唐康， 劉建軍

西南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 重慶 400715

本文僅研究有限群， 涉及的群論術(shù)語(yǔ)和符號(hào)都是標(biāo)準(zhǔn)的.

近年來(lái)， 利用某些特殊子群的性質(zhì)來(lái)刻畫有限群的結(jié)構(gòu)是眾多學(xué)者研究的重要課題之一． 文獻(xiàn)[1]通過(guò)研究群G的非冪零自中心化子群的TI-性及其次正規(guī)性， 給出了G的所有非冪零子群皆次正規(guī)于G的判別準(zhǔn)則． 文獻(xiàn)[2]通過(guò)研究群G的完全Hall-σ集中子群及其極大子群的σ半次正規(guī)性， 給出了G是σ可解群和超可解群的若干新的判別準(zhǔn)則． 文獻(xiàn)[3]對(duì)恰好具有2個(gè)非交換真子群的有限群結(jié)構(gòu)進(jìn)行了刻畫． 文獻(xiàn)[4]研究了四極大子群都弱s2-置換的偶數(shù)階有限群的結(jié)構(gòu).

本文研究了有限群的兩類覆蓋避免子群， 得到了群G的p-超可解和p-冪零性質(zhì)的一些結(jié)果． 設(shè)H為G的子群， 如果對(duì)任意的x∈G有x∈〈H，Hx〉， 則稱H為G的反正規(guī)子群． 反正規(guī)子群作為正規(guī)子群的一個(gè)對(duì)偶的概念， 在研究子群的嵌入性質(zhì)對(duì)有限群結(jié)構(gòu)的影響方面起到重要作用． 文獻(xiàn)[5]刻畫了每個(gè)子群正規(guī)或反正規(guī)的群． 文獻(xiàn)[6]分類了滿足正規(guī)或反正規(guī)的CLT-群． 文獻(xiàn)[7]引入了介于正規(guī)和反正規(guī)之間的子群： BNA-子群.

定義1[7]設(shè)H為G的子群， 如果對(duì)任意的x∈G， 有Hx=H或者x∈〈H，Hx〉， 則稱H為G的BNA-子群， 此時(shí)H也稱作在群G中BNA-正規(guī).

文獻(xiàn)[7]證明了： 如果群G的極小子群和4階循環(huán)子群均為BNA-子群， 則G超可解， 并對(duì)滿足所有素?cái)?shù)冪階循環(huán)子群均為BNA-子群的群進(jìn)行了刻畫.

最近， 文獻(xiàn)[8]定義了CBNA-群.

定義2[8]設(shè)G為有限群， 如果G的所有極小子群和4階循環(huán)子群均為G的BNA-子群， 則稱群G為CBNA-群.

文獻(xiàn)[8]給出了極小非CBNA-群的完全分類． 本文將沿著上述方向繼續(xù)研究BNA-子群對(duì)群結(jié)構(gòu)的影響． 為方便敘述， 我們引入以下概念：

定義3設(shè)G為有限群， 如果G為偶階非CBNA-群， 且G的所有偶數(shù)階極大子群均為CBNA-群， 則稱群G為EBNA-群.

本文將給出EBNA-群的結(jié)構(gòu)刻畫． 我們證明了如下定理：

定理1設(shè)群G為EBNA-群． 則G可解， |π(G)|≤3， 且G滿足下列條件之一：

(i)G為極小非2-冪零群；

(ii)G為2-冪零的極小非CBNA-群；

(iii)G=P×N， |P|=2，N為G的2′-Hall-子群． 當(dāng)|π(G)|=2時(shí)，N為極小非CBNA-群； 當(dāng)|π(G)|=3時(shí)，N為CBNA-群.

引理1[7]設(shè)G是一個(gè)群，H≤K≤G且N?_G． 若H是G的BNA-子群， 則：

(i)H是K的BNA-子群；

(ii)HN是G的BNA-子群；

(iii)HN/N是G/N的BNA-子群；

(iv)G的每個(gè)極大子群都是G的BNA-子群.

引理2[7]設(shè)H是群G的BNA-子群， 則：

(i)H的正規(guī)閉包HG要么是H， 要么是G；

(ii) 若H次正規(guī)于G， 則H正規(guī)于G.

