史厚勇

【摘 要】數(shù)學是思維的體操，發(fā)展學生的數(shù)學思維是數(shù)學教學的重中之重。在教學中，教師要聚焦學生的問題解決過程，引領(lǐng)學生的思維由表及里、由點成體、由淺入深、由窄到寬、由單到合，促進學生思維的進階、發(fā)展。

【關(guān)鍵詞】問題解決；數(shù)學思維；思維進階

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出，數(shù)學在形成人的理性思維、科學精神和促進個人智力發(fā)展中發(fā)揮著不可替代的作用［1］1，為人們提供了一種理解和解釋現(xiàn)實世界的思考方式［1］6。這種思考方式是指學生的數(shù)學眼光與數(shù)學學科相結(jié)合的“獨特”思考角度，即學生以個性化的眼光，經(jīng)歷數(shù)學化思維的審視過程，認識、理解和表達現(xiàn)實世界。因此，在數(shù)學教學中，教師要聚焦學生思維，促使學生將“隱性”的數(shù)學思維進行多元化的表達，從而實現(xiàn)思維的“可視化”，促進學生數(shù)學思維的發(fā)展，助力學生數(shù)學思維的進階、深化。筆者嘗試聚焦學生的問題解決和數(shù)學學習過程，對學生的思維進階進行了一些思考和探索。

一、關(guān)注過程，引思維由表及里

學生的數(shù)學學習本質(zhì)是思維不斷地自我構(gòu)建和自我完善的過程。學生對數(shù)學知識的理解、數(shù)學知識的掌握以及數(shù)學問題的解決都體現(xiàn)在自身的思維之中，隱藏于自身的思維深處，很難“外化”于“可見”層面。同時，教師評價學生對知識的理解程度往往以結(jié)果來衡量，評價顯得片面，可能會掩蓋某些存在的誤區(qū)。筆者認為，評價學生對知識的理解程度，要根植于學生的思維過程，將學生隱藏的思維“外顯”，由表及里，層層推進，這樣才能真正地引導學生追溯知識的本質(zhì)，使學生學會“數(shù)學的思維”。

例如，蘇教版數(shù)學五年級上冊“小數(shù)乘法和除法”中有一道練習題：“每套衣服用布2.2米，30米布可以做多少套這樣的衣服？”教材的編寫意圖很明確，即通過除法豎式運算，引導學生發(fā)現(xiàn)此題用“四舍五入”法取近似值不符合生活實際，從而突出以生活實際為依據(jù)取商的近似值的合理性。學生在解答時，呈現(xiàn)了如圖1所示的解法。

從學生解答的結(jié)論來看，學生已經(jīng)達成教材的編寫意圖，但仔細觀察學生的解答過程，我們可以發(fā)現(xiàn)學生思維的不足。解法1中，學生將商的小數(shù)部分“0.6363…”錯誤地理解為剩余布的米數(shù)；解法2中，學生將余數(shù)“14”錯誤地理解為“剩余14米布”。如果只看結(jié)論，不關(guān)注過程，教師很難看出學生思維的不足。為了幫助學生真正進行數(shù)學理解，筆者對題目做了一些改進。題目改為：“每套衣服用布2.2米，30米布可以做多少套這樣的衣服？小華的解答如圖2所示，你能讀懂嗎？”

從改進的題目看，豎式過程與學生的思維過程相同，關(guān)鍵是引導學生對豎式運算過程的實際意義進行理解。即從小數(shù)2.2（除數(shù)）“擴大”成整數(shù)22開始，厘清30÷2.2與300÷22的轉(zhuǎn)化過程，將“30里面有幾個2.2”的除法意義遷移至“300里面有幾個22”。在此基礎(chǔ)上，學生發(fā)現(xiàn)余數(shù)“14”是經(jīng)過放大10倍后的數(shù)值，它實際表示“14分米”，也就是13套衣服做好后，還剩下14分米（1.4米）布，不足以再做一套衣服。在豎式繼續(xù)除下去的過程中，需要在“14”后面添“0”繼續(xù)除，“14”轉(zhuǎn)化成“140”，其實際表示“140厘米”。學生通過對解題過程的解讀、理解，不僅獲得結(jié)論，而且把握了知識的本質(zhì)，思維由淺層向深層發(fā)展。

二、前后串聯(lián)，引思維由點成體

美國教育家杜威認為，一次完整的思維包含著兩種運動，即既包含歸納——從一些既定的局部性和凌亂的資訊，聯(lián)想到綜合的（或包含的）整體情況，又包含演繹——從一個整體（一定的內(nèi)涵、外延的意義，一種看法）回過來思索那些具體的事實，使它們互相連接，而且與留心聯(lián)想到的事實相連接。其思維的過程就是在觀察到的事實和推想之間來回運動，在運動中，讓一些原本不相聯(lián)結(jié)的細節(jié)相互聯(lián)系，最終構(gòu)成了一次完整的體驗。［2］筆者認為，學生思維的成功與否，在于把思維過程中的每一個點、每一條線、每一個面串聯(lián)起來，即在于點動成線、線動成面、面動成體的歸納構(gòu)建。學生只有將所獲得的知識點連成線、形成面、構(gòu)成體，這樣的思維才是深刻的，才具有生長的可能。例如，在蘇教版數(shù)學五年級上冊“多邊形的面積”中，教材有如下練習題。

