樂哲君

摘 ?要：在學(xué)生學(xué)習(xí)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)，函數(shù)的概念、性質(zhì)及應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等內(nèi)容的基礎(chǔ)上，類比已有經(jīng)驗(yàn)，運(yùn)用計(jì)算器、Excel軟件、GeoGebra軟件等多種信息技術(shù)工具，探究函數(shù)[y=xa-logbx]的圖象與性質(zhì)，目的是使學(xué)生學(xué)會(huì)用幾何直觀和代數(shù)推理的方法探究函數(shù)，為之后研究新的函數(shù)提供方法指導(dǎo)．

關(guān)鍵詞：冪對(duì)差值函數(shù)；信息技術(shù)；圖象與性質(zhì)；探究函數(shù)

一、教學(xué)內(nèi)容解析

1. 教學(xué)內(nèi)容

借助代數(shù)推理與幾何直觀探究函數(shù)[y=xa-logbx]的圖象與性質(zhì)，并通過函數(shù)圖象和代數(shù)運(yùn)算理解和解決問題. 教學(xué)內(nèi)容與函數(shù)單元框架，如圖1所示.

2. 內(nèi)容解析

本節(jié)課從滬教版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”）必修第一冊(cè)“4.3 對(duì)數(shù)函數(shù)”的課后閱讀、探究與實(shí)踐出發(fā)，主要內(nèi)容是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)，函數(shù)的概念、性質(zhì)及應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的基礎(chǔ)上，運(yùn)用信息技術(shù)探究函數(shù)[y=xa-logbx]的圖象與性質(zhì)，并通過代數(shù)推理證明部分性質(zhì). 目的是使學(xué)生學(xué)會(huì)用幾何直觀和代數(shù)推理的方法探究函數(shù)，為之后研究新的函數(shù)提供方法指導(dǎo)，同時(shí)使學(xué)生對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)的增長速度有更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼J(rèn)識(shí)，是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的點(diǎn)睛之筆.

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一. 高中的函數(shù)內(nèi)容主要安排在教材必修第一冊(cè)第四章“冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)”和第五章“函數(shù)的概念、性質(zhì)及應(yīng)用”，教材必修第二冊(cè)第七章“三角函數(shù)”，以及教材選擇性必修第二冊(cè)第五章“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”．函數(shù)的概念、函數(shù)的基本性質(zhì)以及基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)既是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是建立函數(shù)模型解決諸多實(shí)際問題的重要工具．學(xué)習(xí)函數(shù)，有助于增強(qiáng)學(xué)生對(duì)用數(shù)學(xué)方法描述客觀規(guī)律的認(rèn)識(shí)，有助于學(xué)生感悟用數(shù)學(xué)模型解釋自然現(xiàn)象的作用，有助于在用函數(shù)知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問題的過程中增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)．

本節(jié)課是一節(jié)探究課，探究的內(nèi)容是一個(gè)新的函數(shù)[y=xa-logbx]，基于教材的拓展內(nèi)容新定義該函數(shù)為冪對(duì)差值函數(shù). 冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)都是基本的、應(yīng)用廣泛的函數(shù)，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)相關(guān)內(nèi)容的基礎(chǔ)，也是本節(jié)課探究的基礎(chǔ). 根據(jù)冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的分類，本節(jié)課在此基礎(chǔ)上先將冪對(duì)差值函數(shù)[y=xa-][logbx]按[a，b]的取值范圍進(jìn)行分類. 直接利用冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，從代數(shù)角度分析冪對(duì)差值函數(shù)[y=xa-logbx]在[a≤0，b>1]與[a≥0，0

