王若璇 周春梅

摘?? 要：本文以數(shù)形結(jié)合的理論基礎(chǔ)為切入點(diǎn)，著重探索數(shù)形結(jié)合思想在2020-2022年高考全國(guó)理科卷中函數(shù)及立體幾何的具體應(yīng)用，以幫助學(xué)生解決復(fù)雜問(wèn)題，切實(shí)提升數(shù)學(xué)解題能力.

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合思想；高考；數(shù)學(xué)解題

中圖分類(lèi)號(hào)：G632?? ??????文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? ??????文章編號(hào)：1008-0333（2023）07-0035-03

1 數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)中學(xué)生必須要掌握的思想方法，它體現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的各個(gè)方面，如集合、不等式、向量、三角函數(shù)、解析幾何、立體幾何等.通過(guò)閱讀大量文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)，許多學(xué)者對(duì)“數(shù)形結(jié)合”都有自己的理解.

徐文龍把“數(shù)”理解為數(shù)學(xué)文字表征，即數(shù)字、數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)定理、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)等，把“形”可以理解為圖形表征，即實(shí)物、圖象、圖表、圖形等.

蔡小雄認(rèn)為“形”因“數(shù)”得到抽象的概括，“數(shù)”因“形”得到直觀的體現(xiàn)，將數(shù)學(xué)語(yǔ)言與圖形語(yǔ)言巧妙結(jié)合，利用圖形的直觀刻畫(huà)和代數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)論證，使數(shù)學(xué)問(wèn)題得以研究和解決.

華羅庚在描述數(shù)形結(jié)合時(shí)說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微.數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬(wàn)事休.”

2 數(shù)形結(jié)合思想在2020-2022年高考全國(guó)理科卷中的應(yīng)用

經(jīng)過(guò)對(duì)近幾年高考試題的研究，在解決一些復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，可以小費(fèi)力獲得大收獲，特別是在求解選擇題、填空題中更能表現(xiàn)出它的優(yōu)越性.在這里主要以“函數(shù)”“立體幾何”這兩類(lèi)較難的問(wèn)題進(jìn)行探索.

2.1 在函數(shù)問(wèn)題上的應(yīng)用

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)與難點(diǎn)，是高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的四條主線(xiàn)之一，在高中數(shù)學(xué)中占據(jù)非常重要的地位.在解決函數(shù)問(wèn)題時(shí)，可以應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，將題目中的問(wèn)題與圖形有效結(jié)合起來(lái)，通過(guò)圖形將題目中的問(wèn)題具體化，抓住題目中的解題要點(diǎn).

例1?? （2022年全國(guó)乙卷）已知x=x1和x=x2分別是函數(shù)fx=2ax-ex2a>0且a≠1的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn).若x1

解析?? 由題意，得f ′x=2axlna-2ex（a>0且a≠1），因?yàn)閤=x1和x=x2分別是函數(shù)fx的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，即f ′x=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x1，x2，且x1

當(dāng)f ′x=0時(shí)，ax=elnax，令gx=ax，hx=elnax，則gx與hx的函數(shù)圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

當(dāng)0

即x0lna=1，即x0=1lna=logae.

所以切線(xiàn)斜率k=ax0lna=alogaelna=elna，要使gx與hx的函數(shù)圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則elna

又0

當(dāng)a>1時(shí)，若函數(shù)gx與hx的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則函數(shù)圖象如圖2所示，則當(dāng)x∈0，x1時(shí)，f ′x>0，可得函數(shù)fx是單調(diào)遞增的；當(dāng)x∈x1，x2時(shí)，f ′x<0，可知函數(shù)fx是單調(diào)遞減的；當(dāng)x∈x2，+∞時(shí)，f ′x>0，fx單調(diào)遞增.則x1為極大值點(diǎn)，x2為極小值點(diǎn)，與題意不符.

綜上所述，a可取的范圍是1e，1.

通過(guò)這兩個(gè)例題，可以發(fā)現(xiàn)：在近幾年的高考題中，對(duì)于立體幾何大題的考查主要集中在證明線(xiàn)線(xiàn)的關(guān)系及求線(xiàn)面所成角上.考查了學(xué)生的空間想象能力、運(yùn)算求解能力，體現(xiàn)了直觀想象的核心素養(yǎng).

通過(guò)對(duì)2020-2022年高考全國(guó)理科卷中個(gè)別題目的詳細(xì)解答可以發(fā)現(xiàn)：現(xiàn)在的高考數(shù)學(xué)不僅僅是對(duì)知識(shí)點(diǎn)的考查，考查更多的是學(xué)生的邏輯推理、直觀想象等能力.所以，在教學(xué)過(guò)程中，首先增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，其次在進(jìn)行思想方法滲透時(shí)要有支撐， 最終提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法解決問(wèn)題的能力.

參考文獻(xiàn)：

［1］蔡小雄.更高更妙的高中數(shù)學(xué)思想與方法［M］.杭州：浙江大學(xué)出版社，2012.

［2］ 陶政國(guó).論數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的優(yōu)勢(shì)與應(yīng)用［J］.數(shù)理化解題研究，2022（16）：78-80.

［責(zé)任編輯：李?? 璟］

收稿日期：2022-12-05

作者簡(jiǎn)介：周春梅，女，寧夏固原人，碩士，副教授，從事復(fù)分析及其在力學(xué)中的應(yīng)用研究；

王若璇（1998.8-），女，山西省臨汾人，碩士，從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

基金項(xiàng)目：2020寧夏高等學(xué)校科學(xué)研究項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：NGY2020079）；寧夏自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：2022AAC03332）；寧夏卓越教師發(fā)展研究人才小高地項(xiàng)目經(jīng)費(fèi)資助.