陳 振 (江蘇省常州高級中學(xué) 213003)

數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、語言、方法、觀點(diǎn)以及它們的形成和發(fā)展，還包括數(shù)學(xué)在人類生活、科學(xué)技術(shù)、社會發(fā)展中的貢獻(xiàn)和意義，以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動．《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)》[1]指出：數(shù)學(xué)文化應(yīng)融入數(shù)學(xué)教學(xué)活動．教育部考試中心頒布的2017年高考數(shù)學(xué)考試大綱增加了對“數(shù)學(xué)文化”的考查，這使得數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)對我們而言愈加重要．為順應(yīng)時代要求，努力達(dá)成課標(biāo)要求，筆者嘗試進(jìn)行數(shù)學(xué)文化情境試題探究，并據(jù)此開設(shè)了本校的校慶公開課．通過查閱近年來各地高考?？荚嚲?，決定以“空間圖形體積問題”這一微切口展開嘗試，和學(xué)生一起探討、研究數(shù)學(xué)文化情境試題．本課題面向高三一輪復(fù)習(xí)的學(xué)生，學(xué)生已經(jīng)具備完整的高中數(shù)學(xué)知識，且對數(shù)學(xué)文化試題有了一定的了解．下面將結(jié)合本節(jié)課教學(xué)設(shè)計作一些分析與反思．

1 教學(xué)設(shè)計

1.1 基礎(chǔ)鞏固——讀圖

縱觀數(shù)學(xué)的歷史，“形”的意識也許跟人類歷史一樣古老．中國的幾何有著悠久的歷史，據(jù)可靠記載，在中國出土的新石器時代的陶器大多為規(guī)則形狀，陶器上有各種幾何圖案，通常還有三個著地點(diǎn)，這些都是幾何知識的萌芽(圖1)．

圖1

設(shè)計意圖精美圖片展示我國古人的幾何智慧，激發(fā)學(xué)生探索幾何圖形的興趣．

接著，選取其中的一個紫砂壺為情境作為例1．

例1紫砂壺是中國特有的手工制造陶土工藝品，紫砂壺的壺型眾多，經(jīng)典的有西施壺、掇球壺、石瓢壺、潘壺等．圖2給出了一個石瓢壺的相關(guān)數(shù)據(jù)(單位：cm)，則該壺的容量約為( )．

圖2

A.100 cm3B.200 cm3

C.300 cm3D.400 cm3

設(shè)計意圖在呈現(xiàn)問題時，筆者有意將原題中的一關(guān)鍵條件——“壺體近似看成一個圓臺”隱去，而這一條件學(xué)生是可以通過圖形得到的，重點(diǎn)關(guān)注讀圖能力的培養(yǎng)．同時，隱去條件后，本題就是一道有開放性意味的情境問題．學(xué)生可以解讀成圓臺，也可以看成是其他幾何體．

真實(shí)課堂中有學(xué)生將壺體當(dāng)作圓柱，這當(dāng)然是不合理的，引導(dǎo)學(xué)生再讀圖去發(fā)現(xiàn)，壺長和口徑長不同，不符合圓柱的特征．筆者順勢和學(xué)生一起復(fù)習(xí)圓柱、圓錐、圓臺的幾何特征，鞏固立體幾何圖形基本知識．也有學(xué)生將壺體看成是球體的一部分，但在計算容量時學(xué)生自然會發(fā)現(xiàn)，近似看成球體后，由于球體的半徑不明確，體積的求解難以實(shí)現(xiàn)，本道例題還是視作圓臺更合適．筆者也鼓勵學(xué)生在課后查閱資料，進(jìn)一步完善球體計算這一想法，達(dá)成自主探究目標(biāo)．這些都是有意義的課堂生成.通過和學(xué)生一起讀圖分析，向其傳遞一個信息：重視讀圖．通過讀圖，一般可以獲得一些有效信息．同時，讀圖要有問題意識，帶著問題閱讀圖形，將研究圖形本身的特征與關(guān)注題目要解決的問題有機(jī)融合．

