何麗華 (江蘇省常州市金壇段玉裁初級中學(xué) 213200)

1 基本情況

1.1 授課對象

學(xué)生來自筆者的“子弟兵”，對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情較高、思維活躍，且已掌握了線段的相關(guān)知識，但學(xué)生缺乏“有條理地梳理知識”和“主動地遷移知識”的能力.

1.2 教材分析

“角”是蘇科版七上第6章第2節(jié)內(nèi)容，和線段的學(xué)習(xí)一樣，角的學(xué)習(xí)研究蘊(yùn)含著兩個路徑——幾何概念的抽象路徑(實物和模型→圖形語言→文字語言→符號表示)和圖形的研究路徑(概念→表示→大小→性質(zhì)→應(yīng)用)，兩者之間的整體一致，可以讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)露出脊梁，變得精干[1]，感受數(shù)學(xué)知識的整體統(tǒng)一.

教學(xué)目標(biāo) (1)借助觀察、操作、思考、歸納等活動過程，進(jìn)一步理解角的概念；(2)經(jīng)歷線段與角的類比學(xué)習(xí)過程，自主整體建構(gòu)“角的知識結(jié)構(gòu)”，感受幾何圖形學(xué)習(xí)的基本套路，積累學(xué)習(xí)幾何圖形的基本經(jīng)驗.

教學(xué)重點(diǎn) 運(yùn)用類比方法研究角，形成對角的整體認(rèn)識.

教學(xué)難點(diǎn) 用多種表征(圖形、文字、符號等)描述角的概念、角的大小、角的和與差.

2 教學(xué)過程

2.1 學(xué)前先思，結(jié)構(gòu)整理

問題1前面我們一起研究了什么內(nèi)容？

生1：直線、射線、線段.

師：我們研究的重點(diǎn)內(nèi)容是什么？

生2：線段.

師(追問)：有關(guān)線段你知道哪些知識？(在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，板書圖5中的I部分)

設(shè)計意圖引領(lǐng)學(xué)生“有條理地梳理知識”，幫助學(xué)生尋找新知的“固著點(diǎn)”和“生長點(diǎn)”，也為“主動地遷移知識”作好鋪墊.

2.2 觀察思考，歸納定義

(1)靜態(tài)定義

過渡：我們在研究線段、射線、直線的基礎(chǔ)上來學(xué)習(xí)角的相關(guān)知識.

問題2①觀察：觀察兩塊三角板，請找出其中的角.(生略)

②操作：請同學(xué)們畫出一個角.(生略)

③思考：請對“角”下一個定義.

④分析：請找出定義中關(guān)鍵的字詞.(生略)

⑤舉例：請舉出生活中一些“角”的實例.

生3：兩條線交叉組成的圖形叫作角.

生4：應(yīng)該是兩條射線組成的圖形叫作角.

生5：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫作角.

生6：鐘的兩根針形成角……

設(shè)計意圖“觀察—操作—思考”調(diào)動學(xué)生多種感官，抽象出本質(zhì)屬性，逐步提煉出角的概念內(nèi)涵；“分析”過程明了概念的嚴(yán)謹(jǐn)性；“舉例”過程感受角概念的豐富外延.

(2)動態(tài)定義

問題3“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”，剛才有同學(xué)提出鐘的兩根針形成角，這次請同學(xué)們觀察針的運(yùn)動，類比聯(lián)想一下，從“動態(tài)”的角度，對角下一個動態(tài)定義.

生7：角也可以看作一條射線繞著它的端點(diǎn)從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形.

師生順勢探究始邊、終邊、角的內(nèi)部、角的外部、平角、周角等概念.

設(shè)計意圖(1)“動態(tài)定義”培養(yǎng)學(xué)生用不同視角認(rèn)識同一事物的能力和意識，也能適切地理解相關(guān)概念——角的內(nèi)部、外部、平角、周角等；(2)“類比聯(lián)想”拉近了生活和數(shù)學(xué)距離，讓學(xué)生易于理解，開拓學(xué)生思維，感受數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系.

2.3 大膽猜想，類比探究

過渡：從線段的知識結(jié)構(gòu)來看，接下來我們應(yīng)該研究角的什么內(nèi)容呢？

生：角的表示方法.

·類比學(xué)習(xí)1——表示方法

問題4請大家利用表示線段的經(jīng)驗表示一個角.

