【摘 要】幾何畫板可以為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)提供觀察、探究、歸納的有力保證。利用幾何畫板制作與數(shù)學(xué)知識(shí)相關(guān)的圖形，可以很好地彌補(bǔ)教師、學(xué)生手動(dòng)畫圖的不足。在“二次函數(shù)的最值問題再研究”的教學(xué)中，可以引入幾何畫板輔助教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；幾何畫板；教學(xué)支架；思維可視化

【中圖分類號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A? 【文章編號(hào)】1005-6009（2023）11-0048-03

幾何畫板是一種常見的、比較受歡迎的可視化工具。利用幾何畫板制作與數(shù)學(xué)概念相關(guān)的圖形，可以很好地彌補(bǔ)教師、學(xué)生手動(dòng)畫圖的不足。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時(shí)，恰當(dāng)、合理地使用幾何畫板，不僅可以激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，而且可以讓學(xué)生更直觀、生動(dòng)地感受、理解、掌握一些較為抽象、難以解釋的概念，有利于學(xué)生清晰、直觀、積極地學(xué)好數(shù)學(xué)。

“二次函數(shù)的最值問題再研究”的教學(xué)內(nèi)容在學(xué)生學(xué)習(xí)完二次函數(shù)這一章之后，是一堂針對(duì)二次函數(shù)最值問題的鞏固復(fù)習(xí)課。由于其抽象程度較高，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)可能會(huì)遇到一定的困難。因此，在教學(xué)中，教師可以利用幾何畫板的動(dòng)畫效果，促進(jìn)思維可視化，幫助學(xué)生突破知識(shí)重難點(diǎn)。同時(shí)，教師可利用小組合作，讓學(xué)生交流討論、碰撞思維；安排全班展示，讓學(xué)生充分整合思路、發(fā)表見解。以此激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。

一、教學(xué)目標(biāo)及重難點(diǎn)

1.教學(xué)目標(biāo)

（1）會(huì)結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行分類討論，求解二次函數(shù)的最值問題，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣，提高學(xué)生的綜合分析能力，并進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)、理解和掌握。

（2）經(jīng)歷從“軸定區(qū)間動(dòng)”到“軸動(dòng)區(qū)間定”的類比推理，培養(yǎng)學(xué)生的類比推理能力、獨(dú)立思考習(xí)慣和小組合作精神。

2.教學(xué)重難點(diǎn)

（1）重點(diǎn)：軸定區(qū)間定的閉區(qū)間上二次函數(shù)最值問題，軸動(dòng)區(qū)間定的閉區(qū)間上二次函數(shù)最值問題，軸定區(qū)間動(dòng)的閉區(qū)間上二次函數(shù)最值問題。

（2）難點(diǎn)：軸動(dòng)區(qū)間定的閉區(qū)間上二次函數(shù)最值問題，軸定區(qū)間動(dòng)的閉區(qū)間上二次函數(shù)最值問題。

二、教學(xué)過程再現(xiàn)

1.引導(dǎo)先學(xué)，再現(xiàn)知識(shí)

問題1：二次函數(shù)y=x2-2x+3的最小值是_____________???，最大值是_____________???。

【設(shè)計(jì)意圖】問題1列舉具體的二次函數(shù)，讓學(xué)生復(fù)習(xí)回顧二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，并利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求得其最大值和最小值。

2.組織互學(xué)，知識(shí)鞏固

問題2：二次函數(shù)y=x2-2x+3（-1≤x≤0）的最小值是_____________，最大值是_____________。

問題3：二次函數(shù)y=x2-2x+3（-1≤x≤2）的最小值是_____________，最大值是_____________。

問題4：二次函數(shù)y=x2-2x+3（-1≤x≤4）的最小值是_____________，最大值是_____________。

問題5：二次函數(shù)y=x2-2x+3（2≤x≤4）的最小值是_____________，最大值是_____________。

【設(shè)計(jì)意圖】問題2到問題5的設(shè)計(jì)是利用自變量取值范圍的改變，并依據(jù)此自變量的取值范圍來得出這個(gè)二次函數(shù)的最大值和最小值。如果僅從二次函數(shù)性質(zhì)的角度來解決問題，學(xué)生可能不易看得清楚、想得明白。為此，實(shí)際教學(xué)時(shí)，教師可利用幾何畫板進(jìn)行演示，讓思維可視化、思路清晰化（限于版面，演示過程略），從而順利解決二次函數(shù)的最大值和最小值問題。

3.提升研學(xué)，綜合知識(shí)

問題6：二次函數(shù)y=x2-2x+3，當(dāng)1≤x≤a（a>1）時(shí)，函數(shù)值2≤y≤2a，求實(shí)數(shù)a的值。

【設(shè)計(jì)意圖】問題6基于二次函數(shù)的增減性，學(xué)生思考時(shí)及時(shí)畫出相應(yīng)的二次函數(shù)圖象進(jìn)行觀察（見圖1），便容易找到解題思路。

問題7：二次函數(shù)y=x2-2ax+3，當(dāng)0≤x≤a時(shí)，函數(shù)值2≤y≤6，則a的取值范圍是 ????????。

【設(shè)計(jì)意圖】問題7以“軸定區(qū)間動(dòng)”為載體設(shè)計(jì)問題。學(xué)生可借用二次函數(shù)圖象變化特征（見圖2）進(jìn)行推理論證，即可得出a的取值范圍。

4.遷移再學(xué)，深化知識(shí)

問題8：二次函數(shù)y=x2-2ax+3（a是常數(shù)），當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，函數(shù)值y的最小值是1，求實(shí)數(shù)a的值。

