李冠強 唐勁羽 彭娉 竹有章 牛海波

摘?要：研究了自旋張量-動量耦合作用下自旋1玻色-愛因斯坦凝聚體（BEC）中連續(xù)波態(tài)的調(diào)制不穩(wěn)定性.借助于擾動頻率和波數(shù)之間的色散關(guān)系，研究發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的調(diào)制不穩(wěn)定性可以用六個不等價的分支來充分描述.進(jìn)一步分析表明，在給定拉曼耦合強度和原子-原子相互作用強度下，動量空間中調(diào)制不穩(wěn)定增長率分布關(guān)于k=0是對稱的，并可用若干不同的不穩(wěn)定帶來表征.本文也計算了在相同參數(shù)條件下自旋-軌道耦合自旋1 BEC中調(diào)制不穩(wěn)定的增長率，并與前者的結(jié)果進(jìn)行了比較.除了不同的譜帶數(shù)目和譜帶強度外，具有自旋-軌道耦合BEC的調(diào)制不穩(wěn)定性實際上只與三個不等價的分支有關(guān)，這源于它與具有自旋張量-動量耦合BEC系統(tǒng)的單粒子哈密頓量的不同對稱性.這些結(jié)果不僅有助于人們理解系統(tǒng)基態(tài)的非線性動力學(xué)性質(zhì)，而且有助于對系統(tǒng)中可能存在的非線性激發(fā)進(jìn)行系統(tǒng)分析.

關(guān)鍵詞：玻色-愛因斯坦凝聚；自旋張量-動量耦合；自旋-軌道耦合；調(diào)制不穩(wěn)定性

中圖分類號：O474

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

文章編號：2096-398X（2023）04-0195-08

Abstract：The modulation instabilities of continuous-wave states in spin-1 Bose-Einstein condensates under spin tensor-momentum couplings are investigated.With the help of the dispersion relation between perturbation frequency and wavenumber，we find that the modulation instability of the system can be adequately described by six unequal branches.Further analysis shows that，for a given Raman coupling strength and atom-atom interaction strength，the modulation instability growth rate distribution in momentum space is symmetric about k=0?and can be characterized by several different instability bands.We also calculate the growth rate of modulation instability in spin-orbit coupled spin-1 Bose-Einstein condensates under the same parameter conditions and compare with the former results.Besides the different number of bands and band intensities，the modulation instability of Bose-Einstein condensates with spin-orbit coupling is actually only related to three unequal branches，which stem from its different symmetries of the single-particle Hamiltonian of a spin-tensor-momentum coupled BEC system.These results not only contribute to the understanding of the nonlinear dynamic properties of the ground state，but also to the analysis of possible nonlinear excitations in the system.

Key words：Bose-Einstein condensate; spin tensor-momentum coupling; spin-orbit coupling; modulation instability

0?引言

超冷原子氣體的玻色-愛因斯坦凝聚體（BEC）由于其純凈性和可控性成為量子模擬的理想平臺［1，2］.在實驗上，超冷氣體中原子之間的相互作用可以通過費什巴赫共振技術(shù)來進(jìn)行調(diào)節(jié)［3］.單組分和多組分BEC中物質(zhì)波的非線性相干結(jié)構(gòu)和動力學(xué)特性是展現(xiàn)這種技術(shù)的優(yōu)良范例［4］.由于實現(xiàn)了超低溫費米氣體BCS-BEC渡越的幺正極限，使得探索強關(guān)聯(lián)效應(yīng)和超冷分子物理的性質(zhì)成為了可能［5，6］.用于捕獲超低溫氣體的光學(xué)晶格的出現(xiàn)在這種可控性方面又向前邁進(jìn)了一步［7］.對傳統(tǒng)凝聚態(tài)物理及其相關(guān)領(lǐng)域中的許多現(xiàn)象和效應(yīng)，如超流-莫特絕緣轉(zhuǎn)變［8］和Anderson局域化［9］，人們也已經(jīng)借助超冷原子平臺進(jìn)行了大量研究并做出重新理解.

