【摘要】分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系是小學(xué)數(shù)學(xué)中的重要教學(xué)內(nèi)容，同時(shí)也是課程標(biāo)準(zhǔn)所強(qiáng)調(diào)的教育內(nèi)容。通過學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，學(xué)生能夠?qū)W會(huì)使用分?jǐn)?shù)表示兩個(gè)整數(shù)相除的商以及各個(gè)單位數(shù)量換算的最終結(jié)果，這個(gè)過程能夠培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，訓(xùn)練學(xué)生的推理思維、比較思維等，使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性與邏輯性，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)；課堂本真；數(shù)學(xué)素養(yǎng)

作者簡介：陳長國（1975—），男，江蘇省揚(yáng)州市廣陵區(qū)頭橋中心小學(xué)。

分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系是蘇教版數(shù)學(xué)五年級下冊中的內(nèi)容，是學(xué)生學(xué)習(xí)除法計(jì)算的過程中，商從整數(shù)逐步延伸到分?jǐn)?shù)的拐點(diǎn)。在學(xué)生已經(jīng)構(gòu)建“平均分”的概念，并且能夠把一個(gè)或者一個(gè)以上的物體視為單位“1”進(jìn)行計(jì)算后，教師再向?qū)W生傳授分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系相關(guān)知識，能夠更好地促進(jìn)學(xué)生新舊知識的銜接，訓(xùn)練學(xué)生的推理能力與比較思維，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的提升。

一、初步感知

師：今天我們課堂來了一群可愛的小猴子。請你們將8塊餅平均分給4只小猴子，算一算每只小猴子能夠得到多少塊餅？

生：8÷4=2，每只小猴子分得2塊。

師：將4塊餅平均分給4只小猴子，每只小猴子能夠分得多少塊？

生：4÷4=1，每只小猴子分得1塊。

師：為什么這兩個(gè)問題都用除法計(jì)算？為什么都除以4？

生：因?yàn)檫@兩題都是將餅平均分給4只小猴子，所以都用除法計(jì)算，都除以4。

師：如果只有1塊餅?zāi)?？?塊餅平均分給4只小猴子，1只小猴子能夠得到多少呢？還能得到一個(gè)整塊數(shù)嗎？

生：將1塊餅平均分給4只小猴子，每1只小猴子能夠分到1塊餅的，即塊。

師：對，如果無法使用整數(shù)表示餅的塊數(shù)，那么此時(shí)可以使用分?jǐn)?shù)表示。你們發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

生：餅的幾分之一即代表著幾分之一塊。

教師用幫小猴子分餅的故事，激發(fā)學(xué)生興趣，從學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)整數(shù)除法引入，再讓學(xué)生將1塊餅分給4只小猴子，學(xué)生會(huì)聯(lián)想到，因?yàn)槭瞧骄?，所以也用除法?jì)算。而當(dāng)計(jì)算的結(jié)果不能得到一個(gè)整數(shù)時(shí)，學(xué)生自然會(huì)想到可以用分?jǐn)?shù)表示。教師可以讓學(xué)生說說怎么想的，并適時(shí)出示分1塊餅的過程，使學(xué)生能夠理解幾分之一塊，再引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)“餅的幾分之一即代表著幾分之一塊”。這個(gè)學(xué)習(xí)的過程為下面將3塊餅平均分成4份的教學(xué)做好鋪墊。

二、自主探究

（一）估算范圍

師：將3塊餅平均分給4只小猴子，那么1只小猴子能夠得到多少塊？怎樣列式？

生：3÷4。

師：請你們估算一下，每只小猴子分到的餅的塊數(shù)在什么范圍？

生1：每只小猴子分到的餅應(yīng)該不足1塊。如果將4塊餅平均分給4只小猴子，1只小猴子正好能夠得到1塊餅。而這里只有3塊餅，所以每只小猴子分到的餅比1塊少。

生2：每只小猴子分到的餅應(yīng)該比半塊要多。假設(shè)將2塊餅平均分給4只小猴子，1只小猴子能夠得到塊即半塊餅。而這里有3塊餅，所以每只小猴子分到的餅比半塊多。