對(duì)于難以通過性質(zhì)分析直接得到函數(shù)性質(zhì)的情況，即當(dāng)[a>0，b>1]和[a<0，0

函數(shù)性質(zhì)的探究需要經(jīng)歷“描繪具體函數(shù)圖象—?dú)w納猜想函數(shù)共性—代數(shù)推理嚴(yán)格論證”的過程，并運(yùn)用信息技術(shù)開展探究，這是本節(jié)課的重點(diǎn). 本節(jié)課讓學(xué)生完整地經(jīng)歷觀察、猜測(cè)和證明等探究過程，引導(dǎo)學(xué)生嘗試從代數(shù)推理和幾何直觀兩個(gè)角度研究函數(shù)，讓學(xué)生充分體驗(yàn)分類討論、從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，發(fā)展邏輯推理和直觀想象素養(yǎng)．同時(shí)，使用Excel，GeoGebra等軟件能讓學(xué)生感受到信息技術(shù)在探究過程中的作用，讓學(xué)生感受到信息技術(shù)讓實(shí)踐和創(chuàng)新成為可能，驅(qū)動(dòng)學(xué)生在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中有更多的熱情，并投入更多的精力．

二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

1. 教學(xué)目標(biāo)

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)設(shè)置如下.

（1）回顧冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)在[0，+∞]上的性質(zhì)，了解冪對(duì)差值函數(shù)[y=xa-logbx]的分類方法，學(xué)會(huì)分析冪對(duì)差值函數(shù)的性質(zhì)，體會(huì)類比思想.

（2）經(jīng)歷用Excel軟件描點(diǎn)繪圖的過程，并觀察用GeoGebra軟件繪制的冪對(duì)差值函數(shù)圖象，體會(huì)從特殊到一般的研究方法，學(xué)會(huì)通過觀察具體函數(shù)圖象歸納猜想冪對(duì)差值函數(shù)的圖象特征，感受信息技術(shù)在探索函數(shù)的圖象與性質(zhì)中的作用，提升運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的能力，發(fā)展直觀想象素養(yǎng).

（3）在歸納猜想的基礎(chǔ)上學(xué)會(huì)用代數(shù)推理證明性質(zhì)，能夠用導(dǎo)數(shù)證明冪對(duì)差值函數(shù)的單調(diào)性，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng).

（4）在交流活動(dòng)中分享探究的喜悅與困惑，養(yǎng)成規(guī)范表達(dá)的習(xí)慣，反思研究函數(shù)的一般方法，培養(yǎng)勇于探索的思維品質(zhì)，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心．

2. 目標(biāo)解析

達(dá)成教學(xué)目標(biāo)（1）的標(biāo)志：能在回顧冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)在[0，+∞]上的圖象與性質(zhì)后，對(duì)冪對(duì)差值函數(shù)[y=xa-][logbx]按[a，b]的取值范圍進(jìn)行分類，能通過分析冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得出當(dāng)[a≤0，b>1]時(shí)的冪對(duì)差值函數(shù)的性質(zhì)，并類比得到[a≥0，0

達(dá)成教學(xué)目標(biāo)（2）的標(biāo)志：讓學(xué)生用Excel軟件繪制冪對(duì)差值函數(shù)[y=xa-logbx]在[a>0，b>1]時(shí)的幾個(gè)具體函數(shù)圖象，并觀察用GeoGebra軟件演繹的參數(shù)變化時(shí)的函數(shù)圖象，感受冪對(duì)差值函數(shù)[y=xa-logbx]的形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律，能歸納猜想出圖象特征與函數(shù)的性質(zhì).

達(dá)成教學(xué)目標(biāo)（3）的標(biāo)志：能用導(dǎo)數(shù)證明冪對(duì)差值函數(shù)[y=][xa-logbx]在[a>0，b>1]時(shí)的單調(diào)性.

