摘 要 學科教學知識（PCK）體現(xiàn)了教師的專業(yè)獨特性，是衡量教師專業(yè)水平的重要標志。作為數(shù)學經(jīng)典習題以及訓練方式往往承載著豐富的信息，折射出教師的教學觀念、教學理解、教學策略以及教學藝術(shù)等視角，是構(gòu)成教師學科教學知識重要且特別的部分。而對數(shù)學經(jīng)典習題的解讀與借鑒，也是教學實踐與研究的一項重要內(nèi)容。基于PCK視角探討小學數(shù)學教學中幾道經(jīng)典習題所蘊含的教學法價值，可以豐富教師的學科教學知識，提升小學數(shù)學教學特別是數(shù)學訓練的針對性和有效性。

關(guān)? 鍵? 詞 小學數(shù)學 經(jīng)典習題 教學價值 學科教學知識（PCK）

引用格式 李繼軍.PCK視角下幾道小學數(shù)學經(jīng)典習題教學價值的探討[J].教學與管理，2023（08）：36-40.

數(shù)學習題是組織數(shù)學學習訓練的主要載體，也是教材中最有利于展現(xiàn)學生才能和創(chuàng)新能力的、最具活力的成分。長期以來，廣大數(shù)學教師在用好教材配套例題、習題的同時，創(chuàng)造性地改編或設(shè)計了許多數(shù)學題，有些習題如同文化和藝術(shù)領(lǐng)域?qū)?yōu)秀作品的評價一樣堪稱經(jīng)典之作。這些經(jīng)典習題以及具體的訓練方式往往承載著豐富的信息，折射出教師的教學觀念、教學理解、教學策略以及教學藝術(shù)等諸多視角，成為教師知識結(jié)構(gòu)中獨特且重要的組成部分。這種帶有濃厚情境性、實踐性，并指向解決學科具體問題、特定內(nèi)容的教學經(jīng)驗與方法，按照有關(guān)教師知識的理論，可歸入美國學者舒爾曼提出的“學科教學知識”（pedagogical content knowledge，簡稱PCK）的范疇。所謂PCK，是指教師將自己所掌握的學科知識轉(zhuǎn)化成學生易于理解的形式，它具體表現(xiàn)為教師知道使用怎樣的演示、舉例、類比等來呈現(xiàn)學科內(nèi)容，知道學生的理解難點[1]。學科教學知識體現(xiàn)了教師的專業(yè)獨特性，是衡量教師專業(yè)水平的重要標志。而對經(jīng)典習題的解讀與借鑒，也是教學實踐與研究的一項重要內(nèi)容。下面以幾道小學數(shù)學經(jīng)典習題為例[2]，基于PCK視角探討它們的教學法價值，以豐富教師的學科教學知識，提升小學數(shù)學教學特別是數(shù)學訓練的針對性和有效性。

一、變式性訓練，促進對數(shù)學概念的深刻理解

習題1：如圖1所示：甲、乙兩人分別按規(guī)定路線從A點出發(fā)回到A點，那么誰走得路程多？正確的選項是（? ? ? ? ? ）。

①甲走的路程多；

②乙走的路程多；

③兩人走的路程一樣多；

④無法比較。

本習題作為“周長初步認識”鞏固應(yīng)用階段的變式訓練題，旨在考察學生對“周長”概念的理解與把握。周長的認識屬于概念學習，小學教材一般將周長定義為“封閉圖形一周的長度”。理解周長概念需從兩個要點入手：一是封閉圖形的一周，二是長度。周長的本質(zhì)是長度，是相同單位長度的累加，度量結(jié)果可以用一個數(shù)來表達。隨著對周長概念的本質(zhì)理解，從定性描述到定量刻畫已成為當前周長概念教學的目標定位和行為追求。對于一個封閉的平面圖形而言，它具有一維的“邊線”和二維的“面”，區(qū)域是通過封閉圖形來反映的，也就是說用一維的邊“圍”出了二維的面。教學實踐表明，在較復(fù)雜情境中，它們之間往往會相互干擾，容易混淆，難以區(qū)分“邊線”和“面”，無法達成對周長和面積概念的準確理解和掌握。上海版數(shù)學教材在“圖形與幾何”領(lǐng)域的編寫上作了新的嘗試，吸收了皮亞杰關(guān)于兒童幾何認知發(fā)展的有關(guān)觀點，即兒童對圖形的認識與幾何學的建立、發(fā)展順序相反[3]，教材按照“體—面—線”的線索安排圖形的認識，不同于國內(nèi)其他版本，該教材在編排上先認識面積（三年級上），再認識周長（三年級下）。但教材順序的改變?nèi)匀粵]有取得預(yù)期的教學效果。有研究指出，兒童在認識周長和面積上所遭遇的認知困惑和障礙，在一定程度上具有歷史相似性[4]。數(shù)學史還表明，在古代一段時期內(nèi)甚至有關(guān)數(shù)學家對周長與面積之間的關(guān)系都存在誤解，即認為周長長短和面積大小之間具有同向變化關(guān)聯(lián)[5]。