科學(xué)估算是培育數(shù)學(xué)思維的重要渠道。在組織教學(xué)的過程中，教師要重視培養(yǎng)學(xué)生估算的技能。這種估算并非空想，應(yīng)當(dāng)是有所根據(jù)的判斷。在上述教學(xué)案例中，教師讓學(xué)生去計(jì)算3÷4的結(jié)果，有的學(xué)生認(rèn)為答案是，有的學(xué)生認(rèn)為答案是。在學(xué)生答案不統(tǒng)一的情況下，教師可以讓學(xué)生估一估答案，即每只小猴子分到餅的塊數(shù)在什么范圍，引導(dǎo)學(xué)生思考，并使學(xué)生進(jìn)行合理的估算，培養(yǎng)學(xué)生的估算能力。

（二）操作探究

師：請大家用3個(gè)不同顏色的圓片代表3塊餅，4人一組合作計(jì)算一下“將3塊餅平均分給4只小猴子”的結(jié)果。

學(xué)生操作，教師巡視。隨即，教師請學(xué)生匯報(bào)自己小組的分法，讓他們邊分邊講解。

生1：我們小組是逐塊分的。先將第1塊餅平均分成4份，每只小猴子就分得塊，以此類推，每只小猴子能夠得到3個(gè)塊，也就代表著1只小猴子能夠得到塊餅。

生2：我們小組是3塊一起分的。把3塊餅疊在一起，看成一個(gè)整體。將3塊餅平均分成4份，1只小猴子能夠得到1份，也就是3塊餅的。3塊餅的之中，塊餅的數(shù)量是3，因此1只小猴子分得塊。

師：這兩種分法的差別和相同之處是什么？你更偏愛哪一種方法呢？

蘇霍姆林斯基認(rèn)為，兒童的智慧在他們的手指尖上。操作探究可以使學(xué)生獲得更為直接的感性認(rèn)識，使學(xué)生的內(nèi)部認(rèn)知活動(dòng)逐步從形象拓展到表象，幫助學(xué)生快速實(shí)現(xiàn)知識內(nèi)化，有效訓(xùn)練學(xué)生的抽象性思維。在實(shí)際操作中，大部分學(xué)生更傾向于第一種分法，難點(diǎn)在于3塊一起分，學(xué)生需要將3塊餅看成一個(gè)整體進(jìn)行分配，每只小猴子分得3塊的，即塊。當(dāng)學(xué)生初步感知這兩種分法后，教師還要結(jié)合課件再演示一遍，讓學(xué)生在頭腦中加深印象。最后還要請學(xué)生對比兩種分法，說說它們有什么異同點(diǎn)，使學(xué)生能夠體會(huì)這兩種方法的特點(diǎn)。

（三）知識遷移

師：把3塊餅平均分給5只小猴子，1只小猴子能夠分得多少塊？怎樣列式？

生：3÷5= （塊）。

師：請聯(lián)系前面分圓片的過程進(jìn)行思考，說一說你的想法。

生1：1塊1塊地分，每只小猴子分得3個(gè)塊，就是塊。

生2：也可以把3塊餅看成一個(gè)整體，平均分成5份，1只小猴子能夠得到1份，即3塊餅的。3塊餅的之中，塊的數(shù)量是3，相當(dāng)于1塊餅的，也就是塊。

教師基于學(xué)生已有的認(rèn)知開展教學(xué)，能夠促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知的正向遷移，使學(xué)生快速理解并掌握新知。在操作探究的環(huán)節(jié)中，學(xué)生有了“將3塊餅平均分成4份”的基本知識經(jīng)驗(yàn)，在解決“將3塊餅平均分成5份”這個(gè)問題時(shí)，教師可以不再要求學(xué)生動(dòng)手操作，而是啟發(fā)他們在之前分圓片的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上，直接思考結(jié)果是多少，怎么得出的。這個(gè)過程對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維提出了更高的要求，使得學(xué)生的思維不斷被激活。

（四）總結(jié)歸納

師：觀察黑板上面的三個(gè)等式，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：除法中的被除數(shù)等同于分?jǐn)?shù)的分子，分母則代替除數(shù)的角色，而除號在分?jǐn)?shù)里則用分?jǐn)?shù)線表示。

師：這里的b可以是任何數(shù)嗎？為什么？

生：b無法等于0。由于除法中，除數(shù)不允許是0，因此，與其對應(yīng)的分母也不允許是0。

師：分?jǐn)?shù)和除法之間雖然相互聯(lián)系，但是它們也有區(qū)別，分?jǐn)?shù)像整數(shù)、小數(shù)一樣，是一種數(shù)，除法像加法、減法和乘法一樣，是一種運(yùn)算。