補(bǔ)全題目后，引導(dǎo)學(xué)生將相關(guān)數(shù)據(jù)與圖形結(jié)合起來，并在圖中標(biāo)注好，謹(jǐn)防出現(xiàn)數(shù)與形不對應(yīng)．去掉情境，題目為：已知一圓臺，上底面半徑是3，下底面半徑是5，高是4，求壺的容量，即是求圓臺的體積．此時學(xué)生依然有不同的選擇：直接運(yùn)用圓臺的體積公式，或是利用大圓錐減小圓錐．筆者又和學(xué)生一起復(fù)習(xí)基本幾何體的體積公式．最后，這道題目還涉及估算，學(xué)生若能將π近似為3，計算將得到簡化，既節(jié)約了時間又提高了正確率．

這道題目由課堂情境導(dǎo)入，自然順暢產(chǎn)生，文字?jǐn)⑹鲆埠啙嵞殻}目雖簡單卻涉及多個知識點(diǎn)，涵蓋了立體圖形的幾何特征、體積公式等解決“空間圖形體積問題”的必備知識．同時初步滲透讀圖、作圖、用圖的思想，培養(yǎng)去情境化、建立模型的意識．能讀圖，依據(jù)問題意識讀出有效的圖形，是問題解決的前提．

1.2 能力提升——作圖

我們的古人在生產(chǎn)生活實(shí)踐中也產(chǎn)生了很多圖形問題，發(fā)展出很多求解幾何體體積的方法．《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)巨著，對于中國和東方數(shù)學(xué)，大體相當(dāng)于《幾何原本》對于希臘和歐洲數(shù)學(xué)．其卷第五“商功”章主要討論空間幾何體體積求解問題，從中選擇一道作為例2讓學(xué)生都來解一解．

例2《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)巨著，其卷第五“商功”章有如下的問題：“今有芻甍(chú ménɡ)，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高一丈．問積幾何？”意為：“今有底面為矩形的屋脊形狀的多面體(圖3)，下底面寬3丈，長4丈，上棱2丈．上棱平行于下底面且與下底面的距離為1丈”，則它的體積是立方丈．

圖3

設(shè)計意圖例2依然是一道具體情境下的空間幾何圖形的體積問題．呈現(xiàn)題目時，也刻意隱藏了原題中的數(shù)學(xué)圖形，而換成了一張生活實(shí)景圖．需要學(xué)生依據(jù)剛剛的解題經(jīng)驗(yàn)，通過閱讀題目，自己作圖，抽象出相應(yīng)的幾何體．

筆者通過課堂觀察，發(fā)現(xiàn)學(xué)生基本都能讀懂題意并作出圖形．但作圖依然存在兩類問題：一是虛實(shí)線不分，導(dǎo)致空間圖形立體感不強(qiáng)；二是方位不對，空間的點(diǎn)線面位置關(guān)系不清晰．這些圖形正確卻不很合理，不符合立體圖形的審美要求，不利于解題．在平面中展示立體圖形，是一個難點(diǎn)，需引導(dǎo)學(xué)生慢慢體會與感悟．

此時，我們已經(jīng)可以將這道問題的情境過濾，用數(shù)學(xué)語言描述問題．

例2今有底面為矩形的屋脊形狀的多面體(圖4)，下底面寬AD=3丈，長AB=4丈，上棱EF=2丈，EF∥平面ABCD．EF與平面ABCD的距離為1丈，則它的體積是立方丈．

圖4

筆者追問：“這是什么幾何體呢？”引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這是一個一般的空間五面體，并不是我們熟悉的柱錐臺，不能直接運(yùn)用體積公式．那怎么辦呢？學(xué)生大多會想到割補(bǔ)的思想．筆者適時給予鼓勵：這和我們古代數(shù)學(xué)家的想法是一致的！順勢介紹《九章算術(shù)注》，劉徽在書中全面論證了諸多幾何體體積公式，并發(fā)展了出入相補(bǔ)原理、截面積原理、齊同原理等．其中出入相補(bǔ)原理是：一個立體圖形被分割成若干部分后，體積的總和保持不變．佐證學(xué)生的想法，鼓勵學(xué)生進(jìn)一步探究到底．

利用割補(bǔ)的方法，大多數(shù)學(xué)生都能夠順利解決問題．但也有人在解題時直接將EF擺在中間的位置，默認(rèn)幾何體兩側(cè)面對稱，簡化了運(yùn)算，得到的結(jié)果也是一樣的．此時，課堂生成了新問題：“本道題將幾何體特殊化求體積，可以嗎？”學(xué)生會有不同的意見與想法，待他們充分表達(dá)后，筆者展示事先準(zhǔn)備好的GGB動畫，通過直觀觀察發(fā)現(xiàn)，改變EF位置，幾何體在所有等高處的截面面積保持不變．利用祖暅原理，即可確定體積不發(fā)生改變．因此，本題將幾何體特殊化來求體積是可行的．