達(dá)成教學(xué)目標(biāo)（4）的標(biāo)志：讓學(xué)生經(jīng)歷完整的冪對(duì)差值函數(shù)[y=xa-logbx]的圖象與性質(zhì)的探究過程，在交流活動(dòng)中分享探究的喜悅與困惑，養(yǎng)成規(guī)范表達(dá)的習(xí)慣，學(xué)會(huì)探究函數(shù)的一般思路（描繪具體函數(shù)圖象—?dú)w納猜想函數(shù)共性—代數(shù)推理嚴(yán)格論證），并能自主地對(duì)本節(jié)課的探究過程和思想方法加以總結(jié)．

三、學(xué)生學(xué)情分析

本節(jié)課的授課對(duì)象為高三年級(jí)的學(xué)生，他們經(jīng)歷了對(duì)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的探究過程，掌握了函數(shù)的概念、性質(zhì)及其應(yīng)用，了解了導(dǎo)數(shù)的概念，能借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)函數(shù)的研究思路與方法有了一定的感性認(rèn)識(shí)，具有一定的觀察、分析和推理能力，這為本節(jié)課的探究提供了保障. 學(xué)生能較好地表達(dá)自己的觀點(diǎn)，渴望應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)解決問題，但對(duì)新的函數(shù)進(jìn)行探究仍然存在一定的困難. 學(xué)生需要進(jìn)一步鞏固與實(shí)踐“為什么要研究”“研究什么”“如何研究”這些問題．

此外，在數(shù)學(xué)課堂上，該班級(jí)學(xué)生較多地呈現(xiàn)出被動(dòng)學(xué)習(xí)的狀態(tài)，缺少主動(dòng)研究的意識(shí). 但是通過溝通了解，大部分學(xué)生能夠接受合作學(xué)習(xí)，并喜歡合作學(xué)習(xí)，也希望數(shù)學(xué)教學(xué)方法能夠更加多元化，并富有趣味性．

因此，本節(jié)課從教材中對(duì)數(shù)函數(shù)的增長速度的探究出發(fā)，讓學(xué)生自己動(dòng)手計(jì)算函數(shù)值，交流對(duì)三類函數(shù)增長速度差異的思考；讓學(xué)生親自用Excel軟件描點(diǎn)繪圖，觀察用GeoGebra軟件演示參數(shù)變化時(shí)冪對(duì)差值函數(shù)的形態(tài)變化. 組織合作交流、觀察圖象、歸納性質(zhì)、代數(shù)證明等環(huán)節(jié)，鼓勵(lì)學(xué)生分享自己的發(fā)現(xiàn)，讓學(xué)生完整地參與研究函數(shù)的過程，有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能動(dòng)性．

四、教學(xué)策略分析

1. 類比已有經(jīng)驗(yàn)，構(gòu)建整體研究架構(gòu)

本節(jié)課從教材內(nèi)容出發(fā)，在回顧已學(xué)的冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，類比得到探究函數(shù)[y=xa-logbx]的分類情況，并啟發(fā)學(xué)生通過分析初等函數(shù)的性質(zhì)直接得出當(dāng)[a≤0，b>1]時(shí)函數(shù)[y=xa-logbx]的性質(zhì)，并由此類比得到[a≥0，] [0

2. 借助信息技術(shù)，提高課堂教學(xué)效能

課前安排學(xué)生借助計(jì)算器計(jì)算三對(duì)函數(shù)的函數(shù)值，讓學(xué)生在計(jì)算中感受計(jì)算器的計(jì)算功能，在比較計(jì)算結(jié)果中增強(qiáng)數(shù)感. 在回顧冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)時(shí)，通過課件演示動(dòng)圖，清晰、快捷地鞏固已學(xué)知識(shí). 在通過分析性質(zhì)得到結(jié)論1和結(jié)論2之后，由性質(zhì)指導(dǎo)作圖，并通過課件演示，促進(jìn)學(xué)生對(duì)這兩類情況下冪對(duì)差值函數(shù)[y=xa-logbx]的圖象與性質(zhì)的理解. 通過課前活動(dòng)的計(jì)算已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了冪對(duì)差值函數(shù)[y=xa-logbx]的數(shù)據(jù)結(jié)果較為復(fù)雜，不易描點(diǎn)作圖，借助Excel軟件的繪圖功能，可以繪制出多個(gè)具體函數(shù)的散點(diǎn)圖，且能通過多次改變自變量的初始值、步長、個(gè)數(shù)探究自己想觀察的部分，既清晰準(zhǔn)確，又方便快捷，讓學(xué)生體會(huì)到信息技術(shù)強(qiáng)大的數(shù)據(jù)處理功能與圖象繪制功能. 同時(shí)，用GeoGebra軟件輔助演示參數(shù)變化時(shí)的函數(shù)圖象，讓學(xué)生感受冪對(duì)差值函數(shù)[y=xa-logbx]的形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律，通過觀察更好地歸納函數(shù)的共性，更好地提高學(xué)生用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的能力.

