朱云龍　任永志　李玉祥

關(guān)鍵詞 大學(xué)物理;中學(xué)物理;單縫衍射;半波帶法;光程對(duì)稱(chēng)關(guān)系

高中物理對(duì)光學(xué)部分的教學(xué)和考察通常以幾何光學(xué)為主、波動(dòng)光學(xué)為輔，且在波動(dòng)光學(xué)部分以定性了解為主、以定量分析為輔。以衍射為例，普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）選擇性必修1中要求學(xué)生“觀察光的干涉、衍射和偏振現(xiàn)象，了解這些現(xiàn)象產(chǎn)生的條件，知道其在生產(chǎn)生活中的應(yīng)用”，但不要求學(xué)生定量分析衍射產(chǎn)生的明暗條紋位置[1]。

大學(xué)物理與中學(xué)物理不同，在光學(xué)部分重視波動(dòng)光學(xué)，且以定量分析為主。由于普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)干涉部分的要求包括“會(huì)用雙縫干涉實(shí)驗(yàn)測(cè)量光的波長(zhǎng)”[1]，因此高中畢業(yè)生通常具有雙縫干涉定量分析的基礎(chǔ);但從干涉向衍射的過(guò)渡涉及惠更斯菲涅耳原理的應(yīng)用，具有一定的思維跨度，導(dǎo)致部分學(xué)生難以理解掌握衍射部分的授課內(nèi)容。

幫助學(xué)生銜接高中物理知識(shí)并拓展其分析解決問(wèn)題能力是大學(xué)物理教學(xué)的重要課題[2]。目前大學(xué)物理與高中物理光學(xué)部分的銜接已有相關(guān)研究發(fā)表[3]，然而其中教學(xué)銜接難度較大的衍射部分卻未見(jiàn)具體的改進(jìn)教學(xué)方案報(bào)導(dǎo)。本文以夫瑯禾費(fèi)單縫衍射的講解為例，分析比對(duì)了目前大學(xué)物理中衍射的常見(jiàn)講解方法，并利用光程對(duì)稱(chēng)關(guān)系對(duì)基于惠更斯菲涅耳原理的半波帶法原理論證過(guò)程進(jìn)行簡(jiǎn)化。這一教學(xué)方法課堂反饋良好，可以為大學(xué)物理教師以及有意拓展光學(xué)部分課外知識(shí)的中學(xué)物理教師提供參考。

1 夫瑯禾費(fèi)單縫衍射的常見(jiàn)講解方法

夫瑯禾費(fèi)單縫衍射作為最基本的衍射模型，是衍射部分教學(xué)的要點(diǎn)。目前大學(xué)課堂教學(xué)通常采用的講解方法包括惠更斯菲涅耳積分法、振幅矢量疊加法以及菲涅耳半波帶法三種[4，5]。

惠更斯菲涅耳積分法是一種定量的分析方法，可以精確給出衍射光強(qiáng)表達(dá)式[6]。然而，通過(guò)積分推導(dǎo)明暗條紋位置的過(guò)程對(duì)于低年級(jí)本科生或課外拓展學(xué)習(xí)的高中生等授課對(duì)象而言難度較大，且物理圖像不直觀;此外，該方法講解耗時(shí)較長(zhǎng)，受限于授課時(shí)間安排，教師通常無(wú)法詳細(xì)講解積分過(guò)程。

振幅矢量疊加法的思想是將每個(gè)次波源所對(duì)應(yīng)的光矢量首尾相接，當(dāng)取的次波源尺寸趨近無(wú)窮小時(shí)，矢量首尾相接的曲線變?yōu)楣饣膱A弧，計(jì)算合矢量振幅大小的極值即可準(zhǔn)確獲取明暗條紋位置[4，7-9]。該方法直觀性上優(yōu)于積分法，但推導(dǎo)的過(guò)程仍然較為復(fù)雜，且求解過(guò)程涉及超越方程，不適合高中生或低年級(jí)本科生的課堂授課。

