許 超

（南通職業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)教研室， 江蘇 南通 226007）

0 引 言

設(shè)閉區(qū)域D 由分段光滑的曲線L 圍成，若函數(shù)P（x，y）與Q（x，y）在D 上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有等式

成立，其中C 是D 的正向邊界曲線[1]，這就是高等數(shù)學(xué)中著名的格林公式。

格林公式刻畫(huà)了平面閉區(qū)域上二重積分與邊界上曲線積分之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，是繼牛頓—萊布尼茨公式之后，向高維情形下的高斯公式及斯托克斯公式推廣的一個(gè)臺(tái)階，在數(shù)學(xué)、物理等多個(gè)領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用[2]。

要求P（x，y）與Q（x，y）在包含了邊界曲線C的整個(gè)閉區(qū)域D 上偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，這是一個(gè)很強(qiáng)的條件，限制了格林公式的適用范圍。事實(shí)上，該條件又是非必要的，所以存在一定的改進(jìn)空間。本文通過(guò)從D 的邊界到內(nèi)部逐步減弱條件，嘗試拓寬格林公式（1）成立的范圍，以期在理論上得到一定改進(jìn)，同時(shí)也為格林公式的教學(xué)提供更多具有拓展性和啟發(fā)性的范例。

1 基本思路

格林公式（1）成立的前提是等號(hào)的兩端都可積。左端曲線積分的存在只需要“P 與Q 在C 上連續(xù)”即可，甚至還可減弱到“在C 上有界且除有限個(gè)點(diǎn)外處處連續(xù)”。這樣去除D 在邊界C 上的可導(dǎo)性，右端為廣義重積分[3]，即通過(guò)內(nèi)含區(qū)域逐步逼近區(qū)域D 來(lái)實(shí)現(xiàn)的重積分[4]。如果式（1）右端的廣義重積分收斂，格林公式仍成立，進(jìn)一步在D 的內(nèi)部，利用零面積集上任何二重積分均為零的性質(zhì)[5]，還可將條件降低為“在D 內(nèi)除有限個(gè)點(diǎn)及有限條是零面積集的曲線外偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)”。這里，零面積集指一個(gè)平面點(diǎn)集K，對(duì)任意ε ＞0，存在有限個(gè)閉矩形I（i1≤i≤m），使得并有，這里σ（I）i是閉矩形Ii的面積。顯然，由有限個(gè)點(diǎn)及有限條零面積曲線組成的點(diǎn)集是零面積集。

如果在閉區(qū)域D 上P（x，y）與Q（x，y）不滿足偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)條件的點(diǎn)集是零面積集K，由于，則有dxdy。

2 基本事實(shí)

首先將（1）式左端曲線積分的可積條件降低為被積函數(shù)連續(xù)，右端則變成收斂的廣義重積分，這時(shí)有：

引理1 設(shè)開(kāi)區(qū)域D 由分段光滑的閉曲線C圍成，若

Ⅰ.區(qū)域D 內(nèi)存在一點(diǎn)M（a，b），使M 點(diǎn)出發(fā)的任一射線與邊界C 的交點(diǎn)有且僅有一個(gè)；

成立。其中曲線積分取閉曲線C 的正向。

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證明設(shè)閉曲線C 的方程為x=φ（t），y=ψ（t），α≤t≤β，函數(shù)φ（t）和ψ（t）有連續(xù)導(dǎo)數(shù)。作閉曲線c（λ），其方程為

顯然，λ=0 時(shí)，x（t，0）= φ（t），y（t，0）= ψ（t）；0 ＜λ≤1 時(shí)，對(duì)每一個(gè)t∈[α，β]，曲線c（λ）上的點(diǎn)恰處于M 點(diǎn)和曲線C 相應(yīng)點(diǎn)的連線段上，因而由條件Ⅰ，曲線c（λ）完全落在區(qū)域D 內(nèi)，設(shè)其所圍區(qū)域?yàn)镈（λ）。當(dāng)λ→0 時(shí)，區(qū)域D（λ）擴(kuò)展而趨于區(qū)域D 內(nèi)，由條件Ⅲ

在區(qū)域?yàn)镈（λ）上可以應(yīng)用格林公式（1），同時(shí)利用曲線c（λ）的方程，有

式（3）右端是含參變量λ 的定積分，由函數(shù)φ（t）、ψ（t）的連續(xù)可導(dǎo)性及P、Q 的連續(xù)性知，被積函數(shù)在α≤t≤β，0 ≤λ≤1 時(shí)連續(xù)，因此該積分關(guān)于λ 連續(xù)。在式（3）中令λ→0，可得