設(shè)H是群G的子群． 如果對(duì)任意的x∈G， 有H與Hx在〈H，Hx〉中共軛， 則稱H為G的類正規(guī)子群． 顯然， 正規(guī)子群和反正規(guī)子群都是類正規(guī)子群． 而我們可以得到類正規(guī)子群和BNA-子群的如下關(guān)系：

引理3設(shè)H是群G的子群． 則下列命題等價(jià)：

(i)H為G的BNA-子群；

(ii)H為G的類正規(guī)子群， 且對(duì)G的任意滿足H≤K≤G的子群K， 有K≤NG(H)， 或者NG(H)≤K.

證先證(i)為(ii)的充分條件． 顯然H為G的類正規(guī)子群． 假設(shè)存在x∈NG(H)K且y∈KNG(H)， 則xy?K且H≠Hxy． 而〈H，Hxy〉≤K， 這與H為G的BNA-子群矛盾.

再證(ii)為(i)的充分條件． 假定存在x∈G滿足x?〈H，Hx〉． 則由H為G的類正規(guī)子群知Hx=Hy， 這里y∈〈H，Hx〉， 即xy-1∈NG(H)〈H，Hx〉． 由已知條件可得

〈H，Hx〉≤NG(H)

故y∈NG(H)， 這意味著H=Hx． 所以H為G的BNA-子群.

引理4[9]設(shè)群G是一個(gè)CBNA-群． 則G超可解.

引理5[10]設(shè)p′-群H作用在p-群G上，

若H平凡作用在Ω(G)上， 則H平凡作用在G上.

引理6[11]設(shè)群G的所有p階子群均為G的正規(guī)子群， 其中p為一個(gè)固定素?cái)?shù)． 若|Z(G)|p≠1， 則G的所有p階元均屬于Z(G).

引理7[12]設(shè)群G存在2階無(wú)不動(dòng)點(diǎn)自同構(gòu)， 則G為交換群.

我們將通過(guò)完成以下幾個(gè)定理的證明來(lái)證明定理1：

定理2設(shè)群G為EBNA-群， 則下列命題之一成立：

(i)G為極小非2-冪零群；

(ii)G為2-冪零的極小非CBNA-群， 且|G|2>2；

(iii)G為2-冪零的EBNA-群， 且滿足|G|2=2和|π(G)|≤3.

證令M為G的任意極大子群． 若M為奇數(shù)階， 則顯然M為2-冪零的； 若M為偶數(shù)階， 則由已知可得M為EBNA-群． 根據(jù)引理4，M為超可解群， 故M為2-冪零群． 因此，G的任意極大子群均為2-冪零群， 即G為2-冪零群或極小非2-冪零群． 接下來(lái)我們只需考慮G為2-冪零群時(shí)的情形.

情形1 |G|2>2.

由于G的2′-Hall子群的子群不可能為G的極大子群， 故G的極大子群必為偶數(shù)階． 因此，G為極小非CBNA-群.

情形2 |G|2=2.

設(shè)

π(G)={p1， …，pr} 2=p1<…

由于G可解， 所以G存在Sylow系， 我們記之為{P1， …，Pr}， 這里Pi∈Sylpi(G)． 假設(shè)r≥4． 令

其中i=2，…，r． 由已知條件和引理1，P1為每個(gè)Gi的BNA-子群.

我們斷言NGi(P1)=P1，Gi． 令

K=Giπ(K)={q1， …，qr-1}

其中

2=p1=q1<…

則K有Sylow系{P1=Q1， …，Qr-1}， 這里Qi∈Sylqi(K)． 令

其中s=2，…，r-1． 由引理3， 我們有NK(P1)≤Ks或Ks≤NK(P1)． 若對(duì)于任意的s都有NK(P1)≤Ks， 則有NK(P1)=P1． 如果存在某個(gè)t， 有Kt≤NK(P1)， 則引理3再次說(shuō)明

Kl≤NK(P1)l∈{2， …，r-1}{t}

因此

NK(P1)≥KtKl=K

這就說(shuō)明了NK(P1)=P1，K， 斷言成立.

如果NGi(P1)=Gi， 則由引理3必有P1?_G； 如果NGi(P1)=P1， 則必有NG(P1)=P1． 令A(yù)為G中的奇數(shù)階極小子群． 由引理2及G為2-冪零群， 可知A?_G． 不論哪種情況， 我們都可以說(shuō)明G是CBNA-群， 這是一個(gè)矛盾.

