張 沛，魏冠軍，雷傳金，高茂寧

顧及共模誤差的陸態(tài)網(wǎng)絡(luò)GPS觀測數(shù)據(jù)噪聲分析

張 沛，魏冠軍，雷傳金，高茂寧

（蘭州交通大學(xué) 測繪與地理信息學(xué)院/地理國情監(jiān)測技術(shù)應(yīng)用國家地方聯(lián)合工程研究中心/甘肅省地理國情監(jiān)測工程實驗室，蘭州 730070）

為了進(jìn)一步研究共模誤差的提取對分析全球定位系統(tǒng)（GPS）坐標(biāo)時間序列最優(yōu)噪聲模型及速度場的影響，提出一種顧及共模誤差的陸態(tài)網(wǎng)絡(luò)GPS觀測數(shù)據(jù)噪聲分析方法：以西北地區(qū)70個陸態(tài)網(wǎng)絡(luò)連續(xù)站10 a GPS觀測數(shù)據(jù)為研究對象，利用主成分分析法剔除殘差坐標(biāo)時間序列中的共模誤差；然后根據(jù)貝葉斯信息準(zhǔn)則數(shù)值分析法對比分析濾波前后坐標(biāo)時間序列最優(yōu)噪聲模型及速度場變化。結(jié)果表明，濾波前西北地區(qū)整體最優(yōu)噪聲模型以白噪聲+閃爍噪聲（WN+FN）組合模型為主，濾波后最優(yōu)噪聲模型仍以WN+FN為主，但部分站點(diǎn)濾波后最優(yōu)噪聲模型發(fā)生了變化；濾波后北（N）、東（E）、天（U）各分量速度不確定度可分別平均降低38.97%、36.36%、48.14%，水平速度場及垂向速度場精度均高于濾波前；主成分分析法（PCA）剔除共模誤差可有效降低白噪聲和有色噪聲量級。

共模誤差；坐標(biāo)時間序列；主成分分析；貝葉斯信息準(zhǔn)則；噪聲模型

0 引言

全球定位系統(tǒng)（global positioning system，GPS）的區(qū)域監(jiān)測網(wǎng)受海潮及大氣負(fù)荷、地殼運(yùn)動、氣候變化等因素的影響，導(dǎo)致連續(xù)GPS站坐標(biāo)時間序列中存在與時空相關(guān)的誤差，稱為共模誤差（common mode error，CME）。許多學(xué)者對于CME的提取進(jìn)行了大量研究，常用的濾波方法有堆棧法、主成分分析法（principal component analysis，PCA）、獨(dú)立分量分析法（independent component analysis，ICA）、卡爾胡寧-勒夫展開法（Karhunen-Loève expansion，KLE）等方法[1-2]。文獻(xiàn)[3]首次提出利用區(qū)域疊加濾波法提取并剔除共模誤差；文獻(xiàn)[4]對安徽省19個連續(xù)運(yùn)行參考站（continuously operating reference stations，CORS）坐標(biāo)時間序列采用主成分分析法進(jìn)行空間濾波，濾波后噪聲模型仍以白噪聲+閃爍噪聲為主；文獻(xiàn)[5]對比分析了區(qū)域疊加法和主成分分析法，結(jié)果表明2種方法濾波效果極為接近，與數(shù)據(jù)的缺失率有很大關(guān)系；文獻(xiàn)[6]對西南極區(qū)域24個GPS基準(zhǔn)站采用PCA與ICA分析方法進(jìn)行空間濾波，PCA能夠有效提取區(qū)域GPS觀測網(wǎng)中的共模誤差。

西北地區(qū)構(gòu)造運(yùn)動強(qiáng)烈，氣候復(fù)雜多變，陸態(tài)網(wǎng)數(shù)據(jù)為共模誤差對噪聲模型及速度場的影響相關(guān)研究提供了保障。本文針對西北地區(qū)包括新疆、青海、甘肅、寧夏、陜西（行政區(qū)域規(guī)劃）5個省份共70個陸態(tài)網(wǎng)絡(luò)連續(xù)站，選取2011—2021年10 a的觀測數(shù)據(jù)分析研究，對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理后利用PCA提取210個分量上的共模誤差，對比分析濾波前后共模誤差對坐標(biāo)時間序列噪聲特性及測站速度的影響。

