盧龍

摘 ?要：在學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)建模活動選題、開題、做題等環(huán)節(jié)的基礎(chǔ)上，進(jìn)行以研究成果匯報為主題的結(jié)題展示交流活動. 在信息技術(shù)的支持下，通過小組測量及計算成果的展示，結(jié)合形式多樣、主體多元的綜合評價及應(yīng)用函數(shù)模型解決實際問題，感知數(shù)學(xué)建模的完整過程，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模；測量高度；展示交流

一、教學(xué)內(nèi)容解析

實際問題的函數(shù)建模是培養(yǎng)學(xué)生高層次思維、應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識及分析和解決問題的能力的重要載體. 本節(jié)課的內(nèi)容來源于《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中的案例15“測量學(xué)校內(nèi)、外建筑物的高度”. 對于運用所學(xué)知識解決實際高度測量的問題，學(xué)生從初中階段開始就有所接觸. 通過測量操場上旗桿的高度，學(xué)生了解了相似與全等知識在實際生活中的應(yīng)用. 在高中階段學(xué)習(xí)三角函數(shù)和立體幾何知識后，再一次進(jìn)行實際建筑物高度的測量，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)建模活動的完整過程.

學(xué)校內(nèi)的建筑物一般是底部可達(dá)的，學(xué)生可以通過構(gòu)造直角三角形、計算樓層數(shù)和層高，以及數(shù)磚塊層數(shù)等簡單的方式來獲取建筑物的近似高度. 學(xué)校外部的建筑物一般是底部不可達(dá)的，測量時需要制訂完整的測量方案并選擇合適的模型進(jìn)行計算，才能夠得到建筑物的近似高度.

根據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》中對數(shù)學(xué)建?；顒优c數(shù)學(xué)探究活動的教學(xué)提示，將“測量學(xué)校內(nèi)、外建筑物的高度”課題研究分為3個課時進(jìn)行. 第1課時，教師在課堂上組織開題交流，讓每個項目小組陳述初步測量方案，教師和其他學(xué)生可以提出疑問，在討論的基礎(chǔ)上，項目小組最終形成各自的測量方案. 學(xué)生需要撰寫開題報告，開題報告應(yīng)該包括選題的意義、文獻(xiàn)綜述、解決問題的思路、研究計劃、預(yù)期結(jié)果等. 第2課時，帶領(lǐng)學(xué)生實地測量，以小組為單位，先測量校內(nèi)一個建筑物的高度，再測量校外一個建筑物的高度，做好數(shù)據(jù)記錄和過程性資料的留存. 第3課時，呈現(xiàn)研究結(jié)果，教師組織學(xué)生進(jìn)行結(jié)題匯報. 本節(jié)課呈現(xiàn)的是第3課時的教學(xué)內(nèi)容.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點是：讓學(xué)生學(xué)會從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，解決測量建筑物高度的問題，體驗數(shù)學(xué)建模的完整過程，體會數(shù)學(xué)在實際生活中的應(yīng)用.

二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)設(shè)置如下.

（1）經(jīng)歷數(shù)學(xué)建?；顒拥幕具^程，體會數(shù)學(xué)建模思想.

（2）能對現(xiàn)實問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，制訂合理的測量方案，準(zhǔn)確收集數(shù)據(jù)，正確分析數(shù)據(jù)，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，利用信息技術(shù)工具求解模型、檢驗?zāi)Ｐ?、?yōu)化模型，最終達(dá)到解決實際問題的目的.

（3）感受數(shù)學(xué)來源于生活并能應(yīng)用于生活，用數(shù)學(xué)知識和方法可以解決實際生活中的問題，體驗數(shù)學(xué)在生活中的價值，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的興趣. 以小組為單位，在討論方案、實地測量、探索建模的過程中提升創(chuàng)新能力，體驗成功的喜悅，同時培養(yǎng)團隊協(xié)作的意識.