認知心理研究指出，在概念學習過程中存在“編碼效應(yīng)”，即情境將影響學生的信息加工過程。為了克服記憶編碼中對特定情境的依賴性，避免將無關(guān)特征當成概念的本質(zhì)特征，教師應(yīng)當使用適當?shù)淖兪角榫砙6]。本習題作為小學數(shù)學的一道傳統(tǒng)經(jīng)典習題，一直以來為學科教師所傳承和借鑒。這一習題兼有過程性變式和概念性變式的雙重功能：一是通過創(chuàng)設(shè)實際生活情境，將周長概念蘊含于實際問題之中，要解決“誰走得路程多？”需要轉(zhuǎn)化和抽象為 “一周的長度即周長”這一概念來解答；二是要理解各自周長，需結(jié)合長方形的特征且不為“面的大小”這一天然背景所干擾，通過理解和把握周長概念的兩個要點，達到對概念對象的“守恒”，從而實現(xiàn)對周長的實質(zhì)性理解。實踐表明，變式教學是促進學生數(shù)學理解和能力形成的重要方法與手段。本題作為變式性習題，對促進學生理解周長實質(zhì)具有良好教學法價值。一方面，由于“面”和“線”共存于一個圖形之中，加上對圖形背景“面”的“夸張”處理，即用曲線分成兩個大小懸殊的面，從而干擾學生對周長概念的清晰認識，也就是對各自區(qū)域邊線的正確把握。通過本題的數(shù)學訓練，借助現(xiàn)代媒體技術(shù)演示有關(guān)“面”和“邊線”（即“一周”）的圖形要素，以觀察、對比、分離、比劃的方式引領(lǐng)學生區(qū)分“面”和“邊線”，從而達到對周長概念的真正理解和把握。另一方面，這一習題也是一道在復(fù)雜情境中運用概念命題的變式題，可以看作知識應(yīng)用過程中的問題解決，承擔著數(shù)學學習中發(fā)展學生高認知水平的教學訴求。

經(jīng)過歲月沉淀的經(jīng)典習題往往蘊含著豐富的教學法價值，有教師把它作為“周長的初步認識”新知學習的情境引入題，如有教師這樣改編：甲、乙兩人按如圖的規(guī)定路線從A點出發(fā)回到A點，這樣的比賽公平嗎？這樣的設(shè)計與安排，其價值就在于：教師對教學內(nèi)容進行心理化、問題化的組織，即從小學生普遍具有的“公正判斷”的道德認知出發(fā)設(shè)計問題，旨在通過問題轉(zhuǎn)化和數(shù)學抽象的認識活動，引發(fā)學生的認知沖突和初步思考，了解學生真實的教學起點，繼而揭示課題，引導(dǎo)學生積極主動地投入到新知識、新概念的學習之中。當學生認識周長概念之后，教師在練習環(huán)節(jié)加以呼應(yīng)，把它作為變式題再次引導(dǎo)學生加以思考與討論。這一前后呼應(yīng)的教學處理，既激發(fā)學生的求知欲望和內(nèi)在動機，又通過知識應(yīng)用促進學生對數(shù)學概念的切實理解和把握，體現(xiàn)經(jīng)典習題所承載的豐富的學科育人價值。

