黃麗麗(福建省廈門市實(shí)驗(yàn)中學(xué)小學(xué)部 361100)

模型可以用來解決一類問題,是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑。小學(xué)數(shù)學(xué)建模一般要經(jīng)過五個環(huán)節(jié),即:模型準(zhǔn)備(從生活情境中抽象出一個比較清晰的數(shù)學(xué)問題)——模型假設(shè)與驗(yàn)證(針對問題特點(diǎn)和建模目的作出假設(shè),并予以驗(yàn)證)——模型求解與確立(運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具,進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象,確定數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu))——模型解釋與應(yīng)用(用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題,用數(shù)學(xué)語言刻畫實(shí)際問題)——模型拓展(適度生成、派生新模型)。其中,模型準(zhǔn)備是學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界,模型假設(shè)、求解等是學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界,模型解釋應(yīng)用環(huán)節(jié)是學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。

一切數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)理論體系,各種數(shù)學(xué)公式、各種方程以及由公式系列構(gòu)成的算法系統(tǒng)等,都可稱之為數(shù)學(xué)模型。如“1重2移3畫4標(biāo)”簡單幾個字就是畫高的步驟,也可以說是畫高方法的模型。如果把數(shù)學(xué)課按類型進(jìn)行分類,有概念課、計算課、圖形課、解決問題課、規(guī)律課等,每種課型都有其模型。小學(xué)數(shù)學(xué)的概念課很多,有數(shù)的概念、運(yùn)算的概念、量與計量的概念、幾何形體的概念等,它們互相聯(lián)系,是構(gòu)成小學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的重要組成部分。概念教學(xué)往往比較抽象,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從身邊的數(shù)學(xué)問題著手,根據(jù)所要解決的現(xiàn)實(shí)問題,將這個問題當(dāng)中的特征抽象出來,作為概念進(jìn)行理解和應(yīng)用。這其實(shí)就是將現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)問題概括抽象為數(shù)學(xué)模型,讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)與生活之間的緊密聯(lián)系,培養(yǎng)學(xué)生的模型意識與抽象概括能力。

一、生活材料助力概念建模

教材描述概念的語句較為枯燥,有的距離學(xué)生生活較遠(yuǎn),學(xué)生接受起來往往較為困難,因此教師要適時變更教材,提供合適的學(xué)習(xí)材料,使學(xué)生能夠自然參與概念的生成過程,了解知識的來龍去脈,這有利于培養(yǎng)他們發(fā)現(xiàn)問題和探究新事物的能力。

以四年級下冊“小數(shù)的意義”這節(jié)概念課為例。教材給出的是大段的文字,在以往的教學(xué)中,教師往往牽著學(xué)生亦步亦趨地開展一問一答式的教學(xué)活動,這種教學(xué)方式使學(xué)生的思維受阻,并沒有真正地體現(xiàn)小數(shù)的內(nèi)涵。教師不妨拋開教材,為學(xué)生提供一些真實(shí)情境的學(xué)習(xí)材料,如一瓶木糖醇高度約1dm,拇指寬約1cm,一支鋼筆長約15cm,一顆花生重約1g,一個雞蛋重約45g,一包小零食的價格為5角……小組合作任選一個數(shù)量,將其用一個分?jǐn)?shù)和一個小數(shù)表示出來。給學(xué)生充足的時間觀察分析探討,之后匯報交流:將1m 平均分成10份,1dm 是它的,就是m,即0.1m;1m 平均分成100份,1cm 是它的,就是m,即0.01m;15cm 是1m 的,就是m,即0.15m;1g 是1kg的,就是kg,即0.001kg;45 克是1kg的,就是kg,即0.045kg;5 角是1元的,就是元,即0.5元……學(xué)生在對學(xué)習(xí)材料進(jìn)行整理、轉(zhuǎn)化、分享及評價中發(fā)現(xiàn),將數(shù)改寫成分?jǐn)?shù)或小數(shù)時,需將低級單位所對應(yīng)的高級單位按進(jìn)率進(jìn)行平均分,再取其中的一份或幾份。待學(xué)生理解了轉(zhuǎn)化的原理之后,再讓學(xué)生將以上物品分類并說說自己的發(fā)現(xiàn)。學(xué)生可以按分母不同分為三類,也可以按小數(shù)位數(shù)進(jìn)行分類。再對比觀察不難得出結(jié)論:分母是10、100、1000……的分?jǐn)?shù)都可以用小數(shù)表示,一位小數(shù)表示十分之幾,兩位小數(shù)表示百分之幾,三位小數(shù)表示千分之幾……這就是小數(shù)的意義。至此,小數(shù)的概念模型建立。學(xué)生通過自主學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)等多種學(xué)習(xí)方式完成了對小數(shù)的認(rèn)識和理解。真實(shí)情景中的學(xué)習(xí)材料幫助學(xué)生真實(shí)學(xué)習(xí),助力小數(shù)概念模型的建構(gòu)。