三、學(xué)生學(xué)情分析

測量高度是傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，與實際生活密切相關(guān)，學(xué)生在初中階段學(xué)習(xí)平面幾何中的勾股定理及三角形全等與相似知識后就可以解決此類問題. 本次數(shù)學(xué)建模活動的對象為高二年級的學(xué)生，學(xué)生思維活躍，具有一定自主探究與合作學(xué)習(xí)的能力，能運用信息技術(shù)解決簡單的數(shù)據(jù)運算問題. 從數(shù)學(xué)知識角度來看，學(xué)生學(xué)習(xí)了任意角的三角函數(shù)和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，掌握了解三角形的不同方法；學(xué)習(xí)了空間幾何體的相關(guān)性質(zhì)與運算，會將實際生活中的問題抽象成數(shù)學(xué)問題，并用數(shù)學(xué)的語言來表達(dá). 從物理知識角度來看，學(xué)生學(xué)習(xí)了自由落體運動，知道光沿直線傳播等基本原理. 但是將理論知識轉(zhuǎn)化成實踐的能力還有所欠缺，解決實際問題的經(jīng)驗還不夠豐富. 對于如何準(zhǔn)確利用已有工具測量仰角、如何優(yōu)化模型得到最優(yōu)解等，還需要教師進(jìn)行指導(dǎo).

因此，確定本節(jié)課的教學(xué)難點是：選擇合適的測量方案和測量工具測量相關(guān)數(shù)據(jù).

四、教學(xué)策略分析

（一）依據(jù)數(shù)學(xué)建模活動的內(nèi)容和要求組織教學(xué)材料

通過精心設(shè)計的開題問題，引導(dǎo)學(xué)生利用已有的知識儲備思考實際問題，在解決實際問題的過程中構(gòu)建函數(shù)模型開展數(shù)學(xué)建?；顒?，歸納出數(shù)學(xué)建?；顒拥囊话惴椒?，幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

（二）依據(jù)學(xué)情組織教學(xué)活動

根據(jù)學(xué)生的思維特點和認(rèn)知基礎(chǔ)，對教學(xué)重點和教學(xué)難點內(nèi)容（模型的建立、檢驗與優(yōu)化等）采用核心任務(wù)探究的教學(xué)方式，在每個核心任務(wù)下設(shè)置子任務(wù)，通過獨立思考、小組合作、展示交流、互評反思等師生活動來強化教學(xué)重點、突破教學(xué)難點. 學(xué)生在嘗試和探索中掌握數(shù)學(xué)建?；顒拥臄?shù)學(xué)思想和一般方法.

（三）突出數(shù)學(xué)思想方法的提煉和滲透

在引導(dǎo)學(xué)生主動建構(gòu)數(shù)學(xué)知識的同時，保持積極有效的思維活動，培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維和開放性視野，提升學(xué)生分析問題和解決問題的能力，以及交流合作和用數(shù)學(xué)語言表達(dá)的能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理和直觀想象素養(yǎng).

（四）運用“互聯(lián)網(wǎng) +”提高教學(xué)效率

學(xué)生借助數(shù)學(xué)軟件和圖形計算器求解模型，體會信息技術(shù)在科學(xué)研究過程中起到的重要作用.

五、教學(xué)過程設(shè)計

由于本次數(shù)學(xué)建?；顒邮侵付ㄕn題，學(xué)生不需要經(jīng)歷選題的過程，因此共分為3個課時來完成，分別為開題、做題和結(jié)題. 前期已經(jīng)完成前兩部分，本節(jié)課為本次活動的第3課時，即結(jié)題匯報環(huán)節(jié).

（一）開題

開題部分用1個課時來完成，課前提供了研究課題，設(shè)置了開題任務(wù)單，讓學(xué)生通過復(fù)習(xí)回顧、調(diào)查研究、查閱資料等方式思考以下問題，并在課堂上進(jìn)行解決.

（1）測量什么建筑物？

（2）如何測量？理論依據(jù)是什么？至少設(shè)計兩套方案.

