劉莉

摘 ?要：“兩角差的余弦公式”一課是公式教學(xué)課. 基于單元整體，發(fā)揮單位圓的紐帶作用，以問題和活動(dòng)為引導(dǎo)，教學(xué)設(shè)計(jì)自然合理，關(guān)注學(xué)生的基礎(chǔ)和認(rèn)知規(guī)律，促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí). 多種方式的融合，為學(xué)生提供了豐富的思辨視角，有效輔助課堂教學(xué)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 同時(shí)，給出了幾點(diǎn)建議.

關(guān)鍵詞：兩角差的余弦；公式教學(xué)；單元整體

人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”）必修第一冊的“5.5.1 兩角差的余弦公式”是高中數(shù)學(xué)必修課程“函數(shù)”主題中“三角函數(shù)”單元的核心內(nèi)容之一.

公式教學(xué)課是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的基本課型. 從教學(xué)過程來看，公式教學(xué)就是引導(dǎo)學(xué)生在已有認(rèn)知水平的基礎(chǔ)上經(jīng)歷公式的發(fā)生發(fā)展過程，以及經(jīng)歷從公式背景中發(fā)現(xiàn)和提出猜想，經(jīng)過嚴(yán)格的推理論證獲得公式的過程. 從教學(xué)的結(jié)果來看，公式教學(xué)就是引導(dǎo)學(xué)生掌握公式所包含的條件和結(jié)論、證明方法，以及與其他公式之間的聯(lián)系，并能運(yùn)用公式解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問題. 因此，公式教學(xué)課是學(xué)生獲得“四基”、提高“四能”的重要途徑.

一、本節(jié)課呈現(xiàn)的特點(diǎn)

上好這節(jié)課不容易，因?yàn)樵诮虒W(xué)處理上面臨三個(gè)難點(diǎn)：一是怎樣想到先研究這個(gè)公式，二是怎樣猜想發(fā)現(xiàn)這個(gè)公式，三是怎樣證明這個(gè)公式.

執(zhí)教教師個(gè)人素質(zhì)較高，教態(tài)和藹可親，語言表達(dá)能力較強(qiáng)，善于引導(dǎo)和啟發(fā)，板書有設(shè)計(jì). 學(xué)生數(shù)學(xué)功底好，思維活躍，語言表達(dá)及板演嚴(yán)謹(jǐn)，看得出來平時(shí)訓(xùn)練有素. 從整體上來看，執(zhí)教教師以《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）為依據(jù)，以教材內(nèi)容為藍(lán)本，努力在理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解技術(shù)、理解教學(xué)上下功夫，呈現(xiàn)出以下特點(diǎn).

1. 追溯“圓”主線，發(fā)揮單位圓的紐帶作用

從單位圓的對稱性來看，被稱為“圓函數(shù)”的三角函數(shù)自然與圓有密切的聯(lián)系，單位圓正是研究三角函數(shù)及其性質(zhì)一以貫之的直觀模型，在本單元的教學(xué)過程中發(fā)揮著“腳手架”和紐帶的作用，是“超級工具”. 通常來看，單位圓的對稱性包括軸對稱性、中心對稱性和旋轉(zhuǎn)對稱性. 學(xué)生較為熟悉的是軸對稱性和中心對稱性，誘導(dǎo)公式就是單位圓軸對稱性和中心對稱性的解析表示. 而學(xué)生對旋轉(zhuǎn)對稱性較為陌生，本節(jié)課需要重點(diǎn)關(guān)注.

從教材編寫來看，“三角函數(shù)”章節(jié)以單位圓為主線，將相關(guān)知識進(jìn)行了串聯(lián)，突出了圓的旋轉(zhuǎn)對稱性與三角函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，如圖1所示.

這也是教材編寫的意圖所在. 基于以上分析，不難看出三角恒等變換公式在本質(zhì)上是圓的旋轉(zhuǎn)對稱性的解析表示，是旋轉(zhuǎn)任意角的誘導(dǎo)公式. 兩角差的余弦公式的推導(dǎo)方法非常多，如為了簡化推導(dǎo)過程引入向量法進(jìn)行證明，而采取單位圓的旋轉(zhuǎn)對稱性證明的方法充分體現(xiàn)了知識的連貫性和整體性.

