張 云 (江蘇省江陰市華士實驗中學 214421)

課堂教學是教學設計的“實戰(zhàn)”，教學設計就是一次教師基于教學內(nèi)容與學生學情的經(jīng)驗性兼創(chuàng)造性“備課”，協(xié)調(diào)好預設與生成的關系，成為了課堂教學的關鍵.然而，當下的數(shù)學課堂教學是在既定的任務背景下開展的，學生的深度學習不夠；問題過于有指向性，主動探究行為不足；問題的解決方法單一，未充分發(fā)揮其價值；學生的創(chuàng)新意識與能力不足；等等.追問是解決這一關系的指示燈與風向標.

追問，特指在開展課堂教學活動的過程中，在學生回答了教師提出的問題的基礎上，教師自身或教師引導其他學生對回答者有針對性地進行“再度提問”，再次激活學生的思維，促使學生進行深入思考與探究的教學策略活動[1].如何在學生學習數(shù)學的知識路徑上進行追問，將問題引出沖突，觸發(fā)思考，是一個亟待解決的問題.

筆者認為，追問，旨在尋路，在探索與辨析中找準思維方向；實在行路，一步一個腳印，形成思維的持續(xù)力；意在鋪路，拓寬并延伸思維，構建知識系統(tǒng).“逢山開路遇水搭橋”，恰當?shù)淖穯柨偪梢宰屨n堂成就一番“風景這邊獨好”的景象.

1 追問應“步步為營”：在新知理解上引發(fā)悟性，生成思維因子

課堂教學中對于新知的學習，總是有一個不斷更新、承前啟后、循序漸進的過程.以學生已有的認知和學習經(jīng)驗為背景，選取適切的情景進行探究活動，在知識的關鍵點、學生新知理解的困頓處實施有效追問，引導學生不斷催生新的理解與悟性，及時捕捉學生的想法與疑惑，就可以實現(xiàn)學生思維因子的萌芽與生長.

案例1二次根式的乘法法則的獲得.

如圖1，矩形ABCD的各頂點都在邊長為1的3×3網(wǎng)格的格點上，則S矩形ABCD=.

圖1 圖2 圖3

師：矩形的面積=長×寬，求出長與寬即可計算面積，如何求出長、寬？

師(追問2)：為什么？可否利用如上的3×3網(wǎng)格進行構造說明？

生4：(思考一會兒)好像不能.

生(眾)：嗯，但是這個內(nèi)容我們還沒有學習，不知該如何得到這一運算法則.

生(眾)：好像不能.

案例1的教學以“聚焦式追問”展開，它是以若干個連續(xù)問題為指引，由外而內(nèi)、由表及里，前者是后者的基石，后者是前者的提升.“聚焦式追問”一步一個腳印，從學生已有的認知水平和知識儲備出發(fā)，步步為營，讓學生主動進行探究活動，有話可說，有據(jù)可查，有路可尋，有悟可感，在把握重點、突破難點、強化核心點中聚焦知識本質(zhì)，在拓寬知識面的同時提升思維能力.

“聚焦式追問”是在課堂教學中師生互動的一種雙邊探究手段.它講究“寬入”：從學生熟悉的知識背景中引出新知，觸發(fā)學生的學習欲，展開學生的思維力.在案例1中，代數(shù)學習以幾何圖形作為情境預設，幾何網(wǎng)格圖的直觀感知、勾股定理的運算、面積公式的合理應用等很好地貼近了學生認知的最近發(fā)展區(qū)，讓學生切實感知二次根式乘法的真實存在性，形成新知的第一感知.它注重“嚴出”：在漸進式的追問中不斷聚焦問題、深化認知、提升能力，促進思維.在案例1中，以類比學習開啟追問，在追問2、追問3處產(chǎn)生“疑難”；以特例運算感受二次根式乘法運算結(jié)果正確的“可能性”，在追問4、追問5處形成“疑問”；回到已有的二次根式的性質(zhì)，在追問6處解答“疑惑”，達成知識的焦點核心.