二、逆向型思考，感悟數(shù)學抽象的力量和價值

習題2：（分步呈現(xiàn)題目）

第一步（如圖2），出示4本相同的字典，并在下方顯示“4a”。教師提問：“看到 4a，你想到它可能表示什么？”

第二步，媒體隱去4本字典的具體形象，放大4a，教師繼續(xù)提問：“只看 4a，這個含有字母的式子還可以表示什么？”

弗賴登塔爾就數(shù)學學習的實質(zhì)指出：“與其說學習數(shù)學，不如說學習數(shù)學化。”[7]實際上，數(shù)學化包括兩個方面：一是學會用數(shù)學的觀點考察現(xiàn)實，即學會數(shù)學地思考與研究各種現(xiàn)象，形成數(shù)學的概念、運算的法則，構(gòu)成數(shù)學模型[8]；二是運用數(shù)學的方法解決問題，即讓學生將通過抽象化、符號化和形式化所獲得的諸如數(shù)學概念、方法以及模型等成果，應(yīng)用和遷移到具體問題的解決過程中。用字母表示數(shù)量關(guān)系的教學，教材一般借助典型加法模型結(jié)構(gòu)和乘法模型結(jié)構(gòu)的具體情境，引領(lǐng)學生經(jīng)歷從具體到抽象的概括過程，實現(xiàn)數(shù)學知識的理解和建構(gòu)。實踐表明，這種經(jīng)歷抽象化、符號化和形式化的數(shù)學化過程不是一蹴而就的，而是一個逐漸達成的過程。數(shù)學史上從具體到抽象的數(shù)學化過程有時要經(jīng)歷漫長的演變，甚至是充滿矛盾、曲折和反復(fù)的認識過程，相當不易?；谏鲜稣J識，用字母表示數(shù)的新知建構(gòu)以及后續(xù)相關(guān)數(shù)學訓練，通常都是凸顯從具體到抽象的數(shù)學化過程，往往忽視從抽象到具體這一相反的數(shù)學化過程。

本題同樣是一道變式性習題，在教學“用字母表示數(shù)”時，作為練習鞏固階段的訓練題，分兩步進行：第一步旨在圍繞字典素材把含有字母的式子以開放題的形式進行具體意義的回歸訓練，即a可以表示其中一本字典的頁數(shù)、字數(shù)、價錢、重量、厚度等，則4a分別表示4本字典的總頁數(shù)、總字數(shù)、總價錢、總重量、總厚度等。第二步，隱去4本字典的具體形象，只留下代數(shù)式4a，那么這個式子表示的范圍則更廣、具體事例則更多。如有學生回答道：若a表示1袋大米的售價，則4a 表示這樣的4袋大米的售價；若a表示一輛汽車每小時行駛的路程，則4a 表示這輛汽車行駛4小時的路程，若a表示正方形的一條邊長，則4a 表示這個正方形的周長，等等。

可見，本題的數(shù)學訓練價值在于改進了以往數(shù)學教學中同方向、單通道的訓練方式以及目標視角，即以往教師比較重視從具體到抽象的概括過程，而忽視了從抽象到具體的想象、解釋過程。大家知道，用字母表示數(shù)是小學階段正式學習代數(shù)知識的開始，從算術(shù)思維到代數(shù)思維是學生認識上的一次飛躍和重要轉(zhuǎn)折。顯然，這正是本題所展現(xiàn)的學科教學法的價值所在。從數(shù)學思維方式而言，可逆性思維的訓練是發(fā)展學生思維靈活性的重要途徑和手段。從抽象化的對象或結(jié)果，成為含有字母式子的抽象模型，體現(xiàn)了數(shù)學具有高度的抽象性以及應(yīng)用的廣泛性等特點。本習題的分步呈現(xiàn)處理以及不斷挑戰(zhàn)的任務(wù)驅(qū)動，既激發(fā)了學生的探求欲望和學習興趣，又彌補了以往數(shù)學訓練的不足，在重視具體到抽象的過程的基礎(chǔ)上，增加新的教學功能。即引領(lǐng)學生經(jīng)歷從抽象到具體的解釋和想象過程，發(fā)展學生的可逆性思維，以及提升學生的靈活性、創(chuàng)造性思維品質(zhì)；同時，讓學生感悟數(shù)學抽象的力量和魅力，體會代數(shù)思想和結(jié)構(gòu)的優(yōu)越性。的確，本題是一道與具體教學內(nèi)容相配套的創(chuàng)新設(shè)計題，以開放題的形式引領(lǐng)學生多角度地思考與解答，并強調(diào)多解和求異，學生在解答過程中展現(xiàn)了與新知概念認識過程相反的思維過程，豐富了數(shù)學思維訓練的方式。因此，在數(shù)學新課程的推進過程中，這一習題逐漸被教師所認可與推廣。