從教學(xué)處理上看，執(zhí)教教師尊重了教材編寫的整體立意，從學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知出發(fā)，借助單位圓的旋轉(zhuǎn)對稱性，利用兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行公式的推導(dǎo)，將三角函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為解析幾何問題來處理，緊扣學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，尊重學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，使新知學(xué)習(xí)自然發(fā)生，同時(shí)又與已有知識建立必然聯(lián)系.

2. 基于單元整體，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

在教學(xué)中，執(zhí)教教師以單元教學(xué)理念抓住大單元的核心要素，體現(xiàn)新課程的理念，避免知識形成的碎片化. 首先，著眼于學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，喚醒學(xué)生已學(xué)的與所研究內(nèi)容相關(guān)的認(rèn)知，復(fù)習(xí)誘導(dǎo)公式，把特殊角換成任意角，將前面學(xué)習(xí)的誘導(dǎo)公式與兩角和與差的三角函數(shù)建立聯(lián)系；其次，回憶誘導(dǎo)公式的研究思路，引導(dǎo)學(xué)生回顧并強(qiáng)化用單位圓研究三角函數(shù)問題的意識和習(xí)慣，為接下來探究角[α-β]的余弦的展開式指明思考方向；再次，在學(xué)生獲得公式的證明之后，把握時(shí)機(jī)，用新公式證明之前的誘導(dǎo)公式，進(jìn)一步說明了誘導(dǎo)公式與兩角差的余弦公式之間的特殊與一般的關(guān)系；最后，設(shè)置探究活動(dòng)，提出“運(yùn)用此公式還能解決哪些問題”，具有一定的開放性，引導(dǎo)學(xué)生自主探究，發(fā)現(xiàn)了一些結(jié)論，也得到了兩角和的余弦公式.

在整個(gè)過程中，執(zhí)教教師通過啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、比較、尋找聯(lián)系，提升發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題的能力，凸顯了普遍聯(lián)系的整體觀念，也有效發(fā)展了學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

3. 問題活動(dòng)引導(dǎo)，關(guān)注學(xué)生思維能力提升

本節(jié)課中，執(zhí)教教師通過問題串及穿插其中的活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生自己猜想、發(fā)現(xiàn)和解決問題，一步一步得到公式. 同時(shí)，在教學(xué)過程中采用追問的方式推動(dòng)學(xué)生對公式意義的理解，從而主動(dòng)獲得尋找、探索公式的方法.

執(zhí)教教師通過設(shè)置問題“觀察這組誘導(dǎo)公式，我們發(fā)現(xiàn)它們都是特殊角與任意角[α]的和（或差）的三角函數(shù)與角[α]的三角函數(shù)的恒等關(guān)系. 現(xiàn)在，我們把公式中的特殊角換為任意角[β]，我們發(fā)現(xiàn)它們的共同形式就是兩角和與差的三角函數(shù). 在誘導(dǎo)公式的基礎(chǔ)上，任意角[α]與角[β]的和（或差）的三角函數(shù)與角[α]和角[β]的三角函數(shù)會(huì)有什么關(guān)系？”從特殊到一般誘發(fā)學(xué)生思考，啟發(fā)學(xué)生思維.

執(zhí)教教師通過活動(dòng)“如果已知任意角[α，β]的正弦和余弦，探究是否能由此推出角[α-β]的余弦”給出公式組成元素，給出思維方向.

執(zhí)教教師通過問題“以誘導(dǎo)公式[cosπ2-α=sinα]為例，你能簡要說明證明過程嗎？”“還記得誘導(dǎo)公式的研究思路嗎？”引導(dǎo)學(xué)生回顧誘導(dǎo)公式的研究思路，強(qiáng)化學(xué)生用單位圓研究三角函數(shù)問題的意識和習(xí)慣，師生共同總結(jié)利用單位圓上的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)、坐標(biāo)軸、直線[y=x]等的對稱性探究得到了誘導(dǎo)公式，為接下來探究角[α-β]的余弦公式指明思考方向，從而得到解決此類問題的研究思路：單位圓的對稱性—角與角之間的關(guān)系—坐標(biāo)之間的關(guān)系—等量代換—三角函數(shù)的關(guān)系. 這個(gè)過程思維主線清晰，學(xué)生的思維能力得到了進(jìn)一步提升.