（3）需要的測量工具和計算工具有哪些？可能會遇到哪些實際困難？怎么解決？

【設(shè)計意圖】培養(yǎng)學(xué)生通過查閱資料、請教師長、自主思考、小組探討等途徑獲取信息和分析問題的能力.

（二）做題

做題部分用1個課時來完成，學(xué)生以小組為單位進(jìn)行實地測量并記錄數(shù)據(jù)，隨后求解模型、修改模型，并進(jìn)行誤差分析等.

【設(shè)計意圖】讓每位學(xué)生親身經(jīng)歷通過實驗收集數(shù)據(jù)的過程，感受建立數(shù)學(xué)模型解決實際問題的過程. 通過對結(jié)果的分析，讓學(xué)生認(rèn)識到實際測量會產(chǎn)生誤差，進(jìn)而分析誤差產(chǎn)生的原因，探究減小誤差的方法.

（三）結(jié)題

1. 前情回顧

教師帶領(lǐng)學(xué)生簡要回顧本次數(shù)學(xué)建?；顒忧捌诮?jīng)歷的過程，包含開題和做題兩個重要環(huán)節(jié). 開題部分，學(xué)生通過小組討論、查閱資料、詢問教師等多種方式探討了測量建筑物高度的方案. 每個小組根據(jù)實際情況撰寫了開題報告，并設(shè)計了至少兩種測量方案. 做題部分，對校內(nèi)建筑物的測量由小組自行選擇時間開展活動，對校外建筑物的測量由教師帶領(lǐng)全班學(xué)生在同一時間開展.

【設(shè)計意圖】通過對之前活動的回顧，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)建模的過程，為本節(jié)課的活動作好鋪墊. 同時展示學(xué)生課下測量的照片等，提高學(xué)生對本節(jié)課的探究興趣.

校內(nèi)建筑物底部可達(dá)，測量較為容易. 各小組上交方案后，由教師進(jìn)行匯總分析，共展示7種不同的測量方案. 具體的測量方案與對應(yīng)模型如下.（記建筑物AB的高為H.）

方案1：單點位測仰角法（如圖1）；單點位測仰角與俯角法（如圖2）.

單點位測仰角法中，[H=atanα+h]；單點位測仰角與俯角法中，[H=n+m=atanα+atanβ.]

方案2：用等比例法同時刻測量物高與影長（如圖3）.

建筑物AB的高[H=bha].

方案3：臺階總數(shù) × 每級臺階的高度.（假設(shè)每級臺階高度相同.）

方案4：樓層數(shù) × 每層樓的高度.（假設(shè)每層樓高度相同.）

方案5：自由落體運動實驗.

方案6：在樓頂直接測量高度.（建筑物樓頂可達(dá)且高度有限.）

方案7：利用Phyphox軟件測量.

【設(shè)計意圖】校內(nèi)建筑物的測量較為容易，學(xué)生設(shè)計的方案簡單易操作，由教師進(jìn)行成果匯總展示，留下更多的時間和空間讓學(xué)生匯報校外建筑物的測量方案和測量結(jié)果.

各小組經(jīng)過討論，對校外建筑物的測量都選擇了西安市地標(biāo)性建筑物——大雁塔（在學(xué)校操場上可以看到）. 測量地點選定了三處，分別為學(xué)校操場、大慈恩寺外和大慈恩寺內(nèi).

2. 展示交流

分析比對學(xué)生提交的數(shù)學(xué)建模成果，選擇具有代表性的成果進(jìn)行課堂展示交流.（但提前不告訴學(xué)生，以免影響學(xué)生課堂學(xué)習(xí)的積極性.）

（1）組1展示交流.

① 選擇測量的建筑物及選擇原因.

選擇測量大雁塔. 因為大雁塔聞名中外，用所學(xué)的知識解決對它的高度的測量問題，對我們來說是一個很好的實踐活動.

② 測量方案及模型選擇.

經(jīng)查閱資料及詢問相關(guān)工作人員，得知大雁塔周圍樹木掩映，遮擋物較多，塔底不具備單點位測量的條件. 我們組在與《海島算經(jīng)》相關(guān)的高考試題的啟發(fā)下，建立了雙點位測量的模型，如圖4所示.