2 追問當“拾級而上”：在問題探究中形成反思，催化思維序列

數(shù)學課堂教學的過程，就是學生對知識不斷“數(shù)學化”的自然經(jīng)歷，是發(fā)展學生核心素養(yǎng)的重要途徑之一.弗賴登塔爾曾經(jīng)說過：與其說是學習數(shù)學，還不如說是學習“數(shù)學化”[2].不論是幾何教學中性質(zhì)與判定的歸納，還是代數(shù)運算法則的得出，都是“數(shù)學化”的最佳體現(xiàn).對典型問題中條件與結(jié)論的弱化與強化處理，通過不斷追問就可以實現(xiàn)“問題—能力”的雙向轉(zhuǎn)換，所謂“會一類，通一片”就是這個道理.

案例2“等腰三角形的判定”中的例題教學.

如圖4，在△ABC中，AB=AC，兩條角平分線BD,CE相交于點O.請問OB與OC相等嗎？請說明理由.

圖4

在學生思考一段時間后，有些學生舉手了.

生1：由等腰三角性的“等邊對等角”知∠ABC=∠ACB；由BD,CE為角平分線知∠ABD=∠ACE；這樣可證△ABD≌△ACE(ASA)，得AD=AE，從而BE=CD，再證△OBE≌△OCD(AAS)，所以OB=OC.

師(追問1)：還有沒有其他的證明方法？

生2：我跟同學1的方法差不多，先證明△BCD≌△CBE(ASA)，再證△OBE≌△OCD(AAS)，所以OB=OC.

師(追問2)：能否結(jié)合等腰三角形的判定方法來證明？

生3：由等腰三角性的“等邊對等角”知∠ABC=∠ACB；由BD,CE為角平分線知∠DBC=∠ECB，即∠OBC=∠OCB，所以OB=OC.

師(追問3)：觀察圖形，結(jié)合剛才的證明過程，你還能得到哪些結(jié)論？

生4：圖形中的任何一個幾何的邊角元素都可以找到對應的相等元素.

師(追問4)：連結(jié)AO，你們又有什么發(fā)現(xiàn)？

生5：可證△AEO≌△ADO，可得∠EAO=∠DAO，進而AO平分∠BAC.

師(追問5)：AO所在直線與邊BC之間的關系是什么？

生6：因為AB=AC，AO平分∠BAC，由等腰三角形的“三線合一”，所以AO垂直平分BC.

師(追問6)：如圖5，將問題中的“兩條角平分線BD,CE相交于點O”改為“兩條高BD,CE相交于點O”，或者如圖6，將問題中的“兩條角平分線BD,CE相交于點O”改為“兩條中線BD,CE相交于點O”，那么上述得到的結(jié)論是否還成立？

圖5 圖6

學生：經(jīng)過一定時間的自主探究與合作交流，得到了上述結(jié)論仍然成立.

生7：只要有AD=AE，或者類似的一組等量關系，就可得OB=OC，AO所在直線垂直平分BC.

師(追問7)：在△ABC中，AB=AC，點D,E分別在邊AC,AB上，連結(jié)BD,CE，相交于點O，若BD=CE，則OB與OC相等嗎？

生8：我覺得是正確的，因為上述幾個例子都直觀給出了這一結(jié)論.

生9：我覺得不正確.如 圖7，當給定BD，則在AB邊上，存在點E1,E2，顯然在E1處結(jié)論成立，在E2處結(jié)論不成立.綜上所述，結(jié)論不一定成立.

圖7

案例2中的追問是“變式型追問”，是指在教學過程中，以典型問題為鋪墊，對問題的條件或者結(jié)論進行巧妙的弱化或者強化處理，在探究中不斷反思，讓問題由典型成為經(jīng)典，使方法由熟悉化為巧妙，促能力由單薄為厚實，不斷催化學生的思維序列.

“變式型追問”實現(xiàn)了由“大量重復的、單一的題海教學”變?yōu)椤熬珳实湫徒虒W”，實現(xiàn)由“量”向“質(zhì)”的轉(zhuǎn)變，讓問題“不止于此”.它關注解題方法的變式，讓不同層次的學生都有所“真的”學習與收獲.在案例2中，通過追問1、追問2，充分利用學生已掌握的全等三角形的性質(zhì)與判定，實現(xiàn)了幾何等量與圖形全等的轉(zhuǎn)化，達成了問題的解答，也可借等腰三角形的判定方法這一新知，巧妙進行幾何證明，優(yōu)化解題方法.其次，通過對圖形整體的對稱性認知，在結(jié)論上實現(xiàn)突破：以追 問3～5為抓手，將典型問題的圖形關系變得豐富多彩，證明方法精彩紛呈.最后，對問題的條件或結(jié)論進行弱化或者強化處理，在類比遷移中識圖、用圖，形成思維序列：再以追問6、追問7為新的探究陣地，在反思中前行，在典型幾何背景中“穿新衣”，拾級而上，再次溫故、思辨、提煉，使學生體驗學習的新認識與新高度.