1 GPS站坐標(biāo)時間序列獲取

1.1 數(shù)據(jù)來源

本文所使用的數(shù)據(jù)來自中國地震局全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)（global navigation satellite system，GNSS）數(shù)據(jù)產(chǎn)品服務(wù)中心平臺(http://www. cgps.ac.cn)。其對數(shù)據(jù)的解算采用的是加米特（GAMIT）/格洛布克（GLOBK）軟件，并與眾多參數(shù)作平差估計來獲得原始坐標(biāo)時間序列。選取西北地區(qū)陸態(tài)網(wǎng)絡(luò)連續(xù)站共70個站進(jìn)行研究，站點(diǎn)分布如圖1所示。

圖1 西北地區(qū)陸態(tài)網(wǎng)絡(luò)連續(xù)站站點(diǎn)分布

1.2 殘差時間序列獲取及預(yù)處理

受各種因素的影響，原始時序中難免會存在粗差及缺失值，因此在獲取到原始坐標(biāo)時間序列后，首先采用最小二乘法來擬合出其中的趨勢項，包括線性趨勢，利用式（1）獲取殘差時間序列；利用四分位距法來探測粗差，剔除奇異值，進(jìn)而擬合出新的殘差時間序列。GPS坐標(biāo)時間序列的一般參數(shù)模型[7-9]為

由于在PCA濾波前要確保時間序列的均勻采樣，因此需要對殘差坐標(biāo)時間序列進(jìn)行缺失值的插補(bǔ)。本文采用基于克里金-卡爾曼濾波器（Kriged Kalman filter，KKF）的動態(tài)時空插值方法[10]，其插值效果較為穩(wěn)定，與連續(xù)缺失的比例關(guān)系不大；利用KKF動態(tài)插值的關(guān)鍵問題在于缺失數(shù)據(jù)隨機(jī)出現(xiàn)并保持持續(xù)輸出。假設(shè)在時刻的KKF觀測方程為

式中：、、分別為觀測數(shù)據(jù)、觀測數(shù)據(jù)的空間場和噪聲；、、分別為缺失數(shù)據(jù)、缺失數(shù)據(jù)的空間場及噪聲；在空間域上利用KKF觀測方程通過克里金法插值缺失的數(shù)據(jù)并通過自回歸模型在時間域上對其進(jìn)行預(yù)測，最后將空域插值結(jié)果與時域預(yù)測結(jié)果相結(jié)合得到時空預(yù)測結(jié)果。圖2為QHYS站不同分量插值前后的結(jié)果。

2 共模誤差提取

為了提高站點(diǎn)坐標(biāo)解算精度，必須對坐標(biāo)時間序列中的共模誤差進(jìn)行剔除[11]。PCA濾波法是一種線性降維的方法，可以利用較少的數(shù)據(jù)維度來保證更多的數(shù)據(jù)特征。本文采用最常見且有效的PCA濾波方法[12]對西北地區(qū)各分量殘差時間序列的共模誤差進(jìn)行提取。假設(shè)時間序列規(guī)則且連續(xù)，測站數(shù)為，觀測歷元數(shù)為，則構(gòu)成矩陣

則的協(xié)方差陣為

式中：為數(shù)據(jù)矩陣中的第行第個主成分；表示第個特征向量的第個分量。所得到的主分量按從大到小依次排列，對主分量中有超過一半的對應(yīng)歸一化響應(yīng)的值按照大于25%這一標(biāo)準(zhǔn)來提取殘差時間坐標(biāo)序列中的共模誤差，其中N、E、U3個分量上分別提取的共模誤差如圖3所示。