在該模型中，需要知道兩個測量點D，E到塔的頂點B的仰角及兩個測量點間的距離[a，] 從而利用三角函數(shù)相關(guān)知識計算出塔[AB]的高度[H=BC+h=atanαtanβtanα-tanβ+h.]

在探討過程中，考慮到仰角的正切值可以利用三角形邊之間的比值來獲得. 圖4中的[l]為比人略高的標(biāo)桿，借助標(biāo)桿高度、目高和人桿距可得兩次仰角的正切值，故此方案不用測量仰角的大小. 計算公式為[H=al-hd2-d1+h.]

注意到在圖4中有一個[△BCD]與兩次測量的仰角和距離均有關(guān)系，于是考慮在該三角形中用所學(xué)的正弦定理來計算[BD]的長，從而計算[BC.] 加上目高即可得塔高[H=asinαsinβsinα-β+h.]

我們采用的測量仰角的工具是自制測傾器，自制測傾器用到的工具有大量角器（度盤）、三腳架和鉛錘.

③ 測量數(shù)據(jù).

分別利用公式[H=al-hd2-d1+h]和[H=asinαsinβsinα-β+h]對大雁塔的高度進(jìn)行3次測量，測量數(shù)據(jù)如表1和表2所示.（記桿高[l為2 m，] 目高[h][為1.62 m].）

基于上述測量數(shù)據(jù)，求得大雁塔高度的平均值為69.37 m.

④ 結(jié)果及誤差分析.

經(jīng)測量，校內(nèi)建筑物的高度為[25.4 m，] 與實際高度相差[0.1 m;] 大雁塔的高度為[69.37 m，] 與實際高度[64.5 m]相差較大. 于是我們進(jìn)行了誤差分析和模型應(yīng)用. 由于校內(nèi)建筑物底部可達(dá)，便于測量，因此測量結(jié)果較為精確. 大雁塔的測量結(jié)果誤差較大，考慮到是由大慈恩寺內(nèi)地面不平整，測量數(shù)據(jù)較多，且測量的仰角精度不高等原因造成的. 隨后，為了驗證模型的可行性并且對模型進(jìn)行應(yīng)用，我們測量了位于學(xué)校操場西邊校園外的一座底部不可達(dá)的建筑物，結(jié)果為[85.2 m，] 與實際高度[85.7 m]相差較小，說明模型具有可行性.

解決教師提出的問題：如何用一張A4紙測量大雁塔的高度？

根據(jù)小組建立的測量模型，在實際測量時需要測量仰角以計算其正切值，而A4紙的長度和寬度為定值，沿對角線折疊以后會產(chǎn)生兩個正切值已知的銳角，可以作為天然的測傾器來使用，從而可以根據(jù)測量數(shù)據(jù)計算出大雁塔的高度. 測量模型如圖5所示.

模型計算公式：[H+c-d+a-1.5tanβ-H+c-d-1.5tanα=b.] 計算結(jié)果為[65.1 m.]（記目高為1.5 m，兩個測量點間的距離為[b].）

⑤ 活動感受.

測量底部不可達(dá)的建筑物高度的核心是測量長度和角度，靈活利用手邊可以利用的工具開展測量活動.

正所謂“預(yù)則立，不預(yù)則廢”. 在進(jìn)行實踐活動之前，應(yīng)該充分準(zhǔn)備，提前制訂方案，并且要詳細(xì)計劃，預(yù)設(shè)可能遇到的實際問題并確定解決方案.

（2）組2展示交流.

① 模型展示.

實際測量時，考慮到雙點位測量過程中兩個測量點與塔心共線這一要求較難達(dá)到，于是對模型進(jìn)行了改進(jìn)，如圖6所示.