極小非2-冪零群與極小非CBNA-群的結(jié)構(gòu)分別由文獻(xiàn)[13]與文獻(xiàn)[8]給出． 當(dāng)π(G)={2，q}， 我們可得以下結(jié)論：

定理3設(shè)群G=PQ為EBNA-群， 其中P為G的2階子群，Q為G的Sylowq-子群． 則下列命題之一成立：

(i)G=〈a，b，c|a2=bq=cq=1，ba=b-1，ca=cb=c〉；

(ii)G=P×Q且Q為極小非CBNA-群.

證首先證明群G為超可解的． 當(dāng)G冪零時(shí)， 顯然(ii)成立． 不妨設(shè)G非冪零． 令K/L為G的主因子且滿足K≤Q． 則K/L為初等交換q-群． 由文獻(xiàn)[13]得

Q=F(G)≤CG(K/L)

故G在K/L上誘導(dǎo)的自同構(gòu)群的階為2． 再由文獻(xiàn)[14]的引理1.3，K/L為q階循環(huán)群． 顯然，P作用在Q上， 也作用在Q/Φ(Q)上． 由完全可約定理得

Q/Φ(Q)=V1/Φ(Q)×V2/Φ(Q)×…×Vd/Φ(Q)

其中Vi/Φ(Q)為Q/Φ(Q)的q階P-不變子群，i=1，2，…，d． 令

則Qi為Q的P-不變的極大子群． 由假設(shè)及引理2，PQi為CBNA-群， 且Qi的任意q階子群均為PQi的正規(guī)子群． 接下來(lái)我們分兩種情形來(lái)討論：

情形1 存在k使得CQk(P)≠1.

令x為CQk(P)中的任意q階元， 則x∈Z(PQk)． 由引理6，Qk的所有q階元均屬于Z(PQk)． 由于Qk為P-不變q-群， 且應(yīng)用引理5， 我們可以得到PQk=P×Qk． 因此

[P，Qj∩Qk]=1 [P，Φ(Q)]=1j≠k

假設(shè)|Q/Φ(Q)|>q2或Φ(Q)≠1． 再由引理6， 得到[P，Q]=1， 所以G冪零， 這與我們的假設(shè)矛盾． 因此Q為q2階初等交換群． 易驗(yàn)證G滿足(i).

情形2 對(duì)任意k都有CQk(P)=1， 但CQ(P)≠1.

由CQ(P)∩Qi=1知|CQ(P)|=q． 令V=CQ(P)Φ(Q)． 則V為Q的P-不變真子群， 從而PV為CBNA-群． 假設(shè)Φ(Q)≠1， 則由引理6， 我們得到[P，Q]=1， 從而G冪零， 矛盾． 因此Φ(Q)=1． 重新取V1≤CQ(P)， 與情形1類似， 易證G滿足(i).

最后我們假設(shè)π(G)={2，r，q}， 得到如下結(jié)論：

定理4設(shè)群G=PM為EBNA-群， 且M=RQ， 其中|P|=2，R和Q分別為G的Sylowr-子群和Sylowq-子群． 則下列命題之一成立：

(i)G為極小非CBNA-群；

(ii)G=P×M且M為極小非CBNA-群.

證由于P為G的2階Sylow子群， 故G為2-冪零群， 即G存在正規(guī)2-補(bǔ)群M． 由G可解知G存在Sylow系{P，R，Q}． 當(dāng)CM(P)=1時(shí)，P為M的一個(gè)2階無(wú)不動(dòng)點(diǎn)自同構(gòu)． 由引理7，M交換， 故M為CBNA-群， 從而G滿足(i)． 下面假定CM(P)≠1.

由于PR為CBNA-群， 所以R的任意r階子群均為PR的BNA-子群． 由引理2，R的任意r階子群均在PR中正規(guī)． 若r||CM(P)|， 由引理6，R的所有r階元均屬于Z(PR)． 再根據(jù)引理5， 我們可以得到PR=P×R， 從而CR(P)=R． 同理， 若q||CM(P)|， 則PQ=P×Q． 故有rq||CM(P)|， 即G=P×M． 因此PH為CBNA-群， 其中H為M的任意真子群． 因此M為極小非CBNA-群， 故G滿足(ii).

不失一般性， 不妨設(shè)

CR(P)=RCQ(P)=1

則

NG(P)=CG(P)=PR

因|P|=2， 由Frattini論斷知

G=NG(P)PG=PRPG

故Q≤PG． 又由

PG=〈Pg：g∈G〉=〈Px：x∈Q〉≤PQ

可得PG=PQ． 由引理2，P?_PQ， 故CQ(P)=Q， 矛盾.