表1為剔除共模誤差前后殘差時間序列的均方根（root mean square，RMS）變化。由表1可知：采用PCA方法時，剔除共模誤差前，N、E、U 3個分量的殘差坐標(biāo)時間序列的RMS均值分別為1.871、1.889、7.095 mm；剔除共模誤差后，N、E、U3個分量的殘差坐標(biāo)時間序列的RMS均值分別為1.222、1.364、4.210 mm。經(jīng)PCA濾波后，N方向上平均降低了34.7%；E方向上平均降低了27.8%；U方向上平均降低了40.7%。表明PCA濾波能夠很好地提取殘差時序中的共模誤差，從而提高了GPS站的坐標(biāo)精度，得到了更為干凈的坐標(biāo)時間序列。

表1 濾波前后RMS均值 mm

3 GPS噪聲特征分析

3.1 貝葉斯信息準(zhǔn)則數(shù)值分析法

式中：為似然函數(shù)；為觀測數(shù)量；為模型參數(shù)的個數(shù)。

3.2 濾波前后最優(yōu)噪聲模型建立

許多學(xué)者在噪聲分析時所選取的模型基本均為白噪聲（white noise, WN）+閃爍噪聲（flicker noise，F(xiàn)N）、WN/隨機(jī)游走噪聲（random walk noise，RWN）+FN、WN+一階高斯馬爾可夫噪聲（generalized Gauss Markov noise，GGM）等[16-17]。根據(jù)不同區(qū)域上具有不同噪聲特性及有色噪聲的確定性，假設(shè)坐標(biāo)時間序列中除白噪聲（WN）外，還包含閃爍噪聲（FN）、隨機(jī)游走噪聲（RWN）、一階自回歸噪聲模型（first-order autogressive noise，AR1）、一階高斯馬爾可夫噪聲（GGM）、冪律噪聲（power-law noise，PL）、馬特恩（Matérn，MT）模型[14]、年變化（varying annual，VA）[15]等有色噪聲，選取WN+FN、WN+AR1、WN+FN+RWN、WN+FN+VA、WN+GGM、WN+MT、WN+MT+FN、WN+MT+RWN、WN+PL 等9種組合噪聲模型來分析噪聲分布特性，其結(jié)果如圖4所示。由圖4可知：在PCA濾波前，N方向上最優(yōu)噪聲模型占比最大的為WN+FN組合模型（62.9%），其次為WN+MT組合模型（28.6%）；E方向上最優(yōu)噪聲模型占比最大的為WN+FN組合模型（40%），其次為WN+GGM組合模型（18.6%）和WN+MT組合模型（17.1%）；U方向上最優(yōu)噪聲模型占比最大的為WN+FN組合模型（67.1%），其次為WN+MT組合模型（14.3%）。

圖4 濾波前各分量噪聲模型占比

濾波后的噪聲模型占比如圖5所示。由圖5可知，在N、E、U3個不同分量上噪聲模型的占比隨之改變。在N方向上噪聲模型呈多樣性，最優(yōu)噪聲模型占比最大的為WN+FN組合模型（35.7%），其次為WN+AR1組合模型（31.4%）；E方向上，WN+FN組合模型與WN+AR1組合模型所占比例均為34.3%，占比最大，其次為WN+PL組合模型（24.3%）；U方向上最優(yōu)噪聲模型占比最大的為WN+FN（71.4%），其次為WN+PL組合模型（12.9%）。