順勢向?qū)W生介紹祖暅原理[2]．祖暅用這一方法，證明了球體體積的計算問題．我國古代數(shù)學(xué)家在極限思想的運(yùn)用上遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了同期其他國家的同類思想，達(dá)到了文藝復(fù)興前世界數(shù)學(xué)界的最高峰．民族自豪感油然而生！

這道例題由《九章算術(shù)》而來，富含文化底蘊(yùn)．其難度較例1有所提升，學(xué)生要通過讀題準(zhǔn)確作出圖形，求解體積的方法也不再是簡單地套用公式，強(qiáng)化滲透讀圖、作圖、用圖的思想，培養(yǎng)去情境化、建立模型的意識．會作圖，把握重要因素，準(zhǔn)確作出圖形，是問題解決的關(guān)鍵．

1.3 知識遷移——用圖

圖5 圖6 圖7

A.4π B.8π C.16π D.20π

設(shè)計意圖以祖暅原理為情境背景的題目有不少，筆者選擇的這道例題需要學(xué)生先類比作出與要求幾何體等體積的基本幾何體再進(jìn)行體積求解．這是一個難點(diǎn)，需要學(xué)生真正理解祖暅原理，并讀懂、用好題目中的橄欖狀的幾何體．本題有一定思維度，為了讓學(xué)生真正掌握祖暅原理的本質(zhì)而非限于解決題目本身，鼓勵學(xué)生進(jìn)行小組討論并將討論結(jié)果在班級展示．

這道例題不再是考查學(xué)生用已經(jīng)掌握的基本方法去求空間幾何體體積，而是在創(chuàng)設(shè)的情境中給學(xué)生提供思路，讓學(xué)生直接應(yīng)用到體積的求解中，對思維的要求是更上一個層次的．因此，筆者鼓勵學(xué)生合作學(xué)習(xí)，通過組內(nèi)討論和小組分享，讓所有學(xué)生參與其中，集眾人智慧解決問題．這既不會讓部分學(xué)生望“題”興嘆，又達(dá)到了思維訓(xùn)練的難度．學(xué)生的表現(xiàn)也很亮眼，不僅順利建立了等體積的模型，而且通過計算論證了截面面積保持相等，嚴(yán)謹(jǐn)證實(shí)了模型的合理性，令人驚喜.

這道例題的情境既是背景又是工具．祖暅原理是教材中的閱讀材料，但絕非晦澀難懂，放在情境中，既達(dá)到了深層次的考查目標(biāo)也不會超綱．同時，進(jìn)一步滲透讀圖、作圖、用圖的思想，培養(yǎng)去情境化、建立模型的意識．會用圖，抓住關(guān)鍵特征用好圖形，是問題解決的難點(diǎn)．

2 教學(xué)反思

近幾年高考，以數(shù)學(xué)文化為背景的空間幾何體體積問題層出不窮，讓人耳目一新，同時，它也讓我們受困于背景陌生，閱讀受阻，思路無法打開．為了嘗試改變這一局面，筆者設(shè)計了這節(jié)課，選用的大體是兩類情境：作為素材背景顯性呈現(xiàn)的情境，主要是例1、例2，例1復(fù)習(xí)了空間幾何體基本幾何特征、基礎(chǔ)體積公式，例2滲透了割補(bǔ)的基本方法；以及作為思想方法隱形呈現(xiàn)的情境，主要是例3，運(yùn)用“文化”蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法進(jìn)行數(shù)學(xué)解題，將祖暅原理應(yīng)用于體積求解．力求為學(xué)生滲透讀圖、作圖、用圖的思想，培養(yǎng)去情境化、建立模型的意識．

本節(jié)課通過對一些高考、?？荚囶}的剖析求解，并穿插相關(guān)數(shù)學(xué)文化的介紹，提升學(xué)生閱讀理解的信心，增加學(xué)生對數(shù)學(xué)文化的認(rèn)識，加深對數(shù)學(xué)文化的理解，落實(shí)四基四能．將數(shù)學(xué)文化融入教學(xué)，還有利于激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，有利于學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)，有利于開拓學(xué)生視野，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)．