3. 以學(xué)生為中心，通過引導(dǎo)輔助探究

本節(jié)課通過安排課前學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生在比較中產(chǎn)生認(rèn)知沖突，繼而思考用已學(xué)知識(shí)研究這一問題，引出本節(jié)課要探究的新函數(shù)[y=xa-logbx]. 引導(dǎo)學(xué)生類比已學(xué)知識(shí)得到研究方法，明確研究思路，安排小組活動(dòng)，讓學(xué)生自己使用Excel軟件描點(diǎn)繪圖，觀察冪對(duì)差值函數(shù)的圖象特征，鼓勵(lì)學(xué)生多次嘗試，并分享自己的發(fā)現(xiàn). 本節(jié)課采用開放式小結(jié)，親身經(jīng)歷了完整探究過程的學(xué)生一定有自己最真切和強(qiáng)烈的感受，鍛煉學(xué)生的語言表達(dá)能力和歸納能力，肯定學(xué)生的發(fā)現(xiàn)與收獲，建立積極的正反饋．

五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

課前活動(dòng)：學(xué)生在課前完成“探究與實(shí)踐”學(xué)習(xí)單（如圖2）.

【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)于教材中的探究與實(shí)踐，本節(jié)課進(jìn)行了適當(dāng)改編，增設(shè)了計(jì)算當(dāng)[x]位于較小數(shù)區(qū)間時(shí)的函數(shù)值和計(jì)算兩個(gè)函數(shù)的差值，旨在讓學(xué)生感受對(duì)數(shù)函數(shù)在不同區(qū)間的增長速度. 借助兩個(gè)增函數(shù)的差值變化來了解這兩個(gè)函數(shù)增長的快慢，并制作了課前學(xué)習(xí)單，讓學(xué)生在計(jì)算中感受計(jì)算器的計(jì)算功能，在比較計(jì)算結(jié)果中增強(qiáng)數(shù)感，為本節(jié)課的探究作準(zhǔn)備.

1. 創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

材料1：北京時(shí)間2022年7月24日14時(shí)22分，搭載問天實(shí)驗(yàn)艙的長征五號(hào)B遙三運(yùn)載火箭在我國文昌航天發(fā)射場(chǎng)點(diǎn)火發(fā)射，約495秒后，問天實(shí)驗(yàn)艙與火箭成功分離并進(jìn)入預(yù)定軌道，發(fā)射取得圓滿成功．

材料2：教材必修第一冊(cè)第101頁“課后閱讀：火箭速度的公式”. 航天之父、俄羅斯科學(xué)家齊奧科夫斯基（K.E.Tsiolkovsky）于1903年給出火箭速度的計(jì)算公式[v=V0ln1+Mm0]，其中V0是燃料相對(duì)于火箭的噴射速度，M是燃料的質(zhì)量，m0是火箭（除去燃料）的質(zhì)量，v是火箭將燃料噴射完之后達(dá)到的速度. 可以看出v與M是對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系，由于對(duì)數(shù)函數(shù)增長速度很慢，通過大量增加燃料（[即增加Mm0]）難以達(dá)到航天器繞地球運(yùn)行所需要的第一宇宙速度，據(jù)此他又提出了采用多級(jí)火箭發(fā)射航天器的設(shè)想. 現(xiàn)代運(yùn)載火箭大多采用三級(jí)火箭，當(dāng)?shù)谝患?jí)火箭的燃料用完時(shí)，點(diǎn)燃第二級(jí)火箭并拋棄第一級(jí)火箭，這相當(dāng)于減小第二級(jí)火箭推進(jìn)時(shí)的m0，從而在第二級(jí)火箭燃料用完時(shí)航天器可以達(dá)到較高的速度. 然后類似地點(diǎn)燃第三級(jí)火箭并拋棄第二級(jí)火箭，最終可以將航天器送入太空軌道．

材料3：教材必修第一冊(cè)第101頁“探究與實(shí)踐：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)增長速度的比較”.