教師組織活動(dòng)“用GeoGebra軟件動(dòng)態(tài)演示圓的旋轉(zhuǎn)對稱性”，并引導(dǎo)學(xué)生觀察，從而發(fā)現(xiàn)在旋轉(zhuǎn)的過程中對應(yīng)的弦和弧都沒有發(fā)生變化，引出了圓的一個(gè)重要的幾何性質(zhì)——任意一個(gè)圓繞著其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度后都與原來的圓重合，這一性質(zhì)叫做圓的旋轉(zhuǎn)對稱性. 學(xué)生利用圓的旋轉(zhuǎn)對稱性證明了兩角差的余弦公式，建立了思維的連續(xù)性.

執(zhí)教教師利用問題“當(dāng)角[α]與[β]的終邊重合時(shí)，即[α=2kπ+β，k∈Z]，兩角差的余弦的表達(dá)式是否仍然成立？”完善探究細(xì)節(jié)，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性. 并組織活動(dòng)“探究利用兩角差的余弦公式還能得到哪些公式或者非特殊角（除30°，45°，60°等特殊角以外的角）的余弦值”引導(dǎo)學(xué)生積極思考，得到了一系列結(jié)論，使學(xué)生的思維得到提升.

整個(gè)過程，通過問題和活動(dòng)驅(qū)動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行連續(xù)的、有序的思維活動(dòng)，并且在學(xué)生表達(dá)時(shí)，執(zhí)教教師給予充足的時(shí)間，讓學(xué)生不斷調(diào)整和完善自己的發(fā)現(xiàn)，加深對數(shù)學(xué)公式的理解，使得學(xué)生在掌握“四基”、發(fā)展“四能”的過程中有效發(fā)展了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

4. 教學(xué)設(shè)計(jì)清晰，促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)

本節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)的邏輯路線比較清晰，研究路徑也很清楚. 本節(jié)課設(shè)計(jì)了五個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，逐步達(dá)成教學(xué)目標(biāo)，完成教學(xué)任務(wù)，如圖2所示.

五個(gè)環(huán)節(jié)層層遞進(jìn)，一氣呵成，知識建構(gòu)過程合理，符合學(xué)生的認(rèn)知心理，充分關(guān)注了學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的思維過程.

第一環(huán)節(jié)，執(zhí)教教師將誘導(dǎo)公式作為學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，將特殊角換成一般角，按照特殊與一般的辯證思想，一步一步設(shè)計(jì)了與學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)相適應(yīng)的學(xué)習(xí)任務(wù). 學(xué)生通過積極思考、動(dòng)手參與、熱烈討論都能夠完成，始終保持較高的學(xué)習(xí)熱情. 同時(shí)，執(zhí)教教師給學(xué)生留有足夠的思維空間進(jìn)行自主探究，獲得了很好的教學(xué)效果.

第二環(huán)節(jié)，回憶誘導(dǎo)公式的證明方法，通過一系列問題串引導(dǎo)學(xué)生思考和分析問題，經(jīng)歷公式的推導(dǎo)和證明過程. 學(xué)生在此過程中獲得了研究數(shù)學(xué)問題的經(jīng)驗(yàn)，提升了提出問題、分析問題和解決問題的能力，有效提高了邏輯推理素養(yǎng).

第三環(huán)節(jié)，通過公式運(yùn)用，注重促進(jìn)新、舊知識的有效融合. 執(zhí)教教師對例題的選擇與設(shè)置遵循教材. 例1是用兩角差的余弦公式證明誘導(dǎo)公式，說明了誘導(dǎo)公式與兩角差的余弦公式之間的特殊與一般的關(guān)系. 設(shè)置的探究活動(dòng)具有一定的開放性，引導(dǎo)學(xué)生自主探究，進(jìn)一步體會(huì)兩角差的余弦公式是誘導(dǎo)公式的一般化表達(dá)，提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題的能力. 例2通過簡單的應(yīng)用，使學(xué)生初步熟記公式，掌握公式的結(jié)構(gòu)形式和功能，訓(xùn)練學(xué)生有序的思維習(xí)慣，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生程序化的思維習(xí)慣.