圖6中，[M，N]兩點為測量點，測出這兩點與塔心的夾角及兩點間的距離，再測出某個測量點處到塔尖的仰角，即可計算出塔高. 考慮到大雁塔底部不可達(dá)，因此角[α，β]無法準(zhǔn)確測量，于是優(yōu)化模型如圖7所示. 為了便于觀察，圖中略去了目高，利用指南針，將兩個測量點分別放在塔的正南方和正西方. 這樣，塔心與兩個測量點之間的夾角為直角，只需要測量兩次測量點處的仰角[α 和 β]、距離[a]和目高[h，] 即可用公式[H=atanαtanβtan2α+tan2β+h]計算出塔的高度. 但是這個模型依然面臨一個實際測量的困難，即兩個測量點之間的距離由于有遮擋物而無法測量，于是對模型又進(jìn)行了優(yōu)化. 如圖8，將底面三角形的直角頂點作為一個測量點，選取合適的距離作為另一個測量點，分別測量兩個測量點處的仰角[α 和 β]、兩點間的距離[a]及目高[h，] 即可利用公式[H=atanαtanβtan2β-tan2α+h]計算出塔的高度.

我們組確定的另外一個方案是給待測量建筑物拍照，利用比例尺的原理通過已知參照物的高度來計算建筑物的高度. 在實際測量時發(fā)現(xiàn)該方法測量出來的大雁塔的高度為[31.6 m，] 還不到實際高度的一半. 改變拍攝位置、拍攝角度和拍攝參照物，依然有非常大的誤差，該方法并不適合用于測量大雁塔. 經(jīng)過小組分析，原因在于拍攝的位置與大雁塔距離較近，塔身有一定的高度，拍攝時會存在仰角，導(dǎo)致塔的上半部分比例失調(diào). 考慮到此方法的理論可行性，小組認(rèn)為，找到合適的拍攝位置，且參照物與塔身距離足夠近時，誤差相對較小. 此方案在本次測量活動中以失敗告終.

② 數(shù)據(jù)運算.

我們組對數(shù)據(jù)的計算利用了圖形計算器，它的優(yōu)勢是對于同一模型可以在編輯好公式后，輸入不同的數(shù)據(jù)反復(fù)運算，提高了運算速度.

最終通過雙點位共線測量的方法測得塔高為[64.81 m，] 通過雙點位不共線測量的方法測得塔高為[64.80 m.] 兩次測量結(jié)果非常接近，與大雁塔的實際高度相差較小，說明在減小誤差方面的舉措是成功的.

③ 活動感受.

我們組在探討方案時還提到了利用放風(fēng)箏的方法，通過計算風(fēng)箏線與地面夾角的正切值來測算塔高，但是出于對文物的保護，以及風(fēng)箏線自身的重力無法忽略不計等原因，沒有通過. 另外，還想通過氣壓計測量氣壓差來測算高度，此方案受限于塔頂不可達(dá)和空氣密度不均勻等實際因素，仍然沒有通過. 拍照利用比例尺的方法提醒我們，現(xiàn)實和理想是有差距的，有些時候理論上很完美的事情，在實際執(zhí)行時會遇到各種各樣的困難.

（3）組3展示交流.

① 校內(nèi)建筑物的測量.

校內(nèi)建筑物采用Phyphox軟件測量，該軟件可以實現(xiàn)對一些生活中基本物理量的測量，可以根據(jù)電梯的運行速度及時間來計算運行高度. 通過此軟件，測量出校園內(nèi)崇是樓的高度為[18.88 m，] 與真實值[18.9 m]相差較小.

② 校外建筑物的測量.

校外建筑物采用平面鏡兩次觀測塔頂?shù)姆绞絹頊y量，模型如圖9所示.

其中[M，N]兩點為平面鏡放置位置，為了盡可能減小誤差，在平面鏡上找一個標(biāo)記點為眼睛看到塔頂?shù)奈恢?，同時測量了三組數(shù)據(jù)取其平均值. 計算公式為[H=hcb-a，] 統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表3所示.

經(jīng)過計算，得到大雁塔的平均測量高度約為[64.9 m，] 與實際高度相差較小.