圖5 濾波后各分量噪聲模型占比

通過對比PCA濾波前后坐標(biāo)時間序列的最優(yōu)噪聲模型可知，共模誤差會影響坐標(biāo)時間序列最優(yōu)噪聲模型的分布特征，而PCA濾波會大幅降低坐標(biāo)時間序列的白噪聲和閃爍噪聲，尤其是N、E方向，表明共模誤差具有白噪聲和閃爍噪聲的特性。濾波前西北地區(qū)70個連續(xù)站N、E、U3個分量上的最優(yōu)噪聲模型為WN+FN組合模型，其次占比最大的噪聲模型為WN+MT；濾波后N、E2個分量上WN+AR1、WN+PL組合模型占比明顯增多，WN+FN、WN+MT組合模型占比則顯著減少，表明在濾波后部分連續(xù)站最優(yōu)噪聲模型發(fā)生了改變。共模誤差剔除前西北地區(qū)70個測站210個分量上最優(yōu)噪聲模型以WN+FN為主，剔除共模誤差后最優(yōu)噪聲模型仍以WN+FN為主PCA濾波后雖然最優(yōu)噪聲模型未發(fā)生改變，但很有效地降低了白噪聲與閃爍噪聲的量級，所以在對GPS坐標(biāo)時間序列進(jìn)行噪聲特性分析時，共模誤差的剔除具有必要性。

3.3 濾波前后速度場變化

根據(jù)以上研究所得，在顧及有色噪聲的影響下，對比分析了濾波前后N、E、U3個分量在國際地球參考框架（international terrestrial reference frame, ITRF）2014下的速度及其不確定度，并繪制濾波前后經(jīng)最優(yōu)噪聲模型改正后的水平方向和垂直方向上的運(yùn)動速度場，其結(jié)果如圖6、圖7、表2～表5所示。

圖6 濾波前后水平速度場

表2 濾波前水平速度及不確定度 mm/a

表3 濾波后水平速度及不確定度 mm/a

由表2可知：在PCA濾波前，E方向最大速率值為48.948 mm/a，最小速率值為24.626 mm/a；N方向最大速率值為22.257 mm/a，最小速率值為-9.814 mm/a。經(jīng)70個連續(xù)站的統(tǒng)計表明，E方向上標(biāo)準(zhǔn)差為4.701 mm，N方向上標(biāo)準(zhǔn)差為2.374 mm。

由表3可知：濾波后E方向最大速率值為48.936 mm/a，最小速率值為24.024 mm/a；N方向最大速率值為22.177 mm/a，最小速率值為 -10.183 mm/a。濾波后E方向上標(biāo)準(zhǔn)差為4.660 mm，N方向上標(biāo)準(zhǔn)差為1.629 mm，濾波后西北地區(qū)連續(xù)站水平速度場整體精度較高，其速度不確定度在N、E方向上分別平均降低了38.97%、36.36%。

表4 濾波前垂向速度及不確定度 mm/a

表5 濾波后垂向速度及不確定度 mm/a

表4、表5統(tǒng)計結(jié)果表明：在垂直方向上，濾波前U方向速率最大值為7.913 mm/a，最小速率值為-4.604 mm/a，統(tǒng)計其標(biāo)準(zhǔn)差為8.133 mm；濾波后速率最大值為6.767 mm/a，最小速率值為-2.130 mm/a，其標(biāo)準(zhǔn)差為8.067 mm。U方向上不確定度平均改善了48.14%。通過PCA濾波剔除共模誤差后，發(fā)現(xiàn)垂向速度不確定度明顯有大幅減小，說明垂向提取的共模誤差量級要大于水平方向。剔除共模誤差后西北地區(qū)連續(xù)站水平速度場及垂向速度場精度均高于濾波前水平速度場和垂向速度場，因此在分析坐標(biāo)時間序列數(shù)據(jù)及速度場的解算過程時，剔除坐標(biāo)時間序列中的共模誤差是十分必要的。

4 結(jié)束語

本文選取了西北地區(qū)70個陸態(tài)網(wǎng)絡(luò)連續(xù)站10 a的坐標(biāo)時間序列數(shù)據(jù)，利用主成分分析法提取了坐標(biāo)時間序列各分量共模誤差，并采用貝葉斯信息準(zhǔn)則分析研究了濾波前后西北地區(qū)最優(yōu)噪聲模型及速度場變化，最終得出以下結(jié)論：

1）利用PCA剔除殘差時間序列中的共模誤差，結(jié)果表明濾波后殘差時間序列的平均RMS值在N、E、U 3個分量上分別降低了34.7%、27.8%，40.7%，說明PCA濾波能夠很好地提取共模誤差，進(jìn)而提高GPS站的坐標(biāo)精度。