3 追問必“曲徑通幽”：在認知矛盾處催生思辨，培育思維能力

宋代理學家朱熹認為：“讀書無疑者，須教有疑，有疑者，卻要無疑，到這里方是長進.”學生學習的進程總不可能是一條直路，更不會一蹴而就，遇到矛盾是一種常態(tài).在認知矛盾處把握時機，恰當?shù)剡M行追問，在探究中改良，在優(yōu)化中進級，不斷培育思維能力.追問一方面可以在表象上找出產(chǎn)生錯誤的因素，在糾錯中激發(fā)學生的求知欲；另一方面也能于內(nèi)在處梳理思路，探尋本質(zhì)，以創(chuàng)造性互動實現(xiàn)學生創(chuàng)新素養(yǎng)的形成.

案例3已知直線y=ax-3x-a是一次函數(shù)，求a的取值范圍.

生1：將解析式變形為y=(a-3)x-a，由一次函數(shù)的定義，可得a≠3.

師：已知直線y=ax-3x-a的圖象過點A(2,-1)，求a的值.

生2：將點A代入，得a=5.

師(追問1)：一次函數(shù)y=ax-3x-a的圖象能否過點B(1,-1)？

生3：當x=1時，y=a-3-a=-3≠-1，所以一次函數(shù)的圖象不可能過點B(1,-1).

師(追問2)：一次函數(shù)y=ax-3x-a隨著a的取值的變化，其圖象有何特征？

學生陷入沉思……

生4：可以嘗試取定幾個a的值，畫出相應直線，去發(fā)現(xiàn)圖象特征.

師：很好，請同學們根據(jù)這位同學的思路，取幾個符合題意的a的值，畫出圖象.

生(眾)：所畫的函數(shù)圖象都經(jīng)過一點，這個點為(1,-3).

生5：一次函數(shù)y=ax-3x-a隨著a的取值的變化，其圖象經(jīng)過定點(1,-3)，相當于這些直線繞著點(1,-3)在旋轉(zhuǎn).

師(追問3)：剛剛大家通過畫圖發(fā)現(xiàn)了這一特征，能否從解析式發(fā)現(xiàn)這個結(jié)論呢？

生6：要得到直線經(jīng)過某一個定點，就是該定點與a的取值無關，在之前的代數(shù)式學習中，有過“合并所含a的項，其系數(shù)應該為0”，由此改寫該函數(shù)關系式y(tǒng)=(x-1)a-3x，當x=1時，該關系式與a的取值無關，此時y=-3，即定點為(1,-3).

師：已知點M(-3,0)，求點M到直線y=ax-3x-a的距離的最大值.

生7：將定點(1,-3)記為點Q，點M到直線y=ax-3x-a的距離≤MQ，當MQ與直線y=ax-3x-a垂直時，點M到直線y=ax-3x-a的距離取得最大值=MQ=5.

案例3中的追問是一種“螺旋式追問”，它遵循學生對事物認知的一般規(guī)律，由簡到難，由粗略到細致，逐級提升思維水平.通過此種追問方式，將問題由單一到綜合，探尋數(shù)學屬性；將知識由弱變強，豐富知識內(nèi)涵.