由于超冷原子人工規(guī)范場可以在實驗上實現(xiàn)，使得在最近發(fā)展的拓?fù)淞孔游镔|(zhì)和非平衡動力學(xué)過程中推廣新的概念和構(gòu)想變得更加靈活［10，11］.通過原子與兩束激光的相互作用，原子的自旋和軌道運動可以耦合在一起，形成中性玻色原子中的自旋-軌道耦合（SOC）［12，13］.具有SOC作用BEC的研究為發(fā)現(xiàn)非零動量的平面波相和條紋相等奇異態(tài)提供了新的機會［14］.同時，各種SOC的新變種，包括自旋-軌道角動量耦合［15-17］和自旋張量-動量耦合（STMC）［18，19］，被提出用于研究新的物理機制.磁條紋孤子的研究進(jìn)展［20］和亮孤子［21］也顯示出STMC項所具有的非平庸特性.

如果關(guān)注具有STMC作用BEC的基態(tài)穩(wěn)定性和物質(zhì)波的動力學(xué)，目前還存在一個需要解決的基本問題.這就是連續(xù)波態(tài)對小擾動的調(diào)制不穩(wěn)定性，它引發(fā)了常數(shù)振幅連續(xù)波向具有調(diào)制振幅態(tài)的動力學(xué)轉(zhuǎn)換［22］.任何非線性系統(tǒng)的調(diào)制不穩(wěn)定特性不僅決定了系統(tǒng)中非線性激發(fā)的種類，而且影響著系統(tǒng)的動力學(xué)演化特性，包括基態(tài)的壽命.在實驗中，人們證實了調(diào)制不穩(wěn)定性是孤波和孤波陣列形成的必要機制［23-25］.單組分BEC的調(diào)制不穩(wěn)定性只存在于原子-原子間為吸引的相互作用情形中［26，27］.對于雙組分BEC，必須滿足相分離條件才能誘導(dǎo)出調(diào)制不穩(wěn)定性［28，29］.對于均勻條件下的自旋1超冷氣體，鐵磁凝聚體是動力學(xué)不穩(wěn)定的，它會自發(fā)演化為多疇結(jié)構(gòu)，與動力學(xué)穩(wěn)定的反鐵磁凝聚體形成明顯差別［30-34］.人們也在自旋1/2系統(tǒng)中研究了帶SOC作用BEC的調(diào)制不穩(wěn)定性［35-37］，發(fā)現(xiàn)不穩(wěn)定性與無SOC作用BEC的結(jié)果有很大的不同.SOC項的加入極大地改變了BEC的不穩(wěn)定性條件，使BEC的不穩(wěn)定性不僅表現(xiàn)在具有吸引原子間的相互作用中，而且也表現(xiàn)在具有排斥性質(zhì)的原子間相互作用中.同時，人們研究了調(diào)制不穩(wěn)定性在自旋1 BEC中的推廣，并通過考慮密度-密度和自旋交換相互作用，揭示了系統(tǒng)更加豐富的不穩(wěn)定結(jié)構(gòu)［38］.最近，調(diào)制不穩(wěn)定性在偶極量子氣體的BEC［39］和量子液滴系統(tǒng)中得到了研究［40，41］，使得人們對量子氣體的奇異狀態(tài)有了新的認(rèn)識.

本文研究了拉曼耦合作用下具有自旋張量-動量耦合的自旋1 BEC的調(diào)制不穩(wěn)定性質(zhì).在等效一維幾何模型中，利用平均場框架對調(diào)制不穩(wěn)定性進(jìn)行分析.結(jié)果表明，具有STMC和SOC作用自旋1 BEC的調(diào)制不穩(wěn)定性表現(xiàn)出非平庸的性質(zhì)，將導(dǎo)致系統(tǒng)中奇異的非線性激發(fā)和復(fù)雜動力學(xué)的出現(xiàn).本文結(jié)構(gòu)安排如下：

