鄧 杰

江蘇省海門中學(xué)

1 真題呈現(xiàn)

A.13 B.12 C.9 D.6

該題題目簡(jiǎn)潔明了，通過(guò)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的給出，進(jìn)而確定橢圓兩焦半徑積的最大值.題目難度不大，破解思維方式多樣.破解最直接有效的辦法就是應(yīng)用基本不等式；而采用兩點(diǎn)間距離公式或焦半徑公式也是不錯(cuò)的方法，結(jié)合函數(shù)思維來(lái)確定最值；針對(duì)選擇題的特點(diǎn)，可直接利用極端思維來(lái)確定兩焦半徑積的兩個(gè)極端取值，進(jìn)而得以合理判斷.不同的破解方法，展示不同的思維方式.

2 真題破解

方法1：基本不等式法.

解析：由于F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，則a=3，而點(diǎn)M在C上，利用橢圓的定義可得|MF1|+|MF2|=2a=6.

故選擇答案：C.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程確定相應(yīng)參數(shù)的值，利用橢圓的定義得到兩線段的長(zhǎng)度之和，結(jié)合基本不等式即可確定兩線段長(zhǎng)度積的最大值.結(jié)合橢圓的定義，借助基本不等式來(lái)確定關(guān)系式的最值，是破解此類問(wèn)題中最常見(jiàn)的一種基本方法，思維直接，簡(jiǎn)單快捷.

方法2：距離公式法.

又|MF1|·|MF2|

當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立.

故選擇答案：C.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程確定相應(yīng)參數(shù)的值，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式確定兩線段長(zhǎng)度積的關(guān)系式，通過(guò)消參、等價(jià)變換，得到相應(yīng)的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)來(lái)確定對(duì)應(yīng)的最大值即可.通過(guò)距離公式來(lái)轉(zhuǎn)化線段的長(zhǎng)度問(wèn)題進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)來(lái)確定最值,是破解此類平面解析幾何相關(guān)問(wèn)題的常用方法.

方法3：焦半徑公式法.

故選:C.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程確定相應(yīng)參數(shù)的值，并求得橢圓的離心率，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)，結(jié)合橢圓的焦半徑公式分別確定|MF1|與|MF2|的表達(dá)式，進(jìn)而確定兩線段長(zhǎng)度的積關(guān)系式，得到相應(yīng)的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)來(lái)確定對(duì)應(yīng)的最大值即可.焦半徑公式是圓錐曲線中的拓展與提升，是破解與焦半徑有關(guān)問(wèn)題的基本方法.

方法4：極端思維法.

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M與短軸的頂點(diǎn)重合時(shí)，|MF1|,|MF2|的值均為a=3，此時(shí)|MF1|·|MF2|=9.

所以|MF1|·|MF2|的最大值為9.故選C.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程確定相應(yīng)參數(shù)的值，結(jié)合橢圓圖形的對(duì)稱性，借助極端思維，利用動(dòng)點(diǎn)M與橢圓長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)、短軸的頂點(diǎn)重合時(shí)，對(duì)應(yīng)的線段長(zhǎng)度以及兩線段長(zhǎng)度的積，通過(guò)比較來(lái)判斷相應(yīng)的最大值問(wèn)題.極端思維在解決平面解析幾何中的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，以極端的特殊思維來(lái)解決，極具可行性.

3 規(guī)律總結(jié)

根據(jù)以上高考真題及其對(duì)應(yīng)的破解過(guò)程，特別是方法2～4，除了確定相應(yīng)的最大值外，還可以確定相應(yīng)的最小值問(wèn)題.參照以上破解方法，總結(jié)規(guī)律，可以得到以下幾個(gè)相應(yīng)的一般性結(jié)論.

結(jié)論的證明，可以直接參照以上高考真題的破解方法2～4中的過(guò)程，具體加以實(shí)際分析即可，這里不多加贅述.

4 變式拓展

保留題目條件，改變所要求解的關(guān)系式，變?cè)瓉?lái)“兩焦半徑的積”為“兩焦半徑的平方和”，可以得到以下兩個(gè)對(duì)應(yīng)的變式.

A.28 B.24 C.18 D.12

解析：由于F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，則a=3.而點(diǎn)M在C上，利用橢圓的定義可得|MF1|+|MF2|=2a=6.

A.28 B.24 C.18 D.12

當(dāng)然，融合變式1與變式2的結(jié)論，又可以進(jìn)一步得到確定橢圓的兩焦半徑的平方和的取值范圍問(wèn)題，這里就不另展示.

5 教學(xué)啟示

(1)研究高考典型真題不能只以難題為標(biāo)準(zhǔn)

歷年高考過(guò)后，都會(huì)有很多的教師去研究一些高考典型真題，基本上選擇一些選擇題、填空題或解答題的壓軸題之類的難題來(lái)研究，這樣固然可以挖掘問(wèn)題本質(zhì)，突破問(wèn)題的難點(diǎn).但對(duì)大部分學(xué)生而言，基本題與基本方法才是根本，因而一些簡(jiǎn)單題也是研究的一大方向，不能掉以輕心.

(2)研究一題必有所得

深入研究一些基本的高考典型真題，從問(wèn)題的類型、出題的落腳點(diǎn)、問(wèn)題的知識(shí)點(diǎn)、切入的突破點(diǎn)等方面，都可以得到很好的體會(huì)，進(jìn)而不斷發(fā)展解題思維，展示解題方法，總結(jié)解題規(guī)律，探究變式拓展，引領(lǐng)并指導(dǎo)學(xué)生跳出題海，提升數(shù)學(xué)品質(zhì)，提高數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).Z