【設(shè)計意圖】小組展示交流活動是本節(jié)課非常重要的一個環(huán)節(jié)，是本節(jié)課實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)、突出教學(xué)重點、突破教學(xué)難點的有力活動支撐，也是對課下學(xué)生做題活動的肯定，同時為接下來的模型評價環(huán)節(jié)奠定了基礎(chǔ).

3. 評價提升

模型評價環(huán)節(jié)通過對所建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行評價，讓學(xué)生更加深入地分析不同模型的優(yōu)點、缺點及可行性等，從中體會數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)建?；顒拥某晒捌鋺?yīng)用價值.

（1）教師評價.

從模型的可行性、誤差大小及小組成員探索問題的精神等方面進(jìn)行評價.

組1的模型是各個小組都用到的模型，該組在測量和運算兩個方面都有亮點，測量時利用了測量標(biāo)桿等數(shù)據(jù)來計算正切值的思路，并且采用自制的測傾器對仰角進(jìn)行了測量，具備很強的動手能力；計算時用到了正弦定理，體現(xiàn)了對所學(xué)知識的靈活運用及轉(zhuǎn)化與化歸的思想. 通過測量另外一座建筑物，對模型進(jìn)行可行性驗證. 但是測量結(jié)果誤差較大，還需要繼續(xù)探討減小誤差的方法.

組2建立的模型為立體幾何模型，并且進(jìn)行了多次模型優(yōu)化，在計算時還考慮到了三垂線定理，知識運用很全面. 計算采用了圖形計算器，借助工具，使得運算便捷. 測量結(jié)果誤差較小，可以嘗試推廣.

組3的模型運算簡單，數(shù)據(jù)易測，使用的工具也很便捷，測量校內(nèi)建筑物時還有效利用了手機軟件，方法獨特. 此方法由于人為觀測的原因，易產(chǎn)生較大誤差，可以繼續(xù)思考怎樣做能夠減小誤差.

【設(shè)計意圖】通過教師的引導(dǎo)讓學(xué)生了解如何對模型進(jìn)行評價，體現(xiàn)了教師“教”的主導(dǎo)地位，同時通過教師的評價，讓學(xué)生感受評價的方式也是實現(xiàn)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)、突出教學(xué)重點、突破教學(xué)難點的重要載體.

（2）小組自評與互評.

開展課堂小組討論活動，通過小組內(nèi)部討論，結(jié)合自己小組的模型選定一個模型在課堂上進(jìn)行評價，每個小組選派一名代表發(fā)言.

組1學(xué)生代表評價組2的模型：首先，組2的模型與其他組的都不同，他們考慮到實際情況，建立了立體幾何的模型，并且有多次對模型進(jìn)行優(yōu)化的過程. 計算數(shù)據(jù)時，也考慮到了幾何關(guān)系，應(yīng)用了三垂線定理. 值得我們學(xué)習(xí).

組2學(xué)生代表評價組3的模型：組3是我們一起測量時所帶的儀器最少的，測量時也非常便捷，他們化繁為簡，值得我們學(xué)習(xí). 但是他們的測量誤差較大，應(yīng)該考慮多換幾個方向去測量.

組3學(xué)生代表評價本組的模型：我們組的模型測量數(shù)據(jù)為長度和高度，相比于其他模型，沒有測角的過程，測量簡單、運算簡潔，可行性較高.

組4學(xué)生代表評價組2的模型：組2在建立模型過程中遇到困難時能夠及時解決，不輕言放棄的精神值得我們學(xué)習(xí).

組5學(xué)生代表評價組1的模型：組1解決了用[A4]紙測量大雁塔高度的問題，非常不可思議，利用手邊最簡單的工具，結(jié)合所學(xué)知識，解決實際測量問題，是生活數(shù)學(xué)化的最好體現(xiàn).

組6學(xué)生代表評價組2的模型：組2在模型求解時運用了圖形計算器，使得運算過程簡單、準(zhǔn)確，在測量時所用的工具也獨樹一幟.