教師要從學(xué)生身邊入手創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境,幫助學(xué)生更好地理解概念。如在學(xué)習(xí)一年級下冊“認(rèn)識人民幣”時,教師可為學(xué)生提供合適的學(xué)幣,采用項目式學(xué)習(xí)方式來助力人民幣概念建模。在課堂上,同桌之間相互介紹認(rèn)識的人民幣,了解人民幣的特征以及辨認(rèn)方法。其次,小組合作對人民幣進(jìn)行簡單分類,在分類中認(rèn)識人民幣的單位元角分。教師再適時介紹“元”的由來,豐富學(xué)生對人民幣的認(rèn)識。課下學(xué)生走進(jìn)超市,調(diào)查商品價格,讀懂小數(shù)表示的價錢,進(jìn)行商品價格的比較與計算。通過了解不同物品的價格,懂得每件物品都有其各自的價值,從而培養(yǎng)正確的金錢觀和價值觀。第二課時小組之間模擬購物:一人當(dāng)售貨員,其他三人買東西,計算并付錢,第一輪付正好的錢數(shù),第二輪需要售貨員進(jìn)行找錢。兩輪下來再交換角色進(jìn)行購物。如此,學(xué)生都有機(jī)會體驗(yàn)買賣東西的樂趣,在模擬購物活動中熟悉人民幣的面值和應(yīng)用。師生精心策劃愛心義賣活動。教師、家長化身為導(dǎo)購員、售貨員,學(xué)生化身為一個個小顧客,購物、換幣、比較、計算,與此同時,學(xué)生還要做好記錄,最后分享交流購物過程中遇到的問題及解決方法,進(jìn)行自我評價與反思,在這樣的學(xué)習(xí)過程中學(xué)生能深刻體會到人民幣的意義和蘊(yùn)含的學(xué)問。

教師根據(jù)教材的特點(diǎn)和學(xué)生的發(fā)展水平,創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的真實(shí)情境,有利于提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性,降低數(shù)學(xué)概念教學(xué)的難度。

二、學(xué)法指導(dǎo)探究概念模型

概念課的抽象性決定了要想讓學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)概念,就要變教師的教為學(xué)生的主動探究,這就需要教師給予學(xué)生一定的學(xué)法指導(dǎo)。如四年級上冊“平行與相交”這節(jié)課就是在學(xué)生動手實(shí)踐親歷知識的形成過程中建模的。數(shù)學(xué)源于生活,數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)要在真實(shí)世界中發(fā)生?；诖?教師先呈現(xiàn)一幅籬笆圖,讓學(xué)生從圖片中任選兩條邊描出來,并在小組間交流描出的兩條線長什么樣。稍后將學(xué)生的作品選擇性地展示在黑板上,讓學(xué)生觀察、分類并說說分類依據(jù)。A 生分三類:相交的、垂直的、不相交的?！胺值脤?”教師輕輕地問一句,“小組再討論一下?！盉 生:可以只分兩類,直線可無限延長,所以沒相交的延長后也會相交?！巴鈫? 誰再來說一說?”“觀察相交和垂直,你認(rèn)為它們有關(guān)系嗎? 把你的想法在小組內(nèi)交流一下?！盋生:垂直也是相交。具體來說相交是指兩條直線交于一點(diǎn),組成四個角;垂直也是這樣,只是四個角都是直角。D 生:垂直是相交的特殊情況?！霸僮屇惴诸?你怎么分?”E生:只分一類,它們都是相交。學(xué)生在多次的分類、討論、質(zhì)疑中明晰了相交線的模型:兩條直線可交于一點(diǎn)即為相交。平行線的本質(zhì)是同一平面內(nèi)兩條直線的距離不變,即永不相交。教師可引導(dǎo)學(xué)生動手操作并思考:①在兩條平行線間作垂線段;②量這些垂線段的長度;③思考工人是如何使兩條鐵軌保持平行的? 在對相交和平行的概念建模過程中,學(xué)生在教師的指導(dǎo)下經(jīng)歷多次觀察、討論、操作、交流等活動,對相交線和平行線的概念有了本質(zhì)的認(rèn)識,也深刻認(rèn)識到垂直是相交的特殊情況。