【設(shè)計(jì)意圖】問題8與問題7的設(shè)計(jì)思路有所不同，問題8以“軸動(dòng)區(qū)間定”為載體。教師預(yù)先準(zhǔn)備好二次函數(shù)圖象的幾何畫板（見圖3、圖4、圖5），讓學(xué)生觀察、感受、類比，以此培養(yǎng)學(xué)生的類比推理能力、獨(dú)立思考習(xí)慣和小組合作精神。

三、課后反思

本課教學(xué)中，教師從“自變量取值范圍內(nèi)的函數(shù)最值問題”入手，精心構(gòu)思，巧妙設(shè)計(jì)，精準(zhǔn)施教，合情釋理。主要體現(xiàn)在以下四個(gè)方面。

1.以已知探未知，讓問題拾級(jí)而上

“二次函數(shù)”是初中函數(shù)學(xué)習(xí)的一個(gè)重點(diǎn)，其包含的二次函數(shù)圖象、性質(zhì)及思想方法非常豐富和飽滿，但其抽象性讓函數(shù)的一些相關(guān)性質(zhì)及思想方法不易被學(xué)生理解。為此，教師應(yīng)基于學(xué)生學(xué)情及時(shí)進(jìn)行教學(xué)前的準(zhǔn)備和教學(xué)過程中的調(diào)整，從學(xué)生耳熟能詳?shù)亩魏瘮?shù)問題入手（問題1），立足二次函數(shù)的基本性質(zhì)，以自變量取值范圍的變化為抓手（問題2到問題5），以已知探未知，讓問題拾級(jí)而上，逐步升級(jí)（問題6、問題7、問題8）。此時(shí)附上圖形會(huì)使問題的思路漸漸明晰，讓學(xué)生的思維更具層次感和可見度。

2.以畫板作支架，讓思維觸手可及

隨著問題的不斷深入，純粹用代數(shù)方法來解題，尤其是問題6、問題7、問題8的求解，學(xué)生可能會(huì)感到不理解。此時(shí)教師要善于挖掘資源，以幾何畫板為支架，利用幾何畫板讓二次函數(shù)圖象動(dòng)起來，以動(dòng)畫演示精準(zhǔn)闡釋數(shù)的概念，促使學(xué)生的思維漸漸跟進(jìn)，使原本抽象的二次函數(shù)性質(zhì)和特征清晰可見。

3.以合作為手段，讓方法落地生根

問題的解決不能僅依靠教師的引導(dǎo)和講解，更需要學(xué)生們的主動(dòng)參與。小組合作學(xué)習(xí)就是一種很好的學(xué)習(xí)方式，本課利用小組合作的方式，以問題串為載體，以幾何畫板作支架，如問題6、問題7、問題8的研究，尤其是問題8教師可安排學(xué)生就如何劃分區(qū)間進(jìn)行討論。教師作為課堂的組織者，應(yīng)始終凸顯學(xué)生的主體地位，將理解、思考、解決問題的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生個(gè)體之間、團(tuán)隊(duì)之間進(jìn)行多方位的合作、研討、交流、碰撞，不斷迸發(fā)出思維的火花。

4.以動(dòng)手成習(xí)慣，讓算理自然顯現(xiàn)

整個(gè)課堂中，教師的鋪墊雖然非常重要，但離開了學(xué)生的親身感受，課堂的效率也會(huì)大打折扣。比如問題2到問題5的研究，教師用幾何畫板演示，然后將二次函數(shù)圖象定格，由于有了具體范圍，對(duì)學(xué)生來說還是比較容易理解和接受的。而對(duì)于問題6、問題7、問題8，尤其是問題8，教師同樣借助幾何畫板演示，看上去似乎很清楚，但一離開幾何畫板，學(xué)生又會(huì)不明所以。為此，教師要不斷地引導(dǎo)學(xué)生積極動(dòng)手操作，在紙上畫出幾何畫板動(dòng)態(tài)下的幾個(gè)定格的二次函數(shù)圖象，使動(dòng)態(tài)慢慢轉(zhuǎn)化為靜態(tài)，以動(dòng)思靜。

綜上所述，搭建教學(xué)支架、促使思維可視化成為數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的一個(gè)很好的切入口，我們?cè)谑褂每梢暬ぞ邥r(shí)，要提前謀劃、精心設(shè)計(jì)，恰當(dāng)、合理、有效地選擇視覺化呈現(xiàn)的方式及時(shí)機(jī)，讓學(xué)生積極參與動(dòng)手操作和動(dòng)腦思維的活動(dòng)；課型要靈活、生動(dòng)、有趣，引發(fā)學(xué)生思考，將數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)與生活實(shí)際相結(jié)合，讓學(xué)生自覺用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決實(shí)際問題。同時(shí)，教師還要樹立大教學(xué)觀，積極構(gòu)建思維可視化環(huán)境，充分利用好數(shù)學(xué)思維可視化工具，以人人可動(dòng)手操作的實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生參與數(shù)學(xué)概念的形成過程，努力培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力、科學(xué)精神和創(chuàng)新意識(shí)。

*本文系江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究第十四期課題“發(fā)展初中生幾何直觀的深度學(xué)習(xí)支架構(gòu)建研究”（2021JY14-ZA07）階段性研究成果。

【作者簡介】陳冬，江蘇省張家港市妙橋中學(xué)（江蘇張家港，215615）教師，正高級(jí)教師，江蘇省數(shù)學(xué)特級(jí)教師，蘇州市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人。