚至只有一個答案,而ChatGPT給出了每一步的文字解釋,這對于基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生來說是非常有幫助的．另一方面,步驟雖然有文字說明,卻說得不太明白,學(xué)生不易看懂,而且ChatGPT計算出錯,導(dǎo)致答案錯誤．部分學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)計算中的錯誤,并可通過下一個問題展開進一步討論．

問 根據(jù)x2-10x+a2=a2-16可以推導(dǎo)出(x-5)2=a2-9嗎?

答 我們可以嘗試將左側(cè)的平方項拆開來配合右側(cè)的常數(shù)項進行化簡:x2-10x+a2=a2-16,(x2-10x+25)+(a2-25)=a2-16+25,(x-5)2+(a2-25)=a2+9．現(xiàn)在,我們已經(jīng)得到了一個形如(x-5)2=b的式子,其中b為一些已知的常數(shù)．如果我們令b=a2-9,那么就可以得到(x-5)2=a2-9．因此,我們可以根據(jù)x2-10x+a2=a2-16推導(dǎo)出(x-5)2=a2-9．

評 再次計算出錯．

問 任意一元二次方程都可以轉(zhuǎn)化成(x+a)2=b的形式嗎?

答 是的,任意一元二次方程都可以通過配方法(即將方程兩邊同時加上或減去適當(dāng)?shù)某?shù),使得方程化為完全平方的形式)轉(zhuǎn)化為(x+a)2=b的形式,其中a和b是實數(shù)常數(shù)．(后半部分答案推導(dǎo)了如何進行配方,得到了求根公式,方法正確,略)

評 機器智能體不但回答正確,而且用配方法解一般方程的方法證明了求根公式,為學(xué)有余力的學(xué)生提供了更多的探索空間．

問 (x+a)2=b,如果b是負數(shù),方程就無解嗎?

答 是的,如果b是負數(shù),方程(x+a)2=b就無解．因為任何實數(shù)的平方都是非負的,即對于任何實數(shù)x,都有x2≥0．所以,如果b是負數(shù),那么不存在任何實數(shù)a可以使得(a+x)2=b成立,因為(a+x)2一定是非負的．(后半部分答案進行了舉例說明,例子正確,略)

評 回答正確且有舉例說明,有利于學(xué)生學(xué)習(xí)．

小結(jié)一方面,ChatGPT在計算中多次出錯,因此需要學(xué)生或者教師具有批判性思維和鑒別真?zhèn)蔚哪芰Γ硪环矫?ChatGPT可以回答一些思維層次較高的問題,幫助學(xué)生探究問題的本質(zhì),可以滿足學(xué)有余力學(xué)生的好奇心,為后續(xù)學(xué)習(xí)進行鋪墊．

3 人機交互在作業(yè)輔助及糾錯中的應(yīng)用

案例3浙教版八年級下“2.2 一元二次方程的解法”中的習(xí)題:解方程(x-3)2=(2x+1)2．

問 下面的推導(dǎo)哪一步有錯?

(x-3)2=(2x+1)2,

x-3=2x+1,

x=-4．

答 推導(dǎo)中出錯的是第二步．將兩邊開根號會得到|x-3|=|2x+1|,因為兩邊都是平方,所以不能簡單地將兩邊取正數(shù),需要分別考慮兩邊的正負情況．當(dāng)2x+1≥0時,方程可以變?yōu)閤-3=2x+1,x=-4．但當(dāng)2x+1<0時,方程可以變?yōu)閤-3=-(2x+1),x=1．所以正確的解應(yīng)該是x=-4或x=1．

評 結(jié)果正確,而且說明了理由,但解答過程有問題．下面再針對學(xué)生作業(yè)中可能出現(xiàn)的錯誤,利用ChatGPT進行糾錯．

案例4浙教版八年級下“2.2 一元二次方程的解法”中的習(xí)題:解方程-x2+5x+6=0．

問 下面的推導(dǎo)哪一步有錯?