以五年級上冊“數(shù)學(xué)廣角——植樹問題”教學(xué)為例。教師可出示校園情境圖,植樹節(jié)快到了,學(xué)校準(zhǔn)備將校園里長100 米的小路的一邊每隔5 米種1棵樹,需要買多少棵樹呢? 教師先引導(dǎo)學(xué)生針對問題特點(diǎn)和建模目的提出合理的假設(shè)。不管學(xué)生的假設(shè)如何,教師先不做評判,重點(diǎn)關(guān)注假設(shè)背后的思想。如果學(xué)生假設(shè)“100÷5=20 棵(間隔數(shù))”,教師再引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑假設(shè)的正確性以及用自己的方法來證明觀點(diǎn)。如可采用化繁為簡的策略把總長100米改為10米;也可采用數(shù)形結(jié)合的策略畫出植樹的情境圖,化抽象為直觀。引導(dǎo)學(xué)生用分析、比較、猜想、驗(yàn)證、概括等思維方法自主構(gòu)建數(shù)學(xué)模型:“兩端都栽”的模型為“植樹棵數(shù)=間隔數(shù)+1”,“只栽一端”的模型為“植樹棵數(shù)=間隔數(shù)”以及“兩端都不栽”的模型為“植樹的棵數(shù)=間隔數(shù)-1”。教師再引導(dǎo)學(xué)生利用抽象的模型解決實(shí)際問題以及拓展新的數(shù)學(xué)模型。如環(huán)形操場插小旗活動。植樹模型變化多元,切不可讓學(xué)生死記模型公式,而應(yīng)該指導(dǎo)方法,讓其親歷模型的建構(gòu)過程,這樣學(xué)生才能真的領(lǐng)會并靈活運(yùn)用。

三、系列活動深化概念模型

模型的建立不是一蹴而就的,需要一個循序漸進(jìn)的過程。在教學(xué)中,教師要設(shè)計一系列由淺入深的活動,幫助學(xué)生慢慢感受模型的生成過程。以三年級上冊“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”教學(xué)為例。教師往往從分?jǐn)?shù)意義開展教學(xué),順勢給出分?jǐn)?shù)的表示方法。但是“為什么要用分?jǐn)?shù)表示? 為什么分?jǐn)?shù)要這樣寫?”學(xué)生困惑不消除,理解就難到位。教師可以創(chuàng)設(shè)一些合理的活動,讓學(xué)生在活動中認(rèn)識分?jǐn)?shù)、理解分?jǐn)?shù)的意義。

活動一:初步感受分?jǐn)?shù)的意義

教師提供一些生活素材:七點(diǎn)半的“半”是什么意思? 長方形的紙沿中線對折,一部分與整張紙的關(guān)系? “100元”和“50元”的關(guān)系? 學(xué)生獨(dú)立思考、小組交流,最后絕大多數(shù)學(xué)生的落腳點(diǎn)在“半”字。那“半”在數(shù)學(xué)上能怎樣簡潔地表示呢? 由生活中的需要引出探究的欲望。

活動二:表示“半”

學(xué)生用自己的方式表示“半”:比如1-2;1/2;1○2;1·2 等。在肯定學(xué)生奇思妙想的同時,教師要引導(dǎo)學(xué)生思考:“一個‘半’字,用這么多不同的符號表示,行嗎?”學(xué)生經(jīng)過討論,達(dá)成共識:只能用一個符號表示。師生共同了解數(shù)學(xué)史“分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生過程”,感受古人因生活生產(chǎn)需要而探求摸索、銳意進(jìn)取的求知精神。至此學(xué)生明白:一半是二中取一,它有很多種表示方式,而“”這種表示方式是經(jīng)過摸索后達(dá)成的共識,為了溝通方便而采用。

活動三:再次理解分?jǐn)?shù)的意義

在經(jīng)歷了由生活需要而產(chǎn)生探究的欲望、由表示符號多元到達(dá)成統(tǒng)一共識、由感悟一種新數(shù)到理解這種新數(shù)的意義這樣的建模過程之后,學(xué)生對分?jǐn)?shù)模型的認(rèn)知是飽滿和豐富的。

在認(rèn)識圖形系列教學(xué)中,教師往往也是設(shè)計多種活動來探究圖形的特征,這些活動能很好地幫助學(xué)生認(rèn)識和辨析圖形。

以五年級下冊“長方體和正方體”教學(xué)為例。教師可設(shè)計如下活動來幫助學(xué)生探究長方體和正方體的特征。活動一:搭一搭。利用小棒、硬紙條等搭一個長方體、正方體框架,觀察這些棱,說說發(fā)現(xiàn)。進(jìn)而推導(dǎo)出棱長和公式?；顒佣?想一想,拆一拆。把小棒拆成什么樣子還能想象出原長方體的框架? 從而感悟長方體的框架特征主要由長、寬、高三個要素決定?；顒尤?補(bǔ)一補(bǔ)。用合適的紙張把長、正方體的框架補(bǔ)上面,觀察面的特征,為后續(xù)學(xué)習(xí)表面積做鋪墊?；顒铀?想一想,剪一剪。至少需要剪開幾條棱,能得到長方體、正方體的展開圖,以及展開圖是什么樣的?；顒游?折一折。把展開圖標(biāo)上序號,折一折看看哪些面是相鄰的哪些面是相對的。概念教學(xué)不必拘泥于教材的課時設(shè)定,學(xué)生能真正地投入教學(xué)活動并能在活動中理解深化概念模型才是最重要的。