練習 圖3中正方形的周長是20厘米，平行四邊形的面積是多少平方厘米？

學生通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，正方形和平行四邊形等底等高，因此正方形的面積與平行四邊形的面積相等，據(jù)此求出平行四邊形的面積。此題的解答可謂“水到渠成”，但如果只局限于問題解決，顯然還不夠。此題的本質(zhì)是圖形間的“等積變形”，教師要有意識地通過圖形間的關(guān)聯(lián)，將“等積變形”的核心在平面圖形中延伸，從而幫助學生建立起平面圖形的整體結(jié)構(gòu)意識，發(fā)展學生的空間思維。

為此，筆者設(shè)計了如下題目，將“等積變形”進一步發(fā)散、拓展，引發(fā)學生的發(fā)散性思維。

題1 圖4中哪幾對三角形的面積相等（兩條虛線互相平行）？你還能畫出和△ABC面積相等的三角形嗎？

題2 圖5中哪幾個梯形的面積相等？為什么？

題3 我們曾經(jīng)用下面的方法解決了求三角形面積的問題（如圖6）。有了這樣的經(jīng)驗，你能求出圖7中幾何體的體積嗎？把你的想法畫出草圖并列式計算（單位：厘米，π取3.14）。

教師通過多種題型的設(shè)計，從基礎(chǔ)的“點”走向脈絡(luò)的“線”，形成立體的“面”，層層推進，不斷豐富“等積變形”的表象，提升學生思維的廣度和思考的深度，使學生思維的立體感更強。

三、動態(tài)發(fā)展，引思維由淺入深

動態(tài)思維是一種運動的、調(diào)整性的、不斷優(yōu)化的思維活動。它要求思維根據(jù)不斷變化的環(huán)境和條件來改變自己的思維程序和思維方向，對事物進行調(diào)整、控制，以達到優(yōu)化的思維目標。［3］學生的學習過程實質(zhì)是經(jīng)驗再改造的過程。在數(shù)學教學活動中，教師要引導學生通過觀察、操作、類比、分析、歸納等數(shù)學學習過程，從動態(tài)發(fā)展的角度去思考、體會，實現(xiàn)知識的應用和認知的延伸，從而培養(yǎng)動態(tài)思維。

例如，對于平面圖形的面積推導，蘇教版數(shù)學教材的整體思路是將陌生的圖形轉(zhuǎn)化成學生熟悉的圖形，然后推導出新圖形的面積公式（如圖8）。

這種思路明確且自然，但教材只是提供一種思路，圖形面積推導的路徑并非僅此一種，教師如果僅用固化的方式進行課堂教學，那么學生的思維必然有所限制。其實，對于圓的面積公式的推導，教師還可以借助運動的變化來引導學生，即將一個圓看作是由無數(shù)條曲線組成（如圖9）。由圖9可知，最外面的曲線就是圓的周長2 r，最短的曲線是圓心，將圓沿半徑剪開，以圓的半徑為高，得到一個三角形。則三角形的高就是圓的半徑，三角形的面積與圓的面積相等，從而推導出圓的面積公式。

另外，梯形、長方形、正方形、三角形、平行四邊形等圖形的面積公式可以實現(xiàn)通用。如將梯形的上底延長，可以轉(zhuǎn)化成平行四邊形、長方形；將梯形的上底縮短為一個點，可以轉(zhuǎn)化為三角形（如圖10）。這種具有聯(lián)系的、運動的學習活動，讓學生用動態(tài)的思維進行思考，使學生思維得到更深刻的鍛煉。

四、開放追問，引思維由窄到寬

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出，要發(fā)展質(zhì)疑問難的批判性思維，形成實事求是的科學態(tài)度，初步養(yǎng)成講道理、有條理的思維品質(zhì)，逐步形成理性精神［1］6。學生發(fā)展批判性思維并非無意識地批判，而是在教師引導從思維深處聯(lián)想、融會貫通后，對情境中的數(shù)學信息進行充分的觀察、提取、加工和概括，再結(jié)合個人的知識經(jīng)驗，提出質(zhì)疑和問題。在教學過程中，教師要有意識地引導學生質(zhì)疑問難。在學生提問時，教師要不呵斥、不打斷、不敷衍［4］，這樣才能看到學生思維的深處，提升學生思維的寬度。例如，在容積的學習中，學生曾遇到如下練習題。

練習 如圖11，用一張長40厘米、寬20厘米的長方形鐵皮，在四個角剪去四個邊長為5厘米的正方形之后，做成一個無蓋長方體容器（焊接處和鐵皮厚度不計）。這個容器的容積是多少立方厘米？