【設(shè)計意圖】通過自評與互評，讓學(xué)生感受相互學(xué)習(xí)、交流的重要性和必要性，在發(fā)現(xiàn)他人優(yōu)點的同時也關(guān)注自身建?；顒舆^程中存在的問題，為后期改進(jìn)、優(yōu)化模型奠定基礎(chǔ). 同時，讓更多學(xué)生參與到課堂活動中來.

4. 模型應(yīng)用

各小組設(shè)計的測量方案，建立的測量模型可行性如何呢？課后嘗試去測量西安“西部之光”電視塔的高度.

教師介紹從古至今測量高度用到的工具，包括現(xiàn)在常用的全站儀、激光測距儀、無人機等，讓學(xué)生感受精密的測量儀器使用的也是最基本的數(shù)學(xué)原理，我國對于高度的探索從未停止. 從而引發(fā)學(xué)生思考：如何測量一座山的高度？進(jìn)而引出對珠穆朗瑪峰高程的測量，以及我國連同尼泊爾對珠穆朗瑪峰新的高程的測定結(jié)果——[8 848.86 m，] 這是世界新的高度！

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)來源于生活、應(yīng)用于生活，從而解決生活中的問題，激發(fā)學(xué)生的求知欲和探索欲，提升學(xué)生的民族自豪感. 本環(huán)節(jié)是實現(xiàn)本節(jié)課育人目標(biāo)的重要載體.

5. 小結(jié)提升

學(xué)生回憶本節(jié)課的主要內(nèi)容，教師引導(dǎo)學(xué)生從多方面來思考和表達(dá). 學(xué)生自述，教師補充總結(jié)，同時完善板書.

（1）對于底部可達(dá)與底部不可達(dá)的建筑物，從平面與空間，以及數(shù)學(xué)與物理等角度看，有多種不同的測高方式.

（2）數(shù)學(xué)建?；顒拥幕静襟E，如圖10所示.

[不符合實際][實際情境][提出問題][建立模型][實際結(jié)果][檢驗結(jié)果][求解模型][符合實際][圖10]

6. 作業(yè)布置

基礎(chǔ)作業(yè)：查閱資料，了解更多我國關(guān)于測量的歷史與現(xiàn)狀.

【設(shè)計意圖】學(xué)生課下獨立完成，通過查閱資料，對本次數(shù)學(xué)建?；顒拥难芯恳饬x和價值有更深入的認(rèn)識.

拓展作業(yè)：（1）總結(jié)本次數(shù)學(xué)建模活動經(jīng)驗，以小組為單位嘗試測量西安“西部之光”電視塔的高度.

（2）修改完成本次數(shù)學(xué)建模活動的結(jié)題報告.

【設(shè)計意圖】模型的推廣與應(yīng)用是數(shù)學(xué)建?；顒拥囊徊糠郑瑧?yīng)用模型解決實際問題，為下一次的數(shù)學(xué)建?；顒幼骱脺?zhǔn)備，課下小組合作完成.

六、課后反思

（一）珍惜建模機會，發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

數(shù)學(xué)建?；顒邮菍ΜF(xiàn)實問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的過程. 各版本的教材中，以數(shù)學(xué)知識及其蘊含的數(shù)學(xué)思想和方法為主要學(xué)習(xí)任務(wù)的課程內(nèi)容中滲透數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)，使學(xué)生在潛移默化中了解了數(shù)學(xué)建模的基本思想、基本過程與步驟，掌握了數(shù)學(xué)建?；顒硬煌h(huán)節(jié)的“操作要領(lǐng)”，并使學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型解決實際問題的技能得到了循序漸進(jìn)的鍛煉，從而為開展數(shù)學(xué)建模課題研究作好了必要的準(zhǔn)備. 現(xiàn)在帶領(lǐng)學(xué)生走出課堂，實地測量，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的“選題—開題—做題—結(jié)題”數(shù)學(xué)建?；顒舆^程，在做中學(xué)、做中思，不斷發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題，通過開展識模、建模、解模、驗?zāi)５幕顒犹嵘季S能力，發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