第一部分描述了具有STMC和SOC作用自旋1 BEC的理論模型.在第二部分中，通過連續(xù)波的線性穩(wěn)定性分析，給出了調(diào)制不穩(wěn)定性的理論分析過程，解析推導(dǎo)了擾動的頻率與波數(shù)之間的色散關(guān)系，并引入了不穩(wěn)定性的增長速率，來定量地描述系統(tǒng)出現(xiàn)不穩(wěn)定性的程度.在第三部分中，通過計算增長速率在動量空間的分布，討論了拉曼耦合和原子間有效相互作用對調(diào)制不穩(wěn)定性的影響.通過與具有SOC作用的BEC在相同參數(shù)條件下的調(diào)制不穩(wěn)定性進(jìn)行比較，得到了一些新的結(jié)果.最后，在第四部分給出簡短的討論和本文的結(jié)論.

1?理論模型

本文的研究基于對超冷玻色氣體BEC中實現(xiàn)STMC的理論方案［18］.具有波數(shù)kR的三束激光在自旋1 BEC的三個超精細(xì)自旋態(tài)之間產(chǎn)生了兩個拉曼躍遷，兩個躍遷沿x方向具有相同的反沖動量2kR.在具有SOC的BEC中，兩個拉曼躍遷中沿x方向被轉(zhuǎn)移的反沖動量為±2kR［13］.這一過程使得具有STMC作用BEC的單粒子哈密頓量與具有SOC作用BEC的單粒子哈密頓量完全不同.具有STMC作用BEC的哈密頓量包括兩個亮態(tài)帶（與具有SOC作用自旋1/2 BEC相同）和一個暗態(tài)中間帶.中間帶最小值與兩個亮態(tài)的最小值非常接近，這能極大地改變系統(tǒng)的基態(tài).超冷原子氣體中STMC效應(yīng)與原子間的非線性相互作用相結(jié)合，為產(chǎn)生具有高對比度和長可調(diào)周期的新型動力學(xué)條紋相提供了機會［18］.

具有STMC作用自旋1 BEC的動力學(xué)由如下方程來給出［18，21］：

所有這些系數(shù)均由系統(tǒng)的初始密度以及參數(shù)ΩR和g來確定.

一般情況下，方程（10）的解析解是很難得到的，但是其數(shù)值解總是可以求解的.色散方程的解決定著系統(tǒng)調(diào)制不穩(wěn)定的性質(zhì).本文發(fā)現(xiàn)對具有STMC的自旋1 BEC來說，色散方程具有六個不相同的根，代表了調(diào)制不穩(wěn)定中六個不等價的分支.Ω虛部的存在性意味著連續(xù)波是調(diào)制不穩(wěn)定的.空間調(diào)制微擾將隨著時間指數(shù)式增長.系統(tǒng)的不穩(wěn)定增長率（IGR），定義為χm≡|Im（Ωm）|（m=1，2，3，4，5，6），給出調(diào)制不穩(wěn)定程度的定量描述.顯然，調(diào)制不穩(wěn)定增長率χm作為波數(shù)k的函數(shù)，可以被系統(tǒng)的參數(shù)ΩR和g進(jìn)行調(diào)節(jié).

3?主要結(jié)果

本部分給出本文的主要計算結(jié)果.圖1描述了固定原子間相互作用但改變拉曼耦合強度時，具有STMC作用BEC中連續(xù)波態(tài)的調(diào)制不穩(wěn)定增長率χm在動量空間中的分布情況.原子間有效相互作用g=1.0.首先，本文發(fā)現(xiàn)動量空間中調(diào)制不穩(wěn)定增長率關(guān)于k=0的分布是對稱的.在方程（9）形式的激發(fā)下，動量-k處基態(tài)的不穩(wěn)定性與動量k處的不穩(wěn)定性相伴隨出現(xiàn)并且具有相同的不穩(wěn)定性質(zhì).±k處同時出現(xiàn)動量不穩(wěn)定性表明該系統(tǒng)很容易產(chǎn)生條紋型的非線性激發(fā).