我們已經(jīng)知道，如果指數(shù)函數(shù)的底數(shù)[a]大于[1]，當(dāng)自變量[x]增大時(shí)，指數(shù)函數(shù)[y=ax]增長得非?？?，稱為“指數(shù)增長”. 類似地，可以分析底數(shù)[a]大于[1]的對(duì)數(shù)函數(shù)[y=logax]的增長速度．

（1）計(jì)算函數(shù)[y=0.01x]和[y=lgx]當(dāng)[x=102，104，][106，108，1010]時(shí)的值，并由此比較兩個(gè)函數(shù)的增長速度.

（2）計(jì)算函數(shù)[y=x0.1]和[y=lgx]當(dāng)[x=1010，1020，][1050，][10100，10200]時(shí)的值，并由此比較兩個(gè)函數(shù)的增長速度．

（3）計(jì)算函數(shù)[y=1.1x]和[y=lgx]當(dāng)[x=102，104，106，][108，1010]時(shí)的值，并由此比較兩個(gè)函數(shù)的增長速度.

通過上述比較，你對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)的增長速度有何體會(huì)？

展示課前學(xué)習(xí)單的學(xué)生成果，學(xué)生分享課前小組活動(dòng)的學(xué)習(xí)體會(huì)．

【設(shè)計(jì)意圖】用長征五號(hào)B遙三運(yùn)載火箭的新聞作為開篇，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)生的民族自豪感. 材料2和材料3源自教材必修第一冊(cè)“4.3 對(duì)數(shù)函數(shù)”，旨在說明本節(jié)課源于已學(xué)內(nèi)容，又通過之后的學(xué)習(xí)解決并深化所學(xué)內(nèi)容. 由多名學(xué)生分享體會(huì)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)對(duì)數(shù)函數(shù)的增長速度并非一直很慢，從而產(chǎn)生認(rèn)知沖突，引發(fā)學(xué)生思考，激發(fā)學(xué)生的探究熱情，引出本節(jié)課要探究的新函數(shù)[y=xa-logbx]．

定義：當(dāng)[a，b]為常數(shù)，且[b>0，b≠1]時(shí)，等式[y=xa-logbx]確定了變量[y]隨變量[x]變化的規(guī)律，稱為指數(shù)為[a]、底數(shù)為[b]的冪對(duì)差值函數(shù)，簡(jiǎn)稱冪對(duì)差值函數(shù)．

【設(shè)計(jì)意圖】為本節(jié)課探究的新函數(shù)定義一個(gè)名稱，踐行提出一類函數(shù)、給出一種研究思路的探究理念. 同時(shí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)大膽創(chuàng)新和積極探索．

2. 鞏固舊知，溫故知新

問題1：回顧函數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，探究一個(gè)新的函數(shù)主要探究哪些內(nèi)容？

探究一個(gè)新的函數(shù)主要探究定義域、值域、單調(diào)性、對(duì)稱性（奇偶性）、周期性、特殊點(diǎn)、零點(diǎn)、極值點(diǎn)、最值……

因?yàn)橹挥挟?dāng)[x>0]時(shí)[logbx]才有意義，此時(shí)[xa]總有意義，所以冪對(duì)差值函數(shù)[y=xa-logbx]的定義域是[0，+∞]．

回顧冪函數(shù)[y=xa]和對(duì)數(shù)函數(shù)[y=logbx]在[0，+∞]上的圖象與性質(zhì)．

問題2：根據(jù)在探究?jī)绾瘮?shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)時(shí)對(duì)[a，b]展開的分類，能否推測(cè)冪對(duì)差值函數(shù)[y=xa-logbx]可以分為哪幾類進(jìn)行探究？