三、心理化處理，寓規(guī)律掌握于游戲活動之中

習題3：轉(zhuǎn)盤游戲（如圖3）

出示游戲規(guī)則：一位小朋友轉(zhuǎn)動，停止時指針所指的數(shù)，再加上這個數(shù)的本身，和是奇數(shù)，就有獎！和是偶數(shù)，就沒有獎！

（1）當有3-4位學生嘗試后，教師介入并提問：為什么沒人得獎？

（2）如何修改規(guī)則，才有可能獲獎呢？

本題是“奇數(shù)和偶數(shù)”新授課教學中一位教師開發(fā)的一道習題（上教版《數(shù)學》二年級上冊數(shù)學廣場“點圖與數(shù)”）。本節(jié)課的教學主要包括兩項學習內(nèi)容：一是借助點圖初步認識奇數(shù)和偶數(shù)，屬于概念學習；二是探索兩個自然數(shù)之和的規(guī)律性，即奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)、偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)、奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)，屬于規(guī)則學習或規(guī)律性知識的學習。針對規(guī)律性知識的學習，教學中以“觀察猜想—舉例驗證—尋找反例—得出結(jié)論—鞏固應(yīng)用”為推進線索，基于學生的認知水平和思維特點借助不完全歸納，引領(lǐng)學生開展知識“再發(fā)現(xiàn)”的過程，體現(xiàn)數(shù)學課程目標對規(guī)律性知識學習的內(nèi)在訴求。在鞏固應(yīng)用階段，教師精心設(shè)計本題作為考察學生是否真正達到對有關(guān)規(guī)律的理解和掌握。從教學效果來看，由于把教學內(nèi)容和學生的游戲活動有機結(jié)合起來，學生的參與熱情較高。當三位同學參與轉(zhuǎn)盤游戲后，都沒有得獎。這時，教師及時介入并提問：“為什么都沒有得獎？”引導(dǎo)學生把對游戲本身的關(guān)注轉(zhuǎn)移到相關(guān)數(shù)學思考上，即引導(dǎo)學生用數(shù)學的眼光觀察游戲活動，用數(shù)學的思維思考游戲活動，用數(shù)學的語言表達與分析游戲活動。當學生用“偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)”“奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)”的規(guī)律性知識，表達和分析出“這樣永遠不會得獎”時，教師及時介入：“如何修改規(guī)則，才有可能獲獎呢？”課堂暫時恢復(fù)了平靜，學生經(jīng)過沉思后，又爭先恐后地提出修改建議，引發(fā)熱烈討論：①“可以這樣規(guī)定：和是奇數(shù)，沒有獎！和是偶數(shù)，可以獲獎！”“我認為不好，這樣人人都會獲獎！”②“每人轉(zhuǎn)動兩次，把兩次所指到的數(shù)相加，就有可能得獎！”③“每人轉(zhuǎn)動一次所指到的數(shù)和對面的數(shù)相加，可能得獎！”“不對，一定不會得獎！”“為什么？”“轉(zhuǎn)盤上相對應(yīng)的兩數(shù)恰好同為奇數(shù)，或同為偶數(shù)”。規(guī)則修改的互動環(huán)節(jié)，再次圍繞著兩數(shù)之和的規(guī)律性知識引發(fā)學生開展積極思考和討論，在師生對話和生生對話中不時閃現(xiàn)出分析、評價和創(chuàng)造等高階認知思維的火花。