四、本質(zhì)屬性結(jié)構(gòu)概念模型

很多概念課的建模過程類似,可做結(jié)構(gòu)化教學(xué),比如圖形的高。三角形的高是從三角形任意一個頂點(diǎn)向它的對邊所在的直線做垂線;平行四邊形的高是從平行四邊形一條邊上的任一點(diǎn)向它的對邊所在的直線做垂線;梯形的高是從梯形底上的任一點(diǎn)向另一底所在的直線做垂線;圓柱的高是兩個底面圓心之間的距離……“作高”是小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”部分的重要內(nèi)容,教師上課講解、示范,學(xué)生模仿操作,看似完整、扎實(shí)的教學(xué)過程,結(jié)果卻是錯誤頻出,究其原因是學(xué)生對“高”的本質(zhì)沒有厘清。像這種本質(zhì)屬性統(tǒng)一的概念,教師要進(jìn)行結(jié)構(gòu)統(tǒng)整,在第一節(jié)課時花力氣讓學(xué)生明白,之后教學(xué)中不斷強(qiáng)化其本質(zhì)。學(xué)生理解了“高”的概念本質(zhì),再以“1重2移3畫4標(biāo)”模型方法鞏固作圖技巧,就無須談“高”色變了。

五、學(xué)以致用發(fā)展概念模型

學(xué)生雖然建構(gòu)了數(shù)學(xué)概念模型,但是如果不應(yīng)用于實(shí)踐,它就失去了意義,而且很快會被淡忘。如果生活數(shù)學(xué)化的過程是“建?！边^程,那么數(shù)學(xué)生活化的過程就是“用?！边^程。模型需要在應(yīng)用中不斷鞏固理解、深化發(fā)展。

在學(xué)習(xí)一年級下冊“解決問題(誰比誰多幾或少幾)”時,教材出示套圈游戲情境圖:小雪套中7個,小華套中12 個。學(xué)生根據(jù)信息自行提出問題:“小華比小雪多套幾個或者小雪比小華少套幾個?”之后,教師組織學(xué)生畫圖并列式解答,學(xué)生們無一例外列式:12-7。而在問到為什么用減法時,學(xué)生面面相覷,回答不出來。其實(shí)教師可以引導(dǎo)學(xué)生回憶減法的意義:知道了總數(shù)和一部分,求另一部分用減法。借助示意圖再來理解:知道了總數(shù)(小華套中的個數(shù)12)和一部分(小華和小雪同樣多的部分7),求另一部分(小華比小雪多的部分),故而用減法。這就是用減法的意義來解決實(shí)際問題,在解決問題的過程中強(qiáng)化和發(fā)展減法的概念模型。

再如,學(xué)習(xí)六年級上冊“圓的面積”后,除進(jìn)行一些必要的計算練習(xí),還可以設(shè)計一些實(shí)踐問題:“怎么計算學(xué)校中庭榕樹樹干的橫截面面積?”學(xué)生思考討論匯報交流:有的認(rèn)為需要將榕樹沿橫截面砍伐,量出半徑從而計算面積;有的認(rèn)為只需要量出樹干的周長,就能算出半徑,進(jìn)而算出橫截面面積。在解決這樣復(fù)雜的實(shí)際問題中,學(xué)生抓住圓的面積公式中半徑這個關(guān)鍵概念,便可輕松解決問題。數(shù)學(xué)概念源于現(xiàn)實(shí)生活,又可用于解決現(xiàn)實(shí)問題,在這種數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的雙向聯(lián)系中,概念建模可獲得進(jìn)一步發(fā)展。

在這樣的教學(xué)策略下,學(xué)生對概念的理解越發(fā)清晰,越發(fā)明確,越發(fā)肯定。在學(xué)習(xí)類似的概念課時,學(xué)生就有徑可循,會從生活中找素材來緩解陌生感,會通過探討交流來推開迷霧,接近事實(shí)真理。這樣從“學(xué)”到“用”恰恰反映的是學(xué)生真正學(xué)會了概念建模。