【設(shè)計(jì)意圖】由于冪對(duì)差值函數(shù)是由冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)經(jīng)過初等運(yùn)算得到的，因此在開始探究前先回顧冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，旨在基于已有經(jīng)驗(yàn)開展探究，也由此為開展探究確定分類依據(jù)和分類情況，培養(yǎng)學(xué)生的分類討論思想，并為快速得出結(jié)論1與結(jié)論2作鋪墊．

問題3：在以上幾類中，哪幾類冪對(duì)差值函數(shù)的圖象與性質(zhì)較易探究？

結(jié)論1：當(dāng)[a≤0，b>1]時(shí)，冪對(duì)差值函數(shù)[y=xa-][logbx]的圖象過點(diǎn)[1，1]，在定義域[0，+∞]上是嚴(yán)格減函數(shù)，值域?yàn)閇R，] 函數(shù)零點(diǎn)[x0∈1，+∞]．

問題4：能否根據(jù)結(jié)論1，類比得到冪對(duì)差值函數(shù)在[a≥0，0

結(jié)論2：當(dāng)[a≥0，0

【設(shè)計(jì)意圖】通過分析冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)快速得出結(jié)論1，合理運(yùn)用已知函數(shù)的單調(diào)性是判斷未知的相關(guān)函數(shù)的單調(diào)性的重要方法之一，將新函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)已知函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題也是處理函數(shù)零點(diǎn)問題的重要方法，為學(xué)生以后的函數(shù)學(xué)習(xí)提供了方法指導(dǎo). 類比結(jié)論1，推測(cè)當(dāng)[a≥0，][0

3. 運(yùn)用技術(shù)，合作探究

探究：當(dāng)[a>0，b>1]時(shí)，冪對(duì)差值函數(shù)[y=xa-logbx]的圖象有何特征？?jī)鐚?duì)差值函數(shù)[y=xa-logbx]有什么性質(zhì)？

問題5：面對(duì)一個(gè)無法通過基本函數(shù)的性質(zhì)直接分析得到其性質(zhì)的復(fù)雜函數(shù)，我們?cè)撊绾握归_探究呢？

取[a，b]的一些特殊數(shù)值，描繪冪對(duì)差值函數(shù)的大致圖象．

問題6：運(yùn)用Excel軟件，小組合作描繪8個(gè)具體的冪對(duì)差值函數(shù)的大致圖象，你能觀察到它們的圖象有哪些共性特征嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】在開始探究前，先結(jié)合已有的高中函數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)得出探究思路，給出方法指導(dǎo). 引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)圖象作為數(shù)學(xué)問題直觀模型的作用，借助圖形探索解決問題的思路，體現(xiàn)“數(shù)缺形時(shí)少直觀”，發(fā)展直觀想象素養(yǎng). 安排小組活動(dòng)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷使用Excel軟件描點(diǎn)作圖的過程，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，感受信息技術(shù)對(duì)數(shù)據(jù)與圖象處理的強(qiáng)大輔助作用. 同時(shí)，在實(shí)踐中體會(huì)取點(diǎn)的要義，并為學(xué)生提供了思考、討論、歸納的時(shí)間和空間，讓學(xué)生感受冪對(duì)差值函數(shù)的圖象特征，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)的高度自主性，注重學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的體會(huì)．