2）采用貝葉斯信息準(zhǔn)則獲取濾波前后坐標(biāo)時間序列的最優(yōu)噪聲模型，結(jié)果表明濾波前后西北地區(qū)噪聲模型存在多樣性，整體最優(yōu)噪聲模型仍以WN+FN組合模型為主，但濾波后部分測站最優(yōu)噪聲模型發(fā)生改變，說明共模誤差的剔除可以有效降低白噪聲與閃爍噪聲的參數(shù)估值，尤其在N、E方向上最為明顯。

3）在顧及最優(yōu)噪聲模型的情況下，對比分析濾波前后西北地區(qū)速度場變化，結(jié)果顯示濾波后水平速度場及垂向速度場精度均高于濾波前，N、E、U各分量速度不確定度在濾波后分別平均減少了38.97%、36.36%、48.14%，表明在分析坐標(biāo)時間序列數(shù)據(jù)及速度場解算過程時，共模誤差的剔除是非常有必要的。

研究結(jié)果可為西北地區(qū)高精度坐標(biāo)框架的研究以及地殼運(yùn)動規(guī)律等研究提供參考。

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Noise analysis of GPS observation data in land-based network considering common-mode errors

ZHANG Pei, WEI Guangjun, LEI Chuanjin, GAO Maoning

（Faculty of Geomatics, Lanzhou Jiaotong University/National-Local Joint Engineering Research Center of Technologies and Applications for National Geographic State Monitoring/Gansu Provincial Engineering Laboratory for National Geographic State Monitoring, Lanzhou, Gansu 730070, China）

In order to further study on the influence of the extraction of common-mode errors on the analysis of the optimal noise model and velocity field of global positioning system (GPS) coordinate time series, the paper proposed a noise analysis method of GPS observation data in land-based network considering common-mode errors: taking the GPS observation data of 70 land-based network continuous stations during 10 years in Northwest China as the research object, the common-mode error in the residual coordinate time series was eliminated by principal component analysis method; and the changes of optimal noise model and velocity field of the coordinate time series before and after filtering were comparatively analyzed according to the numerical analysis method of Bayesian information criterion. Results showed that the overall optimal noise model in Northwest China before filtering would be mainly based on the white noise (WN) + flicker noise (FN) combination model, and the optimal noise model after filtering would be still based on WN+FN, while the optimal noise model of some sites could have changed after filtering; moreover, the speed uncertainty of each component of N, E and U after filtering could be reduced by an average of 38.97%, 36.36% and 48.14%, respectively, and the accuracy of horizontal velocity field and vertical velocity field would be both higher than that before filtering; in general, the principal component analysis could effectively reduce the levels of white noise and colored noise by excluding common mode errors.

common-mode error; coordinate time series; principal component analysis; Bayesian information criterion; noise model

P228

A

2095-4999(2023)02-0159-07

張沛, 魏冠軍, 雷傳金, 等. 顧及共模誤差的陸態(tài)網(wǎng)絡(luò)GPS觀測數(shù)據(jù)噪聲分析[J]. 導(dǎo)航定位學(xué)報, 2023, 11(2): 159-165.（ZHANG Pei, WEI Guangjun, LEI Chuanjin, et al. Noise analysis of GPS observation data in land-based network considering common-mode errors[J]. Journal of Navigation and Positioning, 2023, 11(2): 159-165.）DOI:10.16547/j.cnki.10-1096.20230219.

2022-05-12

國家自然科學(xué)基金項目（41964008）；蘭州交通大學(xué)優(yōu)秀平臺項目（201806）。

張沛（1996—），男，甘肅平?jīng)鋈?，碩士研究生，研究方向為GNSS數(shù)據(jù)處理及理論。

魏冠軍（1976—），男，甘肅平?jīng)鋈?，博士，教授，研究方向為變形監(jiān)測與測量數(shù)據(jù)處理。