與以上兩種方法相比，菲涅耳半波帶法更常見(jiàn)于衍射部分的授課過(guò)程中，因其物理模型與計(jì)算過(guò)程更為簡(jiǎn)潔、直觀，也更易于被學(xué)生接受[10，11]。雖然菲涅耳半波帶法的計(jì)算結(jié)果與惠更斯菲涅耳積分法之間存在一定的偏差[6，7]，但利用該方法卻可在較短的時(shí)間內(nèi)，使學(xué)生理解單縫衍射的基本原理，并掌握計(jì)算明紋與暗紋位置的方法。半波帶法的主要不足之處為缺乏對(duì)于半波帶模型合理性的定量剖析，可引起部分學(xué)生對(duì)于該方法科學(xué)性的質(zhì)疑;若要剖析半波帶法的原理，則只能引出授課時(shí)間較長(zhǎng)、理解難度較大的惠更斯菲涅耳積分法或振幅矢量疊加法。下文將簡(jiǎn)要介紹夫瑯禾費(fèi)單縫衍射中半波帶法的原理，并針對(duì)傳統(tǒng)半波帶法講解過(guò)程中的不明晰之處給出一種新的教學(xué)思路。

2 夫瑯禾費(fèi)單縫衍射與半波帶法

夫瑯禾費(fèi)單縫衍射的光路圖如圖1所示。點(diǎn)光源S 發(fā)出的單色相干光經(jīng)凸透鏡L1 擴(kuò)束、準(zhǔn)直后，經(jīng)平行照射單縫AB。根據(jù)惠更斯菲涅耳原理，A 點(diǎn)與B 點(diǎn)之間的每個(gè)點(diǎn)都可視為次波的波源，且所有次波相干;入射光經(jīng)過(guò)單縫后以水平方向夾角α 斜向上出射的部分經(jīng)過(guò)透鏡L2 匯聚于屏上Q 點(diǎn)，Q 點(diǎn)可發(fā)生相干增強(qiáng)或相干減弱，分別對(duì)應(yīng)衍射明紋或暗紋。

設(shè)單縫AB 寬度為d，則B 點(diǎn)至Q 點(diǎn)的光程與A 點(diǎn)至Q 點(diǎn)的光程之間的差值δ 為

δ=dsina （1）

設(shè)入射光波長(zhǎng)為λ，則當(dāng)δ 為λ/2的奇數(shù)倍或0時(shí)，Q 點(diǎn)為相干增強(qiáng)的明條紋;當(dāng)δ 為λ/2的偶數(shù)倍（不包括0）時(shí)，Q 點(diǎn)為相干減弱的暗條紋。該確定明暗條紋位置的方法，由于以半波長(zhǎng)λ/2為參考因此被稱(chēng)為“半波帶法”。半波帶法雖然直觀，但課堂上受限于學(xué)生基礎(chǔ)與時(shí)間限制，一般只采用定性的解釋?zhuān)湓砥饰錾疃炔蛔?，?huì)給學(xué)生對(duì)于該知識(shí)點(diǎn)的理解與記憶帶來(lái)一定的困擾。

3 利用光程對(duì)稱(chēng)關(guān)系簡(jiǎn)化教學(xué)

對(duì)于低年級(jí)本科生或進(jìn)行課外擴(kuò)展學(xué)習(xí)的高中生而言，衍射的學(xué)習(xí)與理解通常具有較高難度，主要原因是理解衍射需引入高等數(shù)學(xué)中的微積分思想，將兩個(gè)分量的干涉擴(kuò)展為無(wú)數(shù)個(gè)子波源的干涉，因此普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)只要求定性講解衍射現(xiàn)象。

針對(duì)以上問(wèn)題，為了高效完成從中學(xué)物理到大學(xué)物理關(guān)于夫瑯禾費(fèi)單縫衍射教學(xué)的銜接，本文基于半波帶法，借鑒振幅矢量疊加法，根據(jù)光程對(duì)稱(chēng)關(guān)系提出一種新的教學(xué)方法。首先，將單縫處光場(chǎng)分解為無(wú)數(shù)振幅相等的子波源，根據(jù)惠更斯菲涅耳原理，可知所有子波源在屏上相干疊加形成衍射條紋。其次，圍繞單縫中心點(diǎn)，根據(jù)光程對(duì)稱(chēng)關(guān)系，將每一對(duì)位置對(duì)稱(chēng)的子波源兩兩疊加，所獲得光場(chǎng)相位均與單縫中心點(diǎn)子波源相位相同，但光場(chǎng)振幅均與特定數(shù)值相乘。最后，由于相位相同，屏上各子波源的相干疊加可轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的數(shù)值疊加，根據(jù)所疊加數(shù)值的正負(fù)號(hào)特性，即可獲得“當(dāng)δ 為λ/2的奇數(shù)倍或0時(shí)，Q 點(diǎn)為相干增強(qiáng)的明條紋;當(dāng)δ 為λ/2的偶數(shù)倍（不包括0）時(shí)，Q 點(diǎn)為相干減弱的暗條紋”這一定量結(jié)論，從而闡明半波帶法的基本原理。