數(shù)學教學游戲作為學科教學獨特的教學方式和訓練方式，一直得到學科教師尤其是低年級教師的重視。正如維果茨基指出的：“游戲創(chuàng)造了兒童的最近發(fā)展區(qū)”，這一最近發(fā)展區(qū)意味著兒童在力所能及的范圍內(nèi)，在已有知識經(jīng)驗的基礎(chǔ)上進行探索和思考。本題的關(guān)鍵是游戲活動的創(chuàng)設(shè)應(yīng)與學生對知識的理解與掌握相關(guān)聯(lián)，為考察學生對規(guī)律性知識的理解與掌握程度，教師采用兒童最感興趣的游戲形式加以呈現(xiàn)與表達，把數(shù)學問題置于游戲情境之中。游戲活動是兒童最喜歡的教學形式，對教學內(nèi)容進行心理化與問題化組織，體現(xiàn)了數(shù)學教與學的心理規(guī)律。借助游戲活動，按照學生最感興趣或最樂于參與的方式表達出來，使得數(shù)學學習活動特別是數(shù)學訓練活動，做到既具“意義”又有“意思”，既獲得認知發(fā)展又經(jīng)歷情感體驗。在數(shù)學訓練過程中，凸顯從程式化訓練到游戲運用的轉(zhuǎn)變，可以體現(xiàn)優(yōu)秀教師所具有的教學創(chuàng)新意識以及習題開發(fā)能力。

四、賦能型增值，變封閉習題為策略性開放題

習題4：有一板雞蛋，每個雞蛋的質(zhì)量如下：

56g，55g，54g，58g，55g，53g，54g。

這板雞蛋平均一個有多重？同一批次的100個雞蛋大約有多重？

本題是一位教師基于教材配套習題的改編題，原題只有第一問。大多數(shù)教師認為，這是一道常規(guī)的習題，其安排目的無非是鞏固平均數(shù)的一般計算方法，即方法1：（56+55+54+58+55+53+54）÷7=385÷5=55（g）。但在課堂實踐與交流活動中，這位教師通過對平均數(shù)統(tǒng)計意義的教學法處理以及習題功能的挖掘與開發(fā)，使之由常規(guī)的封閉性習題變成一道策略性開放習題，其所蘊藏的豐富的教學法價值被其他教師所理解和接受，逐漸成為平均數(shù)統(tǒng)計意義教學中的一道經(jīng)典習題。學生的解題策略與方法還有：

方法2：（如圖4）即通過“移多補少”的操作方法獲得答案55g；

方法3：50+（6+5+4+8+5+3+4）÷7=50+35÷7=55（g）；

方法4：（如圖5）

由于解題策略的開放性，在反饋評講的師生互動交流中，充分展示了“一個生動活潑的、主動的和富有個性的”學習過程[9]。為何一道普通習題在課堂上會展現(xiàn)出豐富的教學內(nèi)涵和目標訴求，變得如此富有教學活力呢？

首先，是教師對平均數(shù)統(tǒng)計意義的過程性教學。平均數(shù)作為反映一組數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計量，在小學課堂一般是如何演繹的呢？據(jù)課堂觀察，隨著新課程的不斷推進以及課堂教學交流活動的不斷深入，學科教師大多能從實際問題情境出發(fā)，結(jié)合學生的操作活動，引領(lǐng)學生理解平均數(shù)的統(tǒng)計意義。即在總數(shù)量不變的前提下，通過“移多補少”的方法，得到平均數(shù)，并把學生的操作活動借助“條形統(tǒng)計圖”的方式給予展示，繼而感悟并初步理解平均數(shù)的意義。在此基礎(chǔ)上得出平均數(shù)計算的基本數(shù)量關(guān)系與一般方法：平均數(shù)=總數(shù)量÷總份數(shù)。這種基于學生認知水平和思維特點的教學法處理，彰顯了有經(jīng)驗教師豐富的學科教學知識，使得數(shù)學課堂充滿教學活力。