第四環(huán)節(jié)，共設(shè)置三道題目，緊扣本節(jié)課的核心和重點(diǎn)內(nèi)容，由學(xué)生獨(dú)立完成，全班只有一名學(xué)生做錯(cuò)，教學(xué)效果明顯.

第五環(huán)節(jié)，讓學(xué)生梳理本節(jié)課的知識收獲，體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用. 作業(yè)布置分為課時(shí)作業(yè)和單元作業(yè)，強(qiáng)化基礎(chǔ)知識和基本技能，加深學(xué)生對公式的理解，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生從多維角度思考問題，增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新意識. 強(qiáng)化學(xué)生用單位圓研究三角函數(shù)問題的意識和習(xí)慣，幫助學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，使學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)形結(jié)合思想思考和解決問題.

5. 多種方式融合，有效輔助課堂教學(xué)

本節(jié)課利用GeoGebra軟件，在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)直觀呈現(xiàn)，讓學(xué)生直觀看到圓的旋轉(zhuǎn)對稱性，“形”與“數(shù)”自然轉(zhuǎn)換，抽象與具象的思考完美結(jié)合. 使用微課視頻呈現(xiàn)兩點(diǎn)間的距離公式. 使用交互平臺，充分展現(xiàn)學(xué)生的思維過程. 多種方式融合，為學(xué)生提供了豐富的思辨視角，有效輔助教學(xué).

美國著名教育學(xué)家杜威說過，教學(xué)不僅僅是一種簡單的告訴，教學(xué)應(yīng)該是一種經(jīng)歷、一種體驗(yàn)、一種感悟. 執(zhí)教教師的教學(xué)設(shè)計(jì)既尊重知識本身的特點(diǎn)，又符合學(xué)生對事物的認(rèn)知規(guī)律，通過對問題串的精心設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般，運(yùn)用所學(xué)方法進(jìn)行證明，逐級抽象概括出兩角差的余弦公式，讓學(xué)生在公式的推導(dǎo)過程中體驗(yàn)數(shù)學(xué)的思想方法和思維方式，如歸納概括、類比推理、數(shù)形結(jié)合等，從中獲得知識、提升能力，達(dá)到數(shù)學(xué)的育人目標(biāo).

二、幾點(diǎn)建議

1. 進(jìn)一步加強(qiáng)知識體系的構(gòu)建

我們知道，軸對稱是旋轉(zhuǎn)對稱的特殊情形，旋轉(zhuǎn)對稱是軸對稱的一般推廣. 因此，誘導(dǎo)公式既可以利用單位圓的軸對稱性進(jìn)行推導(dǎo)，也可以利用單位圓的旋轉(zhuǎn)對稱性進(jìn)行推導(dǎo). 而且相比之下，后者可以更好地體現(xiàn)單元內(nèi)容在數(shù)學(xué)思想方法層面的內(nèi)在一致性和普適性.

通過教學(xué)要讓學(xué)生體會(huì)到兩角差的余弦公式的本質(zhì)是圓的旋轉(zhuǎn)對稱性的解析表示. 旋轉(zhuǎn)對稱性是圓的最重要的特性，三角恒等變換公式是圓的旋轉(zhuǎn)對稱性的解析表示，是旋轉(zhuǎn)任意角的誘導(dǎo)公式，兩者是特殊與一般的關(guān)系. 教學(xué)后，可以利用作業(yè)等方式，讓學(xué)生明確各種三角公式本質(zhì)上都是圓的基本性質(zhì)的解析表示，這些公式都可以用旋轉(zhuǎn)變換的方法統(tǒng)一起來. 例如，將角[α]的終邊旋轉(zhuǎn)整數(shù)周，得[2kπ±α]的三角公式；將角[α]的終邊旋轉(zhuǎn)半周的整數(shù)倍，得[kπ±α]的誘導(dǎo)公式，而且它們都可以借助單位圓給出幾何解釋. 經(jīng)過這樣的過程，可以讓學(xué)生深切體會(huì)到數(shù)形結(jié)合是研究三角函數(shù)的基本方法，借助單位圓的直觀，讓學(xué)生進(jìn)行觀察、分析、比較、綜合，有利于學(xué)生直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng)的發(fā)展. 正如章建躍博士所說，通過這種發(fā)揮“一般觀念”對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的引導(dǎo)作用，可以讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)從“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”的跨越，把數(shù)學(xué)基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)落實(shí)在基礎(chǔ)知識和基本技能的學(xué)習(xí)過程中，使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)真正落地.