上式右端的定積分恰等于式（2）左端的曲線積分。

當(dāng)曲線C 分段光滑，即函數(shù)φ（t）、ψ（t）分段有連續(xù)導(dǎo)數(shù)時(shí)，式（3）可化為分段積分，取極限后仍得格林公式。證畢。

如果區(qū)域D 不是滿足條件Ⅰ的簡(jiǎn)單區(qū)域，則可引進(jìn)幾條輔助線將D 分成有限個(gè)簡(jiǎn)單的部分區(qū)域，在每個(gè)區(qū)域上應(yīng)用公式（2），然后相加，仍能證得結(jié)論。可見(jiàn)格林公式（2）對(duì)復(fù)雜區(qū)域也成立。

引理2 設(shè)開(kāi)區(qū)域D 由分段光滑的閉曲線C圍成，函數(shù)P（x，y）、Q（x，y）在=DUC 上連續(xù)。在D 內(nèi)除有限個(gè)點(diǎn)及有限條零面積曲線外，具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)式（2）右端的廣義重積分收斂時(shí)，格林公式（2）成立。

證明在D 內(nèi)作一條或數(shù)條曲線，使這些曲線經(jīng)過(guò)所有的不可導(dǎo)點(diǎn)，這些曲線將D 分成有限個(gè)部分區(qū)域。由于不具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的點(diǎn)集均為零面積集，所以在各部分區(qū)域上均可分別應(yīng)用格林公式（2），然后相加即可得證。證畢。

3 主要結(jié)論

在上述兩個(gè)引理的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步放寬要求P（x，y）、Q（x，y）在邊界曲線連續(xù)的條件，得到了本文的主要結(jié)論。

定理3 設(shè)開(kāi)區(qū)域D 由分段光滑的閉曲線C圍成，函數(shù)P（x，y）、Q（x，y）在= DUC 上有界并且除有限個(gè)點(diǎn)外連續(xù)，在D 內(nèi)除有限個(gè)點(diǎn)及有限條零面積曲線外具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)式（2）右端的廣義重積分收斂時(shí)，格林公式（2）成立。

證明只考慮在一個(gè)點(diǎn)M（a，b）處不連續(xù)。對(duì)于多個(gè)點(diǎn)不連續(xù)，可以類(lèi)似證明。當(dāng)M 在區(qū)域D內(nèi)時(shí)，以M 為圓心作圓C（ε）：x = a + εcos t，y = b +εsint，0 ≤t≤2π，半徑ε 充分小使該圓完全包含在D 內(nèi)，設(shè)區(qū)域D 挖去圓域后得區(qū)域D（ε）。對(duì)D（ε）應(yīng)用格林公式得

即可得到式（2）?，F(xiàn)在證明式（4）。

ε→0 時(shí)，上式右端趨于零，式（4）成立。

當(dāng)不連續(xù)點(diǎn)M 在邊界C 上時(shí)，同樣在D 內(nèi)挖去圓域，這時(shí)曲線C（ε）表示圓在D 內(nèi)的部分。顯然，估計(jì)式中的積分區(qū)間變小，因而估計(jì)式仍成立。當(dāng)然這時(shí)公式（2）左端是廣義的曲線積分，可以通過(guò)曲線上點(diǎn)的逼近來(lái)實(shí)現(xiàn)。證畢。

從定理3 的證明中看出，函數(shù)P、Q 的有界性條件，可以用式（4）來(lái)代替，而且式中的曲線C（ε）不必是圓，只要向M 點(diǎn)無(wú)限收縮即可。

4 結(jié) 語(yǔ)

格林公式在數(shù)學(xué)和力學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，盡量減少對(duì)使得公式成立的條件限制，顯然有助于擴(kuò)大其應(yīng)用范圍。本文對(duì)函數(shù)P、Q 的條件作了一定的改進(jìn)。需要注意的是，本文的引理和定理都要求式（2）右端的廣義重積分收斂或者被積函數(shù)有界，這個(gè)條件是不能去除的。此外，對(duì)曲線C 的形狀與光滑性都不必有所限制，只要C 是可求長(zhǎng)的閉曲線，格林公式便成立，這說(shuō)明使得格林公式成立的條件還有一定的改進(jìn)空間。

格林公式是大多本科理工專(zhuān)業(yè)高等數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容。引導(dǎo)學(xué)生嘗試改進(jìn)一些類(lèi)似于格林公式等定理成立的條件，尋找不滿足條件的反例，對(duì)培養(yǎng)他們拓展性思維和探索精神都是有益的。