“螺旋式追問”打通了學生從低階思維向高階思維發(fā)展的路徑通道，對問題的深耕探究，實現(xiàn)了學生“學數(shù)學—會數(shù)學—用數(shù)學”能力的培養(yǎng).案例3中的追問1，讓學生鞏固一次函數(shù)圖象與點坐標之間的關系；繼續(xù)追問2，由“圖象過點A，不過點B”這一矛盾思考“一次函數(shù)圖象隨著a的不確定，其特征是什么”，產(chǎn)生矛盾的過程也是解決矛盾的關鍵，以“特殊與一般、具體與抽象”為思考點，化抽象的a為具體的數(shù)，經(jīng)歷畫圖的數(shù)形轉(zhuǎn)化，直觀感知圖象經(jīng)過定點，同時也應認識到“幾個a的值以及畫圖操作來說明一次函數(shù)圖象經(jīng)過定點的不規(guī)范性”這一新矛盾.在追問3中，實現(xiàn)數(shù)學語言的轉(zhuǎn)化：含參一次函數(shù)圖象經(jīng)過定點→該定點與a的值無關→含a的代數(shù)式的系數(shù)為0，進而解決問題.巧用已有知識儲備與關鍵能力，助推新知的學習；妙搭知識框架與思維體系，實現(xiàn)能力的提升.

4 追問需“豁然開朗”：在解題發(fā)散中發(fā)現(xiàn)價值，提升思維品質(zhì)

隨著教學資源的不斷豐富，大量的新題不斷涌現(xiàn)，師生疲于解題，對題目真實價值的挖掘不夠，思維定式受到影響.我們可用對關鍵題目的追問來消除定勢，開闊思維，啟迪智慧；在綜合探究中發(fā)散與聚攏，使自身有“豁然開朗”之感，領會思維的層級，提升思維的品質(zhì).

案例4幾何綜合探究教學.

如圖8，在正方形ABCD中，AB=4，動點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位的速度，沿線段AB方向勻速運動，到達點B停止.連結(jié)DP交AC于點E，以DP為直徑作⊙O交AC于點F，連結(jié)DF,PF.

圖8

(1)求證：△DPF為等腰直角三角形；

(2)設點P的運動時間為ts，當t為何值時，點E恰好為AC的一個三等分點？

此題為某區(qū)九年級上學期期末考試中的試題，它以正方形為背景，借助動點引入動圓，直觀感知三角形的大小變化，并以正方形與圓的性質(zhì)證明三角形的形狀；在運動過程中選取臨界位置“E為AC的三等分點”來求運動時間t的值.

一方面，教師的解題是崗位基本功；另一方面，教師的研題是職業(yè)追求.追問讓題目有了新的“外衣”，讓“似曾相識”成為“記憶猶新”；追問使教師的業(yè)務能力更具專業(yè)化，教學引領能力不斷增強；追問讓學生實現(xiàn)深度學習，提升思維水準.

追問1 問題條件不變，求證：△ADE∽△PFE.

追問2 問題條件不變，求證：△FPE∽△FAP.

追問3 如圖9，點P是邊長為2的正方形ABCD的邊AB上一動點，連結(jié)DP，交對角線AC于點E，作△ADP的外接圓，交AC于點F，若EF=2AE，則AP的長為( ).

圖9

案例4中的追問是一種“研究性追問”，是指在綜合題探究中對問題進行橫向的并列式追問，使問題的形式多樣化，對問題的分析多視角；或者對問題進行縱向的遞進式追問，對試題進行二 次開發(fā)，在研題中體現(xiàn)問題價值，實現(xiàn)思維的本真.

“研究性追問”關注學生的學習力與能力點，需要學生有較好的思維水準，在學生的深度學習上發(fā)力.在案例4中，追問1鞏固了基本圖形“圓”的圓周角性質(zhì)這一知識點，結(jié)合相似三角形的判定方法進行證明，適切的追問就是解題的第一步，有了這個“一”，方能有后面的“二、三……”；追問2與原題中的第(1)題相當，是一個并列結(jié)論；追問3是研題中的產(chǎn)物，類比于原題中的第(2)題，以課堂追問去研究綜合題中動點引發(fā)的結(jié)合元素的特殊數(shù)量關系或者是數(shù)量關系，是一種能力的突破，也是思維品質(zhì)提升的優(yōu)異表現(xiàn).

在當前的課堂教學中，要善于捕捉那些稍縱即逝的契機，作為優(yōu)化教學行為的生長點，以問題生問題，引發(fā)學生思考，激發(fā)思維增長，形成良好的“激活效應”.追問于新知理解，感悟知識的生成路徑，讓思維因子有“熱度”；追問于問題探究，反思解題方法與變式拓展，讓思維序列有“寬度”；追問于疑惑矛盾，形成思辨行為和深度學習，讓思維能力有“深度”；追問于問題發(fā)散，讓思維品質(zhì)有“厚度”.