-x2+5x+6=0,

4x2-20x-24=0,

4x2-20x+25-24=25,

(2x-5)2=25-24．

答 推導(dǎo)的過程是正確的．然后可以繼續(xù)推導(dǎo)(2x-5)2=1,對這個方程兩邊開根號得到2x-5=±1．解這個方程可以得到兩個解:2x- 5=1或2x-5=-1．當(dāng)2x-5=1時,解得x=3;當(dāng)2x-5=-1時,解得x=2．所以原方程的解為x=2或x=3．

評 沒有能夠糾正錯誤,反而肯定了錯誤并進行了繼續(xù)推導(dǎo)．下面測試ChatGPT是否可以糾正另一種可能的錯誤．

4 人機交互應(yīng)用題設(shè)計

ChatGPT屬于百科全書式的模型,具有豐富的知識,因此在應(yīng)用題設(shè)計方面具有潛力．下面嘗試給定題目,讓ChatGPT設(shè)計類似題目．實際應(yīng)用中可以選取學(xué)生易錯題目,利用ChatGPT設(shè)計多道類似題目供學(xué)生練習(xí)．

根據(jù)浙教版八年級下“2.3 一元二次方程的應(yīng)用”的課后作業(yè)題1[3]41,設(shè)計同類型題目．實際測試中分別進行了三次提問,下面整合為一次問答．

問 某超市銷售一種飲料,平均每天可售出100箱,每箱利潤12元．為了擴大銷售,增加利潤,超市準備適當(dāng)降價.據(jù)測算,每箱每降價1元,平均每天可多售出20箱．若要使每天銷售飲料獲利1 400元,則每箱應(yīng)降價多少元?請根據(jù)上面的題目設(shè)計一道新的應(yīng)用題,題目盡量相似,但是場景涉及(1)秋游的規(guī)劃;(2)體育;(3)物體運動的物理知識．

答 (1)某旅行社計劃組織秋游活動,每人報名費用為300元．旅行社為了吸引更多的游客,準備適當(dāng)降低報名費用．根據(jù)調(diào)查,每降低1元,平均每天可以多吸引10名游客報名．如果旅行社希望從秋游活動中獲得5 600元的利潤,請問每人應(yīng)該降價多少元?

(2)某足球場每場比賽的門票售價為100元,平均每場可售出5 000張門票,場館每場比賽的運營成本為40 000元．為了吸引更多的球迷前來觀賽,場館計劃適當(dāng)降低門票售價,根據(jù)預(yù)估數(shù)據(jù),每降價1元,平均每場比賽可多售出200張門票．若場館想要每場比賽獲得1萬元的利潤,則每張門票應(yīng)該降價多少元?

(3)某物體在真空中以速度v勻速運動,經(jīng)過一段時間t后,它的速度增加到v+Δv,根據(jù)物理學(xué)公式,物體的動能E與速度v的平方成正比．假設(shè)該物體的動能增加了K倍,求它速度增加了多少?

評 答案(1)中缺少條件,因此無法列方程計算,但是教師可以根據(jù)ChatGPT生成的文字場景進行少量修改之后生成正確的題目．答案(2)合理且是原題的變式,經(jīng)計算發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)選擇也比較合適,符合實際．答案(3)由于場景與原題差異巨大,所以題目的求解方法與原題不同,但是可以認為是一道考查一元二次方程的、與物體運動物理知識融合的應(yīng)用題．

5 ChatGPT在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的優(yōu)點與缺點

通過上述案例可以總結(jié)以下幾點發(fā)現(xiàn):

(1)ChatGPT具有一定的數(shù)學(xué)知識,了解一元二次方程的基本解法,但是在計算中經(jīng)常出錯,對課后習(xí)題的解答正確率不高．

(2)由于ChatGPT在解題中經(jīng)常出錯,學(xué)生直接利用ChatGPT完成作業(yè)的可能性很小,目前還不必引起過度擔(dān)憂．相反,如果教師在例題教學(xué)后的習(xí)題練習(xí)環(huán)節(jié)不直接給出解題方法,而是通過ChatGPT進行求解,然后帶領(lǐng)學(xué)生找出其中的錯誤,這倒是一種激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、培養(yǎng)批判性思維的有效方法．