其次，是教師對習題所蘊含的學科育人價值的深入挖掘。方法2在學生的解題過程中是否被允許？涉及到我們數(shù)學教師的教學理念問題，隨著對“問題解決”教學的深入探討，這樣的解題形式也逐漸被教師認可與接受。實際上，方法2的解答中，體現(xiàn)了重視過程教學所給予的積極回報：一是學生感悟與理解了平均數(shù)的統(tǒng)計意義，特別是在遇到一組很有特點的數(shù)據(jù)時，借助“移多補少”的方法加以解決，并留下了思維過程可視化的痕跡。當然，其數(shù)學的原理或?qū)嵸|(zhì)在于“離差的代數(shù)和為零”。二是采用這種方法的學生，不是沒有掌握求平均數(shù)的一般方法，而恰恰是認知水平高、且對平均數(shù)有深刻理解的那部分學生的個性化解答與表達，體現(xiàn)了數(shù)學思維的“減縮”[10]。因而作為學科教師應(yīng)該給予充分理解與肯定。方法3和方法4，解題思路相同，即根據(jù)數(shù)據(jù)特點，分別以50和55為標準，把平均數(shù)的計算與學過的靈活運算結(jié)合起來，同樣說明學生對平均數(shù)概念的深刻理解并展現(xiàn)出相關(guān)的數(shù)學思維品質(zhì)，體現(xiàn)數(shù)學教學促進學生思維發(fā)展的核心目標和學科內(nèi)在訴求。當然，方法4只是個別學生的解答方法，涉及正負數(shù)知識，但值得稱道的是學生基于經(jīng)驗用抵消思想給予順利解決。可見，學生數(shù)學思維品質(zhì)的發(fā)展以及創(chuàng)新能力與創(chuàng)新意識的培養(yǎng)，所涉及的并非僅僅是題型的改變，更重要的是教學思想的轉(zhuǎn)變。一個問題能否成為開放性問題，不僅取決于問題本身的特征以及學習者現(xiàn)有的知識準備，更重要的是教師對所教知識的本質(zhì)理解、寬容態(tài)度以及站位視角。

再次，是教師對平均數(shù)意義教學的認識高度以及相應(yīng)教學行為的表現(xiàn)。平均數(shù)從典型應(yīng)用題教學到作為統(tǒng)計知識的教學，經(jīng)歷了從理念到行為的變化過程。教師為平均數(shù)賦予統(tǒng)計意義的教學站位，體現(xiàn)了教師前后兼顧的教學理念以及教學行為，滲透平均數(shù)的重要用途之一——用樣本平均數(shù)估計、推斷總體平均數(shù)，初步體會平均數(shù)的統(tǒng)計推斷作用，發(fā)展學生利用統(tǒng)計知識解決問題的能力與意識。

由于教師充分挖掘習題潛在的教學與訓練功能，讓一道普通習題成為“平均數(shù)”統(tǒng)計意義教學的多維度檢測題，即借助本題訓練，從不同視角體現(xiàn)過程性教學的目標訴求，實現(xiàn)對通則通法的理解與掌握，順應(yīng)靈活解決問題的個性化需求。一道教材配套的普通習題，經(jīng)過教師的內(nèi)涵挖掘以及改進設(shè)計，從訓練功能上增厚學科育人價值，成就課堂教學的精彩，逐漸成為區(qū)域教師心目中的經(jīng)典數(shù)學訓練題。

以上基于PCK視角就幾道小學數(shù)學經(jīng)典習題的教學法價值進行了具體探討與分析，其主要目的在于幫助教師更新教育教學理念，改進課堂教學行為，豐富教師的學科教學知識，從而提升教師的學科專業(yè)能力?？梢?，小學數(shù)學經(jīng)典習題承載著知識、教育、發(fā)展以及評價等諸多功能，蘊含著豐富的學科育人價值。數(shù)學習題是數(shù)學知識的載體，選用、改編和創(chuàng)編數(shù)學習題既是一門科學，也是一門藝術(shù)，特別是數(shù)學習題的創(chuàng)新設(shè)計更需要教師的專業(yè)知識和實踐智慧。讓經(jīng)典習題的研究與應(yīng)用成為豐富教師學科教學知識，激發(fā)課堂教學活力，促進教師專業(yè)發(fā)展的有效策略與途徑。

參考文獻

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［責任編輯：陳國慶］