（二）師生不斷學(xué)習(xí)，適應(yīng)角色要求

數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)是一種綜合素養(yǎng)，數(shù)學(xué)建?；顒邮且环N綜合實踐活動，涉及的知識、方法和能力其實不只在數(shù)學(xué)中. 做好數(shù)學(xué)建模活動的教學(xué)，也需要以教師的綜合能力為保障. 教師應(yīng)該樹立終身學(xué)習(xí)意識，適應(yīng)各種角色. 教師提高數(shù)學(xué)建?；顒咏虒W(xué)能力的最直接途徑就是投身其中，積極開展數(shù)學(xué)建?；顒拥慕虒W(xué)案例研究. 筆者認(rèn)為，在整個數(shù)學(xué)建模活動過程中，教師應(yīng)該是一個多樣的導(dǎo)師角色，絕對不能用自己的知識儲備代替學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的過程. 教師應(yīng)該把握好指導(dǎo)的時機和內(nèi)容，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的過程得到模型，從而真正提升學(xué)生解決問題的能力和思維品質(zhì).

（三）抓住實踐拓展，落實學(xué)科育人

數(shù)學(xué)學(xué)科育人要發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量. 數(shù)學(xué)教育要引導(dǎo)學(xué)生會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界，促進(jìn)思維能力，提升實踐能力，發(fā)展創(chuàng)新意識，動手解決實際問題，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型并求解，在實踐活動中將書本知識與實踐能力相結(jié)合.

這次跨學(xué)科（數(shù)學(xué)、物理、地理等）實踐活動，提醒學(xué)生要有團隊合作素養(yǎng)和意識. 為了落實數(shù)學(xué)學(xué)科的育人目標(biāo)，教師還要從現(xiàn)實生活中的例子（珠穆朗瑪峰高度的測量）出發(fā)，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)在生活中的廣泛應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情. 另外，筆者還通過“測量文化”的搜集與交流展示，讓學(xué)生獲得了民族自豪感，增強了學(xué)生的文化自信.

（四）抓住評價機會，促進(jìn)學(xué)生發(fā)展

設(shè)置數(shù)學(xué)建?；顒又荚诩訌姅?shù)學(xué)與學(xué)生現(xiàn)實生活的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)地觀察周圍世界，逐步學(xué)會從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)和提出問題，用數(shù)學(xué)的方法分析和解決現(xiàn)實問題，從而改變單純而機械的解題操練，形成多樣化的學(xué)習(xí)方式.

通過學(xué)生的展示，結(jié)合學(xué)生和教師的評價，學(xué)生在交流的過程中既展現(xiàn)了個性，又學(xué)會了交流及明辨優(yōu)劣. 借助評價，教師和學(xué)生的獲得感大幅度提升，這有利于本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)的順利實現(xiàn). 在本次數(shù)學(xué)建模活動中，學(xué)生表現(xiàn)出了非常高的熱情，整個活動中學(xué)生的綜合能力得到了明顯的提升. 關(guān)注數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的連續(xù)性和階段性特點，數(shù)學(xué)建?；顒拥拈_展應(yīng)該常態(tài)化、系列化，將主動探索、積極驗證的動手操作過程變成真實的活動過程，鼓勵學(xué)生深度學(xué)習(xí).

（五）待完善的選題環(huán)節(jié)

本次數(shù)學(xué)建模活動為指定課題，學(xué)生經(jīng)歷了選擇測量什么樣的建筑物的過程，但并未經(jīng)歷完整的選擇研究什么樣的問題的過程，教師在教學(xué)過程中滲透了從實際生活中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的必要性，后期開展數(shù)學(xué)建模活動時可以嘗試讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題，給學(xué)生足夠的探索空間，經(jīng)歷通過討論確定選題的過程，這更有利于提高學(xué)生進(jìn)行實踐活動的積極性.

參考文獻(xiàn)：

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