圖1（a1）～（f1）所示的六種分布代表了六種不等價不穩(wěn)定性分支.每個分支都具有雙峰或多峰結(jié)構(gòu).這六個分支中，每一個分支通過峰的強度和分布與其它分支相區(qū)別.為了表示方便，圖1（a2）～（f2）給出了三維分布對應(yīng)的二維投影圖.在每個分支中，對給定的原子-原子間排斥相互作用強度（g>0），不穩(wěn)定增長率在（k，ΩR）平面上的分布被分為數(shù)對不同的帶.

很明顯，在圖1（a2）～（d2）中，僅存在一對不穩(wěn)定帶，而在圖1（e2）、（f2）中分別存在分布于k<0和k>0處的兩對不穩(wěn)定帶.不同的對具有不同的分布和強度.不穩(wěn)定性發(fā)生在整個拉曼耦合強度范圍（ΩR∈［0.5］），不穩(wěn)定增長率隨著ΩR的增加而減小.當(dāng)ΩR較大時，調(diào)制不穩(wěn)定出現(xiàn)的時間會更長［24］.

為了進(jìn)行比較，在相同參數(shù)條件下具有SOC作用自旋1 BEC的相應(yīng)結(jié)果如圖2所示.可以看出，兩種情況下不穩(wěn)定性的分布非常不同.對于SOC作用的BEC，在不穩(wěn)定增長率χ1和χ2，χ3和χ4以及χ5和χ6的六種分布中，實際上只有三個不等價的分支.不僅如此，三個分支中不穩(wěn)定帶的對數(shù)分別是1、3和4，說明具有STMC的BEC與具有SOC的BEC在調(diào)制不穩(wěn)定性上有顯著差異.這種差異源于具有STMC和SOC作用BEC的單粒子哈密頓量中4ixF2z和4ixFz項所決定的不同對稱性.單粒子哈密頓量對STMC作用BEC具有自旋旋轉(zhuǎn)對稱性，對SOC作用BEC具有自旋旋轉(zhuǎn)和宇稱聯(lián)合對稱性［21］.拉曼耦合作用下的結(jié)果與圖1相似，不穩(wěn)定性的強度隨著ΩR的增加而減小.

對于單組分BEC，調(diào)制不穩(wěn)定性只存在于原子-原子間為吸引的相互作用系統(tǒng)中［26，27］.對于雙組分BEC，只要相分離條件滿足，則會出現(xiàn)不穩(wěn)定性［28，29］.具有吸引相互作用的BEC（g<0）中更容易出現(xiàn)不穩(wěn)定.圖3給出了考慮吸引原子間相互作用BEC連續(xù)波態(tài)的不穩(wěn)定增長率χm（k，ΩR）的分布.原子間有效相互作用g=-1.0.研究發(fā)現(xiàn)，在具有STMC作用BEC的不穩(wěn)定分布中，原子間的相互作用在吸引和排斥時存在較大的差異.在圖3中，前兩個分支的不穩(wěn)定帶對數(shù)在圖3（a2）、（b2）中為1，在圖3（c2）、（d2）中為2，在圖3（e2）、（f2）中為3.不穩(wěn)定增長率分布中，接近k=0的不穩(wěn)定帶相比于具有排斥原子作用的情形更寬，意味著不穩(wěn)定性更易發(fā)生在具有吸引相互作用的情形中.同時，吸引相互作用情形中更大的不穩(wěn)定增長強度顯示不穩(wěn)定將發(fā)生在相對更短的時間內(nèi).

在這種情況下，除了系統(tǒng)存在三個不同的分支外，圖4（a2）、（b2）給出的第一分支中不穩(wěn)定帶的對數(shù)是1，圖4（c2）、（d2）描述的第二分支中不穩(wěn)定帶的對數(shù)是3，圖4（e2）、（d2）中描述的第三個分支中不穩(wěn)定帶的對數(shù)是5.最接近k=0的兩個分支比其它強度更大.無論如何，不管是具有STMC的BEC還是具有SOC的BEC，我們都有理由認(rèn)為在相同條件下的吸引相互作用更有利于調(diào)制不穩(wěn)定的出現(xiàn).