該講解方法物理含義清晰，在大一年級(jí)大學(xué)物理教學(xué)的實(shí)踐中獲得了良好的效果;此外，該方法亦有助于學(xué)生快速理解后續(xù)教學(xué)內(nèi)容中的光柵衍射缺級(jí)現(xiàn)象。該方法的具體原理如下文所述。

在圖1中，假設(shè)單縫光強(qiáng)均勻，則單縫上任一微元的光場(chǎng)強(qiáng)度表達(dá)形式為

4 教學(xué)效果分析

本文所述的講解方法從兩個(gè)子波源之間的干涉入手，利用光程對(duì)稱(chēng)關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)和差化積公式或矢量相加性質(zhì)，使微積分基礎(chǔ)較弱的學(xué)生也能理解半波帶法的原理與應(yīng)用。在大學(xué)物理課堂實(shí)踐中，只選取P₀，P_1a ，P_1b三點(diǎn)作為示例進(jìn)行講解，即可達(dá)到良好的教學(xué)效果。

2021年春季學(xué)期，在兩個(gè)大一年級(jí)不同班級(jí)的大學(xué)物理線下授課實(shí)踐中，采用板書(shū)的形式進(jìn)行講解，課堂反映良好。實(shí)際消耗時(shí)間約5分鐘，對(duì)于課程進(jìn)度的影響較小。此外，由于該方法將有寬度的單縫與寬度無(wú)窮小的單縫中心位置P0進(jìn)行了等效處理，便于學(xué)生理解衍射光柵部分的缺級(jí)現(xiàn)象，故可在保證教學(xué)效果的同時(shí)，有效節(jié)約光柵部分的授課時(shí)間。

2022年春季學(xué)期，對(duì)兩個(gè)大一年級(jí)不同班級(jí)進(jìn)行大學(xué)物理線上授課，采用線上板書(shū)進(jìn)行講解，實(shí)際耗時(shí)同樣約為5分鐘。光學(xué)部分授課結(jié)束后，在學(xué)生群中發(fā)起無(wú)記名問(wèn)卷，問(wèn)卷覆蓋了光學(xué)部分主要知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)狀況自評(píng)。收到學(xué)生填寫(xiě)完整的問(wèn)卷共19份，其中與半波帶法密切相關(guān)的為四道自我評(píng)分題，要求學(xué)生對(duì)于幾個(gè)關(guān)鍵概念的掌握情況進(jìn)行評(píng)分（根據(jù)掌握程度從低到高取0～10之間的整數(shù)），而且對(duì)于高中畢業(yè)時(shí)與學(xué)過(guò)大學(xué)物理光學(xué)部分后分別進(jìn)行評(píng)分。針對(duì)相同學(xué)生、相同題目，將現(xiàn)階段分?jǐn)?shù)與高中階段分?jǐn)?shù)做差，可獲得學(xué)生經(jīng)過(guò)大學(xué)物理課堂學(xué)習(xí)后的進(jìn)步分?jǐn)?shù)。與半波帶法密切相關(guān)的四道題目的問(wèn)卷統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表1所示。

提交的問(wèn)卷中出現(xiàn)了個(gè)別問(wèn)卷的個(gè)別題目進(jìn)步分?jǐn)?shù)為負(fù)的情況，可能由于學(xué)生填寫(xiě)時(shí)忙中出錯(cuò)造成。若將進(jìn)步分?jǐn)?shù)為負(fù)的題目作為異常數(shù)據(jù)排除，則可得到表1中“去除負(fù)數(shù)項(xiàng)平均”分?jǐn)?shù)值;若考慮到學(xué)生填寫(xiě)問(wèn)卷的認(rèn)真程度，將包含負(fù)數(shù)項(xiàng)的整張答卷作為異常數(shù)據(jù)排除掉，則可得到表1中“去除負(fù)數(shù)答卷平均”分?jǐn)?shù)值。由表1可知平均的進(jìn)步分?jǐn)?shù)約為3分，結(jié)合問(wèn)卷填寫(xiě)耗時(shí)數(shù)據(jù)判斷，出現(xiàn)負(fù)值大概率由于填寫(xiě)失誤造成，因此“去除負(fù)數(shù)答卷平均”數(shù)據(jù)可靠性較高。