先獨(dú)立思考，再交流討論(圖1)，形成類比學(xué)習(xí)的兩種認(rèn)識：(1)類比——相同之處：研究角的表示方法之前，我們應(yīng)該把角的關(guān)鍵元素表示出來，公共端點(diǎn)即頂點(diǎn)為點(diǎn)O，兩條射線分別記為射線OA,OB，這樣很顯然，可以用三個大寫字母把角表示出來，注意用三個字母表示角時，表示頂點(diǎn)的字母必須寫在另兩個字母的中間，如∠AOB；在不引起混淆的情況下，頂點(diǎn)處只有一個角時，角還可以用它的頂點(diǎn)字母來表示，如∠A.(2)類比——不同之處：還可以怎樣表示呢？用小寫字母表示，為了便于區(qū)分線段表示方法，角可以用希臘字母來表示，一般地，用希臘字母表示一個角時，需在角內(nèi)靠近頂點(diǎn)處畫上弧線.如∠α；角可以用一個數(shù)字來表示，用數(shù)字表示一個角時，需在角內(nèi)靠近頂點(diǎn)處畫上弧線，如∠1.

圖1

圖形變式：將圖2中的角用不同的方法表示出來.

圖2

(生略)

設(shè)計意圖(1)采用“對比”形式，感受類比學(xué)習(xí)的關(guān)鍵——數(shù)學(xué)知識之間的區(qū)別和聯(lián)系，即線段和角表示方法的相同點(diǎn)——都可以用大寫字母表示，不同點(diǎn)——分別用小寫字母、希臘字母和數(shù)字表示；(2)“圖形變式”及時改變圖形，培養(yǎng)從復(fù)雜圖形抽離簡單圖形的能力，并鞏固所學(xué)知識.

·類比學(xué)習(xí)2——比較大小

過渡：類比線段的研究思路，我們接下來應(yīng)該研究什么？

問題5如圖3，怎樣比較兩個角的大??？

圖3

小組活動要求：(1)獨(dú)立思考、操作完成；(2)交流討論，共享智慧；(3)選一名代表進(jìn)行大班發(fā)言.

學(xué)生代表1：可以先用量角器測量這兩個角，然后再比較角的大小.

師：這組同學(xué)比較大小的思路有點(diǎn)像比較線段大小中的什么方法？

生(眾)：度量法.

師(追問)：用量角器測量角的步驟是什么？

生8：一對中，二合線，三讀數(shù).

師：線段測量的單位為cm,dm,m，那么刻畫角的單位有哪些呢？

生9：度.

師：角的度量單位除了小學(xué)學(xué)過的度，還有分、秒，它們之間的換算類似時間單位之間的換算.還有其他方法嗎？

學(xué)生代表2：可以將∠AOB平移至∠EDF處，使得邊OB和邊DF重合，若邊OA在∠EDF的內(nèi)部，則∠AOB<∠EDF；若邊OA在∠EDF的外部，則∠AOB>∠EDF；若邊OA和邊DE重合，則兩角相等.

師：這組同學(xué)比較大小的思路有點(diǎn)像比較線段大小中的什么方法？

生10：疊合法.

生11：疊合法的操作思路與量角器測量角的思路相同.

設(shè)計意圖(1)繼續(xù)采用“對比”形式，在類比學(xué)習(xí)中深化了研究，有序地建構(gòu)了角的知識結(jié)構(gòu)，再一次感受了類比學(xué)習(xí)方法，積累了經(jīng)驗；(2)從定性描述角的大小到定量刻畫角的大小、再到角的換算，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

·類比學(xué)習(xí)3——角的和差

問題6我們反思一下，在學(xué)習(xí)線段疊合時，若存在線段不相等，我們發(fā)現(xiàn)了線段可以是某些和差的形式，如AB=AC+BC，AC=AB-BC.類似地，請寫出圖4中有關(guān)角的和與差的關(guān)系式.(過程略，在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上完善 圖5中的II部分)

圖4

圖5

師：在剛才三個類比學(xué)習(xí)過程中，我們應(yīng)該關(guān)注什么？還有什么疑問或問題？(過程略)

2.4 變式練習(xí)，及時鞏固(略)

2.5 課堂小結(jié)，反思提升(略)

3 回顧與反思

3.1 教學(xué)立意

“類比視域下的整體教學(xué)”著力用高觀點(diǎn)考量數(shù)學(xué)教學(xué)中的各個要素，對相關(guān)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行統(tǒng)籌重組和優(yōu)化，以學(xué)生思維發(fā)展為目標(biāo)，用類比學(xué)習(xí)的方式學(xué)習(xí)新知，突顯數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)性、邏輯性、整體性，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成[2].主要體現(xiàn)在：

(1)“教”的整體性

教程著眼于“引”，盡力激發(fā)學(xué)生的求知欲望，引導(dǎo)學(xué)生在整體上把握本節(jié)課的大致內(nèi)容和學(xué)習(xí)方法.