圖5給出拉曼耦合強度ΩR=1.0時具有STMC作用BEC不穩(wěn)定增長率χm（k，g）的分布.圖6給出了具有SOC作用BEC相似的結(jié)果.

結(jié)果顯示，具有STMC作用BEC的不穩(wěn)定分布中存在6個不等價分支，而具有SOC作用BEC的不穩(wěn)定分布中存在3個不等價分支.具有STMC作用BEC中除圖5（a）給出的第一個分支外，g<0情形下其它分支的條帶對數(shù)都大于g>0的情形，這從圖5（b）～（f）中可以看出.g<0時不穩(wěn)定帶的強度隨著|g|的增加而增強.這一結(jié)果并不局限于k=0附近，而且可以拓展到更大的動量k.在圖6中，g>0和g<0時不穩(wěn)定帶的對數(shù)相同，不穩(wěn)定增長率的最大值隨著|g|的增加而急劇增加.

4?結(jié)論

綜上所述，本文對具有STMC作用自旋1 BEC的調(diào)制不穩(wěn)定性進(jìn)行了線性穩(wěn)定性分析.系統(tǒng)的不穩(wěn)定性質(zhì)是由連續(xù)波的擾動色散關(guān)系決定的，連續(xù)波的不穩(wěn)定性有六個不等價分支.對于每個分支，不穩(wěn)定增長率在三維情況下的分布為雙峰或多峰結(jié)構(gòu)，而在二維投影圖上則以一對或數(shù)對不穩(wěn)定帶的形式表現(xiàn)出來.這些帶在零波數(shù)的兩側(cè)對稱分布.正動量和負(fù)動量同時出現(xiàn)不穩(wěn)定表明，系統(tǒng)中具有條紋形狀的非線性結(jié)構(gòu)易于激發(fā).在相同的條件下，對具有SOC作用BEC的調(diào)制不穩(wěn)定性進(jìn)行了類似的研究.具有SOC作用BEC的調(diào)制不穩(wěn)定分布實際上可以用三個不等價的分支來描述.多帶結(jié)構(gòu)的不穩(wěn)定分布會導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生具有高次諧波的非線性激發(fā)和復(fù)雜動力學(xué).對于具有STMC和SOC作用的BEC，在考慮拉曼耦合的整個區(qū)域內(nèi)，調(diào)制不穩(wěn)定性都會發(fā)生.不穩(wěn)定強度隨著拉曼耦合強度的增加而減小，意味著調(diào)制不穩(wěn)定發(fā)生時間隨著拉曼耦合強度的增加而變長.原子間相互作用越強，越容易觀測到調(diào)制不穩(wěn)定性.無論是具有STMC還是具有SOC作用BEC，在同等條件下具有吸引相互作用要比排斥相互作用系統(tǒng)更有利于產(chǎn)生不穩(wěn)定.上述結(jié)果反映了自旋1 BEC中由SOC和STMC以及原子間的相互作用誘導(dǎo)的調(diào)制不穩(wěn)定的獨特性質(zhì)，這些結(jié)果將促進(jìn)對具有SOC和STMC作用BEC性能的進(jìn)一步實驗研究.

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【責(zé)任編輯：陳?佳】

基金項目：國家自然科學(xué)基金項目（11405100）；陜西省科技廳自然科學(xué)基金項目（2020 JM-507，2019JM-332）；陜西科技大學(xué)博士科研啟動基金項目（2018BJ-02，2019BJ-58）; 西安交通大學(xué)城市學(xué)院校級研究專項（KCSZ01025）

作者簡介：李冠強（1983—），男，甘肅莊浪人，副教授，博士，研究方向：超冷原子物理、量子模擬、非線性物理與拓?fù)湮锢?/p>