歸納猜想當(dāng)[a>0，b>1]時(shí)，冪對(duì)差值函數(shù)[y=xa-][logbx]的圖象特征和函數(shù)性質(zhì)．

問題7：觀察利用GeoGebra軟件得到的冪對(duì)差值函數(shù)的圖象，歸納猜想，冪對(duì)差值函數(shù)的圖象有哪些共性特征？

問題8：由上述圖象的共性特征，能歸納得到冪對(duì)差值函數(shù)的哪些性質(zhì)？

【設(shè)計(jì)意圖】由Excel軟件描繪幾個(gè)特殊的冪對(duì)差值函數(shù)的圖象，到用GeoGebra軟件呈現(xiàn)改變[a，b]時(shí)圖象特征發(fā)生的變化，引導(dǎo)學(xué)生感悟從特殊到一般的研究方法，多個(gè)信息技術(shù)軟件的使用有利于學(xué)生更好地歸納猜想冪對(duì)差值函數(shù)的圖象特征與函數(shù)性質(zhì)，充分發(fā)揮了信息技術(shù)在探索函數(shù)的圖象與性質(zhì)中的重要作用，有利于學(xué)生更好地探究?jī)鐚?duì)差值函數(shù)的圖象特征，從而分解本節(jié)課的難點(diǎn)，也發(fā)展了學(xué)生的幾何直觀能力，增強(qiáng)了學(xué)生運(yùn)用幾何直觀和空間想象思考和解決問題的意識(shí). 將直觀操作、合情推理和邏輯推理有機(jī)整合在一起，使后續(xù)的推理論證成為學(xué)生實(shí)驗(yàn)、觀察、歸納猜想的自然延續(xù)．

4. 代數(shù)推理，生成結(jié)論

通過代數(shù)推理，證明[a>0，b>1]時(shí)冪對(duì)差值函數(shù)的圖象特征與函數(shù)性質(zhì)．

問題9：若[a>0，b>1]，是否存在[c>0]，使得冪對(duì)差值函數(shù)[y=xa-logbx]在區(qū)間[0，c]上是嚴(yán)格減函數(shù)，在區(qū)間[c，+∞]上是嚴(yán)格增函數(shù)．

性質(zhì)1：若[a>0，b>1]，則冪對(duì)差值函數(shù)[y=xa-][logbx]在區(qū)間[0， 1alnb1a]上是嚴(yán)格減函數(shù)；在區(qū)間[1alnb1a，+∞]上是嚴(yán)格增函數(shù)．

性質(zhì)2：若[a>0，b>1]，則當(dāng)[x=1alnb1a]時(shí)，冪對(duì)差值函數(shù)[y=xa-logbx]取到最小值[1alogbealnb]．

性質(zhì)3：若[a>0，b>1]，則冪對(duì)差值函數(shù)[y=xa-][logbx]的值域?yàn)閇1alogbealnb，+∞]．

推論：若[a>0，b>1]，則在區(qū)間[0， 1alnb1a]上冪函數(shù)[y=xa]的增長速度慢于對(duì)數(shù)函數(shù)[y=logbx]的增長速度；在區(qū)間[1alnb1a，+∞]上冪函數(shù)[y=xa]的增長速度快于對(duì)數(shù)函數(shù)[y=logbx]的增長速度．

結(jié)論3：當(dāng)[a>0，b>1]時(shí)，冪對(duì)差值函數(shù)[y=xa-logbx]的圖象特征和函數(shù)性質(zhì)如表4所示.

【設(shè)計(jì)意圖】?jī)H由觀察圖象歸納猜想得到函數(shù)的圖象特征與函數(shù)性質(zhì)并不嚴(yán)謹(jǐn)，也不能得到具體的值，需要進(jìn)一步通過代數(shù)推理嚴(yán)格論證，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從猜想到論證的過程，體會(huì)從幾何直觀到代數(shù)推理的過程，發(fā)揮導(dǎo)數(shù)在證明函數(shù)單調(diào)性中的作用，并通過計(jì)算得到具體的單調(diào)區(qū)間、最小值等，體現(xiàn)“形少數(shù)時(shí)難入微”，提升學(xué)生用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的能力，得到函數(shù)性質(zhì)的同時(shí)也回答了引入環(huán)節(jié)存在的疑惑. 冪對(duì)差值函數(shù)的性質(zhì)還有很多，留給學(xué)生很大的探究空間，體現(xiàn)數(shù)學(xué)探究的開放性．

