潘龍生 (江蘇省鹽城市第一中學(xué) 224005)

1 背景與問題

2021屆高三江蘇省鹽城市第三次模擬考試考查了下面這個(gè)問題：

這道題對(duì)于教師來講不是難題，筆者與同事交流發(fā)現(xiàn)，教師普遍能想到兩種主要方法：一是取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式再證明；二是用數(shù)學(xué)歸納法證明，既可以用數(shù)學(xué)歸納法直接證明結(jié)論，也可以借助數(shù)學(xué)歸納法得出通項(xiàng)公式后再證明結(jié)論.當(dāng)然，還有很多教師想到其他方法.

對(duì)一道常規(guī)的高中數(shù)學(xué)題，為什么學(xué)生與教師的解題水平反差如此之大？值得思考.

2 分析與對(duì)策

現(xiàn)在想來，這道題對(duì)學(xué)生來講，也確實(shí)不易!新課標(biāo)對(duì)數(shù)學(xué)歸納法不作要求，教師也基本沒講(筆者也是)，學(xué)生當(dāng)然不能運(yùn)用這種方法；對(duì)數(shù)運(yùn)算的基本公式，學(xué)生雖然熟悉，但取對(duì)數(shù)這種方法平時(shí)運(yùn)用較少，加之學(xué)生對(duì)“對(duì)數(shù)”的認(rèn)知不足，以致特定情況下想不到取對(duì)數(shù).

至此，也就不難理解“學(xué)生與教師為什么有如此之大的反差”了.教師是按照“課標(biāo)、高考”的要求教“課本”，并沒有教出教師自身的“思想”.對(duì)數(shù)運(yùn)算教學(xué)，也就是分析得出基本公式，然后運(yùn)算訓(xùn)練，沒有讓學(xué)生明白學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)的意義，也沒有讓學(xué)生理解對(duì)數(shù)有簡(jiǎn)化運(yùn)算(降次)的作用；數(shù)學(xué)歸納法不作要求，也就不講，把精力都放在重點(diǎn)內(nèi)容的講解上.

本文研究的這道考題，其超低正確率的原因可能是之前沒有教出教師的“思想”.就筆者而言，要反思今后的教學(xué)，要結(jié)合教材、課標(biāo)、高考向?qū)W生充分展示自己的“思想”.如此反思，筆者就這道考題的教學(xué)提出自己的教學(xué)思想.

2.1 教理解

問題1同學(xué)們，本次?？嫉臄?shù)列解答題正確率很低，其重要原因是沒有想到“取對(duì)數(shù)”這一方法.想不到“取對(duì)數(shù)”，說明大家對(duì)“對(duì)數(shù)”的認(rèn)識(shí)還不夠深刻.因此，先請(qǐng)同學(xué)們思考：學(xué)習(xí)“對(duì)數(shù)”的意義是什么？

告訴學(xué)生“取對(duì)數(shù)”，他們當(dāng)然能順利完成這道數(shù)列題，但下次再碰到類似的問題，他們還能想到“取對(duì)數(shù)”嗎？這就難說了.倘若能讓學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)“對(duì)數(shù)”、理解“取對(duì)數(shù)”的內(nèi)涵，下次再遇到類似的問題時(shí)想到“取對(duì)數(shù)”的人數(shù)肯定能多出不少！

學(xué)生都知道，學(xué)習(xí)了“對(duì)數(shù)”之后可以將指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式.那就要讓學(xué)生思考：為什么要將指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式？?jī)H僅告知學(xué)生“對(duì)數(shù)能夠簡(jiǎn)化運(yùn)算”肯定不行，他們將信將疑，印象不會(huì)深刻，必須要讓他們體驗(yàn)感悟.比如，“同學(xué)們都知道250比較大，那它到底有多大？是多少位數(shù)的整數(shù)呢？”令t=250，取對(duì)數(shù)lgt=50lg 2，指數(shù)運(yùn)算就轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，只要知道lg 2≈0.301 0，便得lgt≈15.05，即t≈1015.05=100.05×1015，顯然1<100.05<10，所以250肯定是一個(gè)16位數(shù).這個(gè)實(shí)例說明，對(duì)數(shù)能夠估算較大的指數(shù)值，取對(duì)數(shù)能夠降次，能夠極大地簡(jiǎn)化指數(shù)運(yùn)算.如果是新授課，還要給學(xué)生介紹對(duì)數(shù)產(chǎn)生的背景，必須要讓學(xué)生明白學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)的意義.