2. 注意再放手，給予學(xué)生更大的思維空間

本節(jié)課，可以把問題設(shè)置得再開放些. 由于前面已經(jīng)利用單位圓的對稱性（幾何性質(zhì)）推導(dǎo)出了誘導(dǎo)公式，學(xué)生對單位圓的工具作用已經(jīng)有所體悟，可以留給學(xué)生更多的思考時(shí)間和小組交流展示的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生深入思考，經(jīng)歷“提出問題—初步猜想—反例反駁—再次猜想—取角驗(yàn)證—邏輯證明—得到公式”的過程，通過學(xué)生多視角、多途徑的探究提煉出具有普適意義的方法，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 例如，學(xué)生作角α - β時(shí)，可以先觀察對稱性，這樣為后續(xù)一般角的對稱性作鋪墊；研究兩個(gè)角終邊重合的情況時(shí)，可以考慮讓學(xué)生提出來，以訓(xùn)練學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，同時(shí)要注重討論分類.

教授本節(jié)課時(shí)，有學(xué)生很自然地提出：起始公式為什么是兩角差的余弦公式而不是兩角和的余弦公式或兩角和與差的正弦公式？我們在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)的時(shí)候，應(yīng)該對課堂適當(dāng)?shù)亓舭祝寣W(xué)生多一分發(fā)展，這樣的課堂才能出現(xiàn)“不期而遇”的精彩.

執(zhí)教教師似乎在刻意引導(dǎo)學(xué)生用教材上給出的方法進(jìn)行證明. 實(shí)際上，公式的證明方法有很多，學(xué)生肯定不會(huì)只想到這一種思路. 這里完全可以放手讓學(xué)生去思考、探究和提出方案，并且針對其中一種方案展開深入研究，其他方案讓學(xué)生在課后小論文中嘗試解決. 這樣的教學(xué)處理，學(xué)生的收獲會(huì)更大. 公式證明得出之后，可以考慮引導(dǎo)學(xué)生對公式進(jìn)行觀察，從結(jié)構(gòu)、作用等方面進(jìn)行歸納總結(jié)，而不是教師進(jìn)行總結(jié)，然后直接進(jìn)入例題研究.

小組討論的前提是個(gè)人獨(dú)立思考，這節(jié)課中幾次安排的小組討論都缺少個(gè)人獨(dú)立思考，所以討論中出現(xiàn)一言堂的情況，有的學(xué)生只能聽，參與少. 還有小結(jié)的處理，同樣缺少個(gè)人的思考.

對于例2的處理，執(zhí)教教師先提示解題思路及注意事項(xiàng)，然后學(xué)生完成. 如果讓學(xué)生先做，嘗試錯(cuò)誤，再加以解決，效果可能會(huì)更好.

練習(xí)1明確要求學(xué)生利用兩角差的余弦公式解決，限制了學(xué)生的思維.

總之，本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)準(zhǔn)確具體，符合《標(biāo)準(zhǔn)》要求，教學(xué)設(shè)計(jì)自然合理，關(guān)注學(xué)生的基礎(chǔ)及認(rèn)知規(guī)律，師生合作愉快，學(xué)生在愉悅中獲得新知，教學(xué)效果良好.

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］史寧中，王尚志.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》解讀［M］. 北京：高等教育出版社，2020.