5. 總結(jié)反思，深化認(rèn)知

問題10：本節(jié)課研究了什么內(nèi)容？

問題11：本節(jié)課經(jīng)歷了一個(gè)怎樣的探究過程？

問題12：在探究過程中，你覺得有哪些重要的方法？有哪些收獲或體會(huì)？

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)內(nèi)容和學(xué)習(xí)過程兩個(gè)方面總結(jié)自己的收獲，強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合的思想方法和從特殊到一般的研究問題的方法，以及信息技術(shù)在探究過程中的作用. 本節(jié)課的小結(jié)具有開放性，親身經(jīng)歷了完整探究過程的學(xué)生一定有自己最真切和強(qiáng)烈的感受，通過小結(jié)鍛煉學(xué)生的語言表達(dá)能力與歸納能力，關(guān)注不同層次的學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容的理解和掌握情況.

6. 拓展延伸，探究思考

思考1：你能通過類比，研究當(dāng)[a<0，0

思考2：你能進(jìn)一步研究“指冪差值函數(shù)”或“指對(duì)差值函數(shù)”的圖象特征和函數(shù)性質(zhì)嗎？

思考3：（2022年全國新高考Ⅰ卷第22題第（2）小題）已知函數(shù)[fx=ex-x]，[gx=x-lnx]，證明：存在直線[y=b]，其與兩條曲線[y=fx]和[y=gx]共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

【設(shè)計(jì)意圖】本節(jié)課的學(xué)習(xí)為通過類比結(jié)論3得到結(jié)論4，甚至為進(jìn)一步研究“指冪差值函數(shù)”或“指對(duì)差值函數(shù)”提供方法指導(dǎo)，讓學(xué)生體會(huì)化未知為已知的思想. 思考3是一道選編題，旨在應(yīng)用本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)與方法探索求解方法，提升學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的能力，發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)．

7. 作業(yè)設(shè)計(jì)

（1）基礎(chǔ)練習(xí).

練習(xí)1：函數(shù)[y=-x+lgx]在區(qū)間[0，+∞]上是（ ? ?）.

（A）嚴(yán)格增函數(shù)

（B）嚴(yán)格減函數(shù)

（C）先嚴(yán)格增，再嚴(yán)格減

（D）先嚴(yán)格減，再嚴(yán)格增

練習(xí)2：已知函數(shù)[fx=x-lnx]，若[fx≥a]恒成立，則實(shí)數(shù)[a]的取值范圍是（ ? ?）.

（A）[-∞，1] （B）[1，+∞]

（C）[-∞，e-1] （D）[-∞， 1e+1]

練習(xí)3：對(duì)于任意實(shí)數(shù)[a]，函數(shù)[y=xa+lnx]的圖象恒經(jīng)過定點(diǎn)______．

練習(xí)4：已知函數(shù)[fx=1x-lgx]，則不等式[fx+1

練習(xí)5：若函數(shù)[fx=x2-logbx]（其中[b>1]）有唯一的零點(diǎn)，則[b]的值為______．

練習(xí)6：根據(jù)本節(jié)課結(jié)論3，類比得到結(jié)論4，并對(duì)其中的單調(diào)性加以證明．

（2）能力拓展.

練習(xí)7：（2022年全國新高考Ⅰ卷第22題第（2）小題）已知函數(shù)[fx=ex-x]，[gx=x-lnx]，證明：存在直線[y=b]，其與兩條曲線[y=fx]和[y=gx]共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

練習(xí)8：結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)，以小組為單位，合作探究“指冪差值函數(shù)”或“指對(duì)差值函數(shù)”（二選一）的圖象與性質(zhì)，完成一份研究報(bào)告．

【設(shè)計(jì)意圖】分層作業(yè)設(shè)計(jì)旨在關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)差異，使不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展. 基于分層作業(yè)的彈性空間，學(xué)生充分展示自己的學(xué)習(xí)能力，收獲成功的喜悅，增強(qiáng)做數(shù)學(xué)作業(yè)的興趣，進(jìn)而提高數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量．

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020．

［2］史寧中，王尚志.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》解讀［M］. 北京：高等教育出版社，2020.