(3)ChatGPT較為擅長設(shè)計應(yīng)用題,可以根據(jù)場景設(shè)計指定內(nèi)容的應(yīng)用題,也可以根據(jù)某一道題目設(shè)計類似的題目．但是設(shè)計的題目有時存在瑕疵,需要教師復(fù)核后才可以使用．盡管本文只討論了應(yīng)用題設(shè)計,但是ChatGPT同樣可以為項目化學(xué)習(xí)或者交叉學(xué)科題目設(shè)計提供思路．

除去本文討論的內(nèi)容之外,ChatGPT還可用于檢索數(shù)學(xué)史或者應(yīng)用場景相關(guān)內(nèi)容,但是這些應(yīng)用場景屬于搜索引擎功能的拓展,這里不展開討論．

6 ChatGPT等智能技術(shù)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用模式

上文討論了一些通過與ChatGPT互動進行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)或教學(xué)的案例,但是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的參與者包括學(xué)生和教師,上述與ChatGPT的互動可以由學(xué)生或者教師發(fā)起．根據(jù)發(fā)起者的不同,可以形成下述三種人機協(xié)同的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)模式(圖3)．

圖3

模式1和模式2中,學(xué)生直接對機器智能體提問,其中模式1是學(xué)生獨立于機器智能體進行交流．由于當(dāng)前的ChatGPT等技術(shù)所代表的機器智能體在解決數(shù)學(xué)問題的過程中經(jīng)常犯錯,所以這種模式可以充分激發(fā)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)積極性,可以培養(yǎng)學(xué)生的探索精神,但是對學(xué)生的批判性思維和鑒別對錯的能力有很高的要求,因此筆者認為當(dāng)前大多數(shù)的初中生不適合通過這種模式進行人機協(xié)同式的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)．

模式2依然是學(xué)生直接對機器智能體提問,但是是在教師的引導(dǎo)下進行,而且教師對機器智能體的答案進行了鑒別、釋疑．這種模式可以在課堂等教師在場的場景下進行.筆者認為其既可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、好奇心和討論的興趣,也可以避免學(xué)生被機器智能體誤導(dǎo),是一種先進的教學(xué)方式,但是對教師當(dāng)場鑒別對錯、課堂教學(xué)中隨機應(yīng)變的能力具有一定挑戰(zhàn)．上文介紹的人機協(xié)同合作學(xué)習(xí)、人機協(xié)同作業(yè)輔導(dǎo)及糾錯等環(huán)節(jié)適宜采用這種模式進行．

模式3中,學(xué)生不與機器智能體直接互動,但是教師通過與機器智能體的互動來設(shè)計題目,了解更多的數(shù)學(xué)史或者應(yīng)用背景．這種模式下,教師對機器智能體提供的建議進行再加工,取其精華去其糟粕之后再向?qū)W生傳授,是最為穩(wěn)妥的人機協(xié)同學(xué)習(xí)方式．上文介紹的人機協(xié)同應(yīng)用題設(shè)計適用于這種模式．

綜上,當(dāng)前的ChatGPT技術(shù)還不足以支撐通過模式1進行人機協(xié)同學(xué)習(xí),即大部分學(xué)生還很難在教師離場的場景下直接通過與ChatGPT互動進行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí);但是模式2已經(jīng)較為成熟,提供了新的可選的教學(xué)模式;模式3也較為成熟,可以對教師備課進行輔助．但是,隨著人工智能技術(shù)的進一步發(fā)展,不久的將來很可能會涌現(xiàn)出國產(chǎn)的中文處理水平卓越的人機對話系統(tǒng),甚至專門針對中學(xué)學(xué)情設(shè)計的人機對話系統(tǒng),這些未來的智能技術(shù)可以為通過模式1進行自學(xué)提供基礎(chǔ),提供一種新的促進教育公平的方法．