2.2 教方法

數(shù)學(xué)歸納法等經(jīng)典數(shù)學(xué)方法，已從必修數(shù)學(xué)教材中刪除，若教師不補(bǔ)充，學(xué)生將來在大學(xué)階段又不學(xué)，是不是有點(diǎn)遺憾？教師已具備的思想方法，考慮學(xué)生的接受能力，有選擇地傳授給學(xué)生，有何不可？

問題2數(shù)列問題是一類正整數(shù)問題，其證明題有時(shí)能運(yùn)用一種重要的方法——“數(shù)學(xué)歸納法”證明.什么是“數(shù)學(xué)歸納法”呢？小時(shí)候，你們都數(shù)過正整數(shù)吧？后來，你們說：“我已經(jīng)會(huì)數(shù)數(shù)了.”請(qǐng)同學(xué)們思考：你怎么確定你已經(jīng)會(huì)數(shù)數(shù)的呢？

學(xué)生不難說出認(rèn)為自己會(huì)數(shù)數(shù)的原因：雖然數(shù)不完，但總能順次數(shù)下去.教師追問：怎么理解“能順次數(shù)下去”？不難得出，當(dāng)數(shù)出某個(gè)數(shù)時(shí)，一定能數(shù)出下一個(gè)數(shù).最后師生總結(jié)出會(huì)數(shù)數(shù)的原理：首先能數(shù)第一個(gè)數(shù)，其次由前一個(gè)數(shù)總能數(shù)出下一個(gè)數(shù).

由此，教師提出：能不能借用此思路證明“正整數(shù)命題M(n)成立”呢？學(xué)生能輕松說出第一步先證n=1時(shí)成立，需與學(xué)生說明，有些命題成立的初始值不一定是n=1，要根據(jù)實(shí)際情況完成第一步；對(duì)于第二步，要讓學(xué)生反復(fù)想數(shù)數(shù)的核心原理“由前一個(gè)數(shù)總能數(shù)出下一個(gè)數(shù)”，即由n=k總能推出n=k+1，也即假設(shè)n=k時(shí)命題成立，并由此推理出n=k+1時(shí)命題也成立，從而得到正整數(shù)命題M(n)成立.這就是數(shù)學(xué)歸納法，也稱第一數(shù)學(xué)歸納法.對(duì)于第二數(shù)學(xué)歸納法，可講可不講，若講，則要等學(xué)生對(duì)第一數(shù)學(xué)歸納法較熟練的情況下再介紹.

由于學(xué)生初次接觸數(shù)學(xué)歸納法，教師需要給學(xué)生示范證明.同時(shí)教師巡視指導(dǎo)，并選一些完美(或有一點(diǎn)瑕疵)的證明過程，通過投影展示點(diǎn)評(píng).此后，再多用數(shù)學(xué)歸納法，學(xué)生定能接受！不一定非要讓學(xué)生找出舊課本，給他們補(bǔ)充這一數(shù)學(xué)知識(shí)，教師根據(jù)自己的思想，合理設(shè)計(jì)教法，就可教給學(xué)生！

2.3 教變通

問題3說明，高中數(shù)學(xué)還要重視運(yùn)算教學(xué).要重視運(yùn)算公式的推導(dǎo)教學(xué)、要重視算理分析教學(xué)、要重視運(yùn)算演練.除此之外，還要重視運(yùn)算“變通”教學(xué).有些運(yùn)算問題，學(xué)生死算得到答案，但耗費(fèi)時(shí)間較長(zhǎng)，就需要教師“變通”教學(xué)，要指引學(xué)生分析代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征、要指引學(xué)生尋求合理的運(yùn)算公式、要示范合理省時(shí)的“變通”運(yùn)算.

3 反思與提升

教師教學(xué)，不能僅僅是翻譯課本知識(shí)，更要教出教師自己的“思想”.只有貫穿思想方法，揭示本質(zhì)的教學(xué)，才是有價(jià)值、高效的教學(xué)[1].要教出教材知識(shí)的理解，要通過教師合理的理解解讀，讓學(xué)生更容易接受新知識(shí)；要教出教材例題方法的合理性，不能生硬評(píng)講教材上的方法，應(yīng)該要通過教師自己的合理引導(dǎo)得出方法；要教出教材知識(shí)的寬度和深度，要能拓寬知識(shí)面，揭示其文化背景等，要能將知識(shí)引向深入，揭示其深刻的本質(zhì).如此等等，才能體現(xiàn)教師教的作用，學(xué)生接受的不僅僅是課本知識(shí)，更有教師的“思想”，這能體現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)提出的培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的要求，也能提高學(xué)生應(yīng)對(duì)高考的能力.