學生通過觀察發(fā)現(xiàn)，在長方形鐵皮的四個角各剪去一個邊長為5厘米的正方形，所做成的長方體容器的長是原來長方形的長減去2個5厘米，長方體的寬是原來長方形的寬減去2個5厘米，長方體容器的深度便是所剪的正方形的邊長，無蓋長方體容器的容積也就迎刃而解。學生對此題的解答，關(guān)鍵在于能夠?qū)⒊ニ膫€角剩下的圖形（如圖12）轉(zhuǎn)化成長方體的展開圖，然后再還原成長方體容器。這個過程中，學生需要具備一定的空間觀念，有一定的難度，但這種難度尚處于淺層次。學生只要理解去除四個角，就能解決問題。

教師可以引導學生再繼續(xù)觀察，并提出設(shè)想：從長方形鐵皮中剪下的四個角，如果還用在這個長方形鐵皮中，是不是可以增加這個無蓋長方體容器的容積？如果可以，那么這個無蓋長方體容器又該如何剪拼？由于長方形鐵皮沒有任何損耗，所做的長方體容器的容積肯定會變大，學生猜想正確。但如何驗證成為學生問題解決的難點，是學生思維最大的障礙，也是學生思維的生長點。此時需要教師進行適當引導，幫助學生完成這種“生長”，使學生從“混沌”思維中突破，變得“清明”。

師：我們從四個角剪下相同的正方形，目的是使剩下的圖形可以折成一個無蓋長方體容器。如果只剪一個、兩個或三個相同的正方形，再進行重新組合，能不能拼成長方體？請同學們試一試。

師：如果我們把長方形鐵皮分成兩部分，一部分做無蓋長方體容器的底面，另一部分做無蓋長方體容器的四個面，又需要怎樣操作？

在教師的引導下，學生不斷地猜想、嘗試，形成兩種剪拼方式：（1）從長方形鐵皮中只剪下兩個角，然后焊接到另一面，做成一個新的無蓋長方體容器（如圖13）；（2）將長方形鐵皮平均分成兩部分，一部分做無蓋長方體容器的底面，另一部分再平均分成四份，做無蓋長方體容器的四個面（如圖14）。

學生通過充分的剪拼活動，形成新的思考方式，其思維進一步拓寬，由窄變寬，思維在“再創(chuàng)造”中，走向深入，走向深刻。

五、學科拓展，引思維由單到合

學科拓展是一種關(guān)注整體和整合的教育理念。學生生活的世界是一個系統(tǒng)、有機的整體，所面臨的生活實際問題是綜合性的。如果單純從數(shù)學學科角度解決實際問題，其效果具有一定的局限性。因此需要多種知識協(xié)同合作解決，用跨學科、整體化的思想推進學科課程，形成學科內(nèi)容的綜合化、協(xié)同化，幫助學生建立不同學科知識之間的聯(lián)系，實現(xiàn)知識與生活的整合，使學生能以數(shù)學的眼光觀察、思考、表達世界，形成數(shù)學的理性思維。

需要注意的是，學科整合拓展不是一味地做“加法”，也不是一味地做“減法”，而是基于共同的需求，在目標一致的基礎(chǔ)上進行整合，將數(shù)學知識的“點”與其他學科的“點”進行融合，形成具有挑戰(zhàn)性的作業(yè)。例如，組織學生進行數(shù)學手抄報的設(shè)計創(chuàng)作便是數(shù)學學科拓展的典例之一。在整理和復習平面圖形知識時，有學生將小學階段所學的平面圖形進行圖形展示，然后將各個圖形的要點內(nèi)嵌于圖形之中，做到圖形與知識間的對等關(guān)聯(lián)，最終以圖文并茂的手抄報形式呈現(xiàn)，將平面圖形的知識要點表現(xiàn)得淋漓盡致。也有學生從平面圖形的面積推導入手，以思維導圖形式設(shè)計手抄報。學生在分析各個平面圖形面積的推導過程后，發(fā)現(xiàn)各個平面圖形的推導過程均以轉(zhuǎn)化作為推導的內(nèi)在思想，于是通過轉(zhuǎn)化這一思維點關(guān)聯(lián)各個圖形的面積推導過程，關(guān)聯(lián)面積公式，關(guān)聯(lián)面積計算等，以思維前行的方式將知識點進行整合，將隱性的思維點、抽象的知識點和顯性的圖形點進行完美融合。數(shù)學思維從單一的問題解決走向綜合應用，這樣的思維更具有理性的質(zhì)感。

總而言之，思維雖然隱匿于學生頭腦之中，其發(fā)展提升更是不可摸、不可感，但只要我們抓住學生思維的“弦”，從多層次、多點面、多視角、多關(guān)聯(lián)、多學科去審視、去表達、去整合，就能將學生思維“可視化”，實現(xiàn)學生數(shù)學思維的進階與發(fā)展。

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］杜威.我們?nèi)绾嗡季S［M］.伍中友，譯.北京：新華出版社，2010.

［3］姚鳳云，朱光.創(chuàng)造學與創(chuàng)新管理［M］.北京：清華大學出版社，2015.

［4］邢瑾.基于“精彩觀念的誕生”問學課堂的建構(gòu)［J］.中小學課堂教學研究，2021（5）：39-40，53.

（責任編輯：羅小熒）