(2)“學(xué)”的層次性

學(xué)程著眼于“探”，倡導(dǎo)類比學(xué)習(xí)方式，學(xué)程設(shè)計從“扶”(類比活動1)到“半扶半放”(類比活 動2)，再到“完全放開”(類比活動3)，讓學(xué)生拾階而上，步步為營，逐步引領(lǐng)學(xué)生“感受—理解—簡單運(yùn)用”類比學(xué)習(xí)方法.層次分明的類比探究歷程讓學(xué)生思維的發(fā)展更清晰、更全面、更深刻、更嚴(yán)謹(jǐn).

3.2 教學(xué)反思

為了落實“類比視域下的整體教學(xué)”，本節(jié)課主要從三個方面精心展開：

(1)問題——激其思

杜威說，如果我們知道問題是什么、困難在哪里，那么有效的思維便比較容易進(jìn)行了.發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，創(chuàng)設(shè)高質(zhì)量的問題情境，讓學(xué)生有話可說、有話要說，是至關(guān)重要的第一步.本節(jié)課一開始，問題1引領(lǐng)學(xué)生回顧線段的相關(guān)內(nèi)容，喚醒了已有的知識和經(jīng)驗，有序梳理知識，形成框架，減少認(rèn)知負(fù)荷，幫助學(xué)生建立了新知的“固著點(diǎn)”和“生長點(diǎn)”，也為有序地進(jìn)行類比探究學(xué)習(xí)作好鋪墊.問題2和問題3用問題串的形式激發(fā)學(xué)生深入思考，讓學(xué)生完整地獲得了研究對象，而接下來的三個類比探究問題成功地展現(xiàn)了學(xué)習(xí)的曲折、思維的障礙、理解的誤區(qū)……也讓學(xué)生理解了類比學(xué)習(xí)的關(guān)鍵——找不同點(diǎn)和相同點(diǎn)，積累了數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗.

(2)探究——明其跡

探究，必須要讓學(xué)生經(jīng)歷知識的產(chǎn)生、發(fā)生和發(fā)展過程.本節(jié)課主要經(jīng)歷兩個探究路徑：

1)幾何概念的抽象路徑.即“實物和模型→圖形語言→文字語言→符號表示”的抽象過程.具體過程為從學(xué)生身邊的學(xué)具入手，“觀察—操作—思考”調(diào)動學(xué)生多種感官，逐步除去非本質(zhì)屬性，抽象出角的本質(zhì)屬性，豐富概念學(xué)習(xí)過程，拉長知識的發(fā)生發(fā)展過程，完善了“角”概念的內(nèi)涵；在此基礎(chǔ)上教師繼續(xù)引發(fā)學(xué)生思考：觀察鐘面針的運(yùn)動并進(jìn)行類比聯(lián)想，從“動態(tài)”的角度對角下定義.從感性認(rèn)識生活中的角到理性認(rèn)識數(shù)學(xué)上的角，從靜態(tài)和動態(tài)兩個角度明確了學(xué)習(xí)對象，讓學(xué)生在具體情境中展開認(rèn)識活動，使學(xué)生經(jīng)歷完整的抽象過程，獲得學(xué)習(xí)對象，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

2)圖形的研究路徑.即按照“概念→表示→大小→性質(zhì)→應(yīng)用”的路徑展開，這也是學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的基本過程.以上兩個一致性的學(xué)習(xí)過程，如武術(shù)的套路一樣，從簡單到復(fù)雜，從感性到理性，前后一致，邏輯連貫，既反映了數(shù)學(xué)知識的邏輯結(jié)構(gòu)，也符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，更為以后探究其他幾何圖形做好了“宏觀鋪墊”.

(3)關(guān)聯(lián)——暢其徑

關(guān)聯(lián)是為了找到知識的聯(lián)結(jié)和結(jié)構(gòu)，去除遮蔽，關(guān)聯(lián)不是簡單地用一種思維去替換另一種思維，而是讓思維“能夠充分地從一個點(diǎn)到另一點(diǎn)進(jìn)行連續(xù)的活動”(杜威).整個課堂教學(xué)中，為了體現(xiàn)思維的關(guān)聯(lián)，著重考量以下兩個方面：

1)多重聯(lián)系.本節(jié)課中多處體現(xiàn)生活與數(shù)學(xué)的聯(lián)系，也多處體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系(如線段與角之間的聯(lián)系、度量法和疊合法的聯(lián)系等等).

2)結(jié)構(gòu)認(rèn)知.由于本章新知識多且雜、新舊知識聯(lián)系多，故采用“框架式”和“對比式”結(jié)合的板書設(shè)計(圖5).這樣的板書設(shè)計不僅可以使得本節(jié)課的關(guān)鍵性知識一目了然，減輕學(xué)生認(rèn)知負(fù)擔(dān)，利于學(xué)生學(xué)習(xí)、記憶，而且也利于遷移和關(guān)聯(lián)性思考.