就“去除負(fù)數(shù)答卷平均”數(shù)據(jù)而言，可見(jiàn)學(xué)生對(duì)于自己的知識(shí)點(diǎn)掌握程度不滿意，高中自評(píng)僅約1～2分，推測(cè)與高中物理中關(guān)于波動(dòng)光學(xué)的講解大多停留在定性層面、學(xué)生基礎(chǔ)較為薄弱相關(guān);學(xué)習(xí)過(guò)大學(xué)物理光學(xué)部分后，自評(píng)分?jǐn)?shù)明顯提升，但僅達(dá)到4～5分左右，推測(cè)與學(xué)生填寫(xiě)問(wèn)卷時(shí)剛剛結(jié)束授課、復(fù)習(xí)尚未開(kāi)始有關(guān)。“干涉的原理”與“衍射的原理”為半波帶法的理論基礎(chǔ)，而干涉的掌握情況略好于衍射，與高中物理干涉部分的講解較為詳細(xì)的實(shí)際情況相符?！肮獬?光程差的計(jì)算”為半波帶法計(jì)算的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，進(jìn)步分?jǐn)?shù)最高，推測(cè)與課堂上的重點(diǎn)講授密切相關(guān)?！鞍氩◣Хǖ睦斫狻备咧谢A(chǔ)明顯最為薄弱，但經(jīng)過(guò)大學(xué)物理教學(xué)后獲得了較為明顯的提升，可見(jiàn)本文所述的教學(xué)方法有益于學(xué)生理解?！把苌涞脑怼辈糠诌M(jìn)步分?jǐn)?shù)高于“干涉的原理”，從側(cè)面說(shuō)明衍射部分的整體教學(xué)效果獲得了一定提升。

5 結(jié)語(yǔ)

大學(xué)物理與中學(xué)物理有關(guān)光學(xué)部分的授課內(nèi)容差異較大，主要體現(xiàn)為：中學(xué)物理側(cè)重光學(xué)現(xiàn)象的定性解釋、波動(dòng)光學(xué)要求較低，而大學(xué)物理側(cè)重光學(xué)現(xiàn)象的定量分析且波動(dòng)光學(xué)要求較高。對(duì)于拓展課外知識(shí)、為學(xué)習(xí)大學(xué)課程做準(zhǔn)備的高中生，或者微積分等數(shù)學(xué)工具運(yùn)用不夠熟練的本科生而言，大學(xué)物理光學(xué)部分具有較大的難度。大學(xué)物理教師授課時(shí)若忽視學(xué)生中學(xué)階段較為薄弱的光學(xué)基礎(chǔ)，則會(huì)使學(xué)生產(chǎn)生“斷層”感，難以跟上學(xué)習(xí)進(jìn)度;中學(xué)物理教師擴(kuò)展光學(xué)部分內(nèi)容時(shí)，若跨度太大，基本原理解釋不清或不做解釋?zhuān)瑯訒?huì)使學(xué)生產(chǎn)生眾多疑點(diǎn)。因此，教師應(yīng)掌握并理解學(xué)生光學(xué)部分的水平，尤其是明確學(xué)生波動(dòng)光學(xué)基礎(chǔ)較為薄弱這一前提，進(jìn)而設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法，逐步夯實(shí)基礎(chǔ)，消除學(xué)生的疑點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)大中銜接的平滑過(guò)渡。

在光學(xué)部分中，大學(xué)物理與中學(xué)物理對(duì)衍射的要求差異尤為明顯，有必要設(shè)計(jì)一種既定量、又容易理解的講解方式。本文以夫瑯禾費(fèi)單縫衍射為例，在學(xué)生對(duì)于光的干涉掌握情況較好、微積分基礎(chǔ)較為薄弱的情況下，提出一種新的講解方法，即：利用光程對(duì)稱(chēng)關(guān)系首先考慮子波源兩兩干涉的情況，從而在特定出射角將單縫等效為中心位置處寬度無(wú)窮小的窄縫，并建立光場(chǎng)疊加后的振幅與單縫寬度以及出射角之間關(guān)系，從而給出半波帶法的物理解釋。該方法講解耗時(shí)較短、易于理解，且便于銜接光柵衍射等后續(xù)教學(xué)內(nèi)容。在大學(xué)物理的線上以及線下教學(xué)實(shí)踐中，該方法均獲得了良好的教學(xué)效果。由此可見(jiàn)，物理教師應(yīng)加強(qiáng)對(duì)于學(xué)生基礎(chǔ)情況的了解，從而提出針對(duì)性更強(qiáng)的教學(xué)方法、提升課堂教學(xué)效果。