歸納推理思想是數(shù)學(xué)的基本思想，它是由某類事物的局部對象的特點(diǎn)，推理出這一類事物的所有對象皆擁有這些特點(diǎn)。學(xué)生在估算范圍、操作探究和知識遷移三個(gè)環(huán)節(jié)中，對分?jǐn)?shù)和除法的知識有了較為系統(tǒng)化的認(rèn)知。教師再放手讓學(xué)生舉例驗(yàn)證，總結(jié)分?jǐn)?shù)和除法之間的關(guān)系，并引導(dǎo)學(xué)生說出字母公式。這個(gè)總結(jié)歸納的教學(xué)環(huán)節(jié)，可以幫助學(xué)生積攢分析、觀察、概括等方面的經(jīng)驗(yàn)與能力。

三、鞏固練習(xí)

師：你從中發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

生：如果要求計(jì)算“1份的千克數(shù)量是多少”，即將總千克數(shù)除以平均分的份數(shù)，如果前者數(shù)量更多，平均分的份數(shù)固定，1份的千克數(shù)量就會(huì)隨之變多；如果要求計(jì)算“1個(gè)小朋友分得所有糖的幾分之幾”，即將總千克數(shù)視作為單位“1”，除以其平均分的份數(shù)，幾份便是幾分之一。

在學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程后，教師要把關(guān)注點(diǎn)放在練習(xí)上，特別是要重視練習(xí)題目的設(shè)計(jì)。教師應(yīng)基于教材，整合教材內(nèi)的習(xí)題內(nèi)容，讓學(xué)生充分地應(yīng)用和理解知識。通過對教材上習(xí)題的有效整合，教師可進(jìn)一步提高學(xué)生對練習(xí)題的完成度，加強(qiáng)知識之間的對比聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)學(xué)生知識橫向和縱向的溝通，這有利于學(xué)生形成有層次、有結(jié)構(gòu)的知識體系，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的提升。

四、回顧總結(jié)（略）

小學(xué)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)應(yīng)當(dāng)以兒童的角度開展，符合兒童的身心特征與認(rèn)知習(xí)慣，并與兒童學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法相契合，重視每個(gè)學(xué)生的差別與差異化的學(xué)習(xí)訴求。在本節(jié)課的教學(xué)中，筆者基于兒童的立場，關(guān)注課堂本真，設(shè)計(jì)了上述教學(xué)過程，其不僅能夠加深學(xué)生對于分?jǐn)?shù)意義的理解，還能夠?yàn)閷W(xué)生未來學(xué)習(xí)假分?jǐn)?shù)、帶分?jǐn)?shù)、比例、百分?jǐn)?shù)等知識做好充足的準(zhǔn)備。

（一）實(shí)際操作，感悟新知識

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)教學(xué)需要讓學(xué)生親自感受數(shù)學(xué)知識的生成過程，即感受形象、豐富的思維過程。在組織教學(xué)的過程中，筆者用“將1塊餅平均分給4只小猴子，1只小猴子能夠得到多少塊”的問題，讓學(xué)生親手分一分，幫助學(xué)生更好地理解分?jǐn)?shù)的意義。在解決這個(gè)問題的過程中，學(xué)生4人分成一組進(jìn)行討論，自主動(dòng)手實(shí)踐，并且選出一名學(xué)生代表展示分的方法。學(xué)生經(jīng)過動(dòng)手實(shí)踐，得出了兩種截然不同的分法，理解了分?jǐn)?shù)的算理。在這個(gè)反復(fù)嘗試、思考、探究的過程中，學(xué)生逐步找到了問題的答案，又產(chǎn)生了新的問題，由此將分?jǐn)?shù)與除法相鏈接。

二、鼓勵(lì)發(fā)現(xiàn)，探索分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系

探索是學(xué)生親自感受學(xué)習(xí)的過程。筆者組織學(xué)生觀察1÷3=、3÷4=這兩個(gè)算式，鼓勵(lì)他們思考：兩個(gè)自然數(shù)相除，在商不是整數(shù)的情況下，還能夠使用什么數(shù)表示？如果分?jǐn)?shù)代表商，此時(shí)分?jǐn)?shù)中的分母、分子又都分別代表什么？分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系是如何的？將問題作為線索，能夠逐步引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出分?jǐn)?shù)的意義，并使學(xué)生深刻理解分母、分子的意義以及分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系。

【參考文獻(xiàn)】

［1］朱立明.從“核心概念”到“核心素養(yǎng)”：2011年版與2022年版《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》比較研究［J］.天津師范大學(xué)學(xué)報(bào)（基礎(chǔ)教育版），2022，23（03）：1-6.