馬 飛，任剛練

（咸陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，陜西 咸陽 712000）

中心化子和中心化映射的研究一直是算子代數(shù)方面的重要研究內(nèi)容。1991年，Beidar 證明了半素環(huán)R上既是左Jordan 中心化子，又是右Jordan 中心化子的映射是中心化子[1]；Vukman 等研究了2-非擾自由半素環(huán)A上的中心化子，證明了如果對于任意的a∈A有2Φ（a2）=Φ（a）a+aΦ（a），那么Φ是中心化子[2]；Zalar 在文獻(xiàn)[3]中推廣了Beidar 的結(jié)論，并得到了2-非撓半素環(huán)上左（右）Jordan 中心化子是左（右）中心化子的結(jié)論；Benkovic等研究了2-非撓素環(huán)上可加映射Φ，如果滿足對于任意的a∈R，都有Φ（an）=Φ（a）an-1（n≥2），那么Φ是左中心化子[4]；Vukman 討論了在標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)A上，若可加映射Φ滿足Φ（am+n+1）=amΦ（a）an（其中m，n為正整數(shù)），則存在數(shù)域F中的常數(shù)λ，使得對任意的a∈A，有Φ（a）=λa[5]。Qi等將其條件推廣到Φ（am+n+1）-amΦ（a）an∈FI（其中I為單位算子，F(xiàn)為實或復(fù)數(shù)域）[6]。馬飛等得到了標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)上滿足(mΦ(a)ar+narΦ(a))∈FI的可加映射Φ是中心化子的結(jié)論[7]。最近，Jabeen[8]和Liu[9]等分別研究了廣義矩陣代數(shù)上的（非線性）Lie 中心化子。類似結(jié)果可見文獻(xiàn)[10-12]。本文從保持映射的角度出發(fā)，采用代數(shù)分解的方法對標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)上的中心化映射進(jìn)行研究，試圖得到標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)上的滿足某種性質(zhì)的映射是中心化子的結(jié)論。

1 預(yù)備知識

設(shè)A是一個環(huán)或代數(shù)，稱A是素的，如果對任意的a,b∈A，由aAb={0}可得a=0 或b=0，稱A是半素的，如果對任意的a∈A，由aAa={0}可得a=0。設(shè)Φ是A上的一個可加映射，如果對于任意的a，b∈A，有

那么稱Φ是一個左（右）中心化子；Φ是中心化子，是指Φ既是左中心化子，又是右中心化子；如果對于任意的a∈A有Φ(a2)=Φ(a)a(Φ(a2)=aΦ(a))，則稱Φ是左（右）Jordan 中心化子。如果對于任意的a∈A，有

其中Z(A) 為A的中心，那么稱映射Φ是中心化映射；如果對于任意的a∈A，有Φ(a)a=aΦ(a)，那么稱映射Φ是可交換的。

在本文中，設(shè)X表示作用在數(shù)域F上的Banach 空間，其中F是實數(shù)域或復(fù)數(shù)域，B(X)表示X上的所有有界線性算子全體。F(X)表示B(X)中的所有有限秩算子構(gòu)成的子空間。標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)A是X上的包含單位算子I和F(X)的B(X)的閉子代數(shù)。

受中心化子和中心化映射及上述結(jié)論的啟發(fā)，我們自然想到如何刻畫代數(shù)A上滿足(m+n)Φ(aba)-(mΦ(a)ba+nabΦ(a))∈FI（其中m，n為正整數(shù)，I為單位算子，F(xiàn)為實或復(fù)數(shù)域）的可加映射Φ。

引理1[2]設(shè)R是一個素環(huán)，Φ是R上的中心化可加映射。如果R的特征不為2 或者Φ是交換的，那么存在c∈C（R的擴(kuò)展中心）和可加映射ξ:R→F，使得對任意的a∈R，有

2 主要結(jié)果及證明

定理1設(shè)A是Banach 空間X上的標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)，Φ：A→B（X）是一可加映射，若存在正整數(shù)m，n＞1，使得對任意的a∈A，有

成立，則存在λ∈F，使得對任意的a∈A，有Φ(a)=λa。

證明定理1需要下面幾個引理。

引理2設(shè)Φ是滿足式（1）的可加映射，則存在λ∈F，使得對任意的冪等元p∈A，有Φ(p)=λp。

證明：在式（1）中，取a，b為p，則存在λP∈F，即

對式（2）左右兩邊分別乘以p，我們有

對式（2）左右兩邊同乘以p，可知λP p=0。因此，Φ(p)p=pΦ(p)，Φ(p)p=pΦ(p)p，且λP=0，即

又因為p⊥也是A的冪等元，同理可得

因而，由式（3）（4）可得。

引理3設(shè)Φ是滿足式（1）的可加映射，則存在λ∈F，使得對任意的a∈A，有

證明：在式（1）中用I、a分別代替a、b，有

由引理2的證明可知，Φ(I)=λI，則

因而，存在λa∈FI，使得

引理4設(shè)Φ是滿足 式（1）的可加映射，則存在λ∈F，使得對任意的a∈F(X)，有Φ(a)=λa。

證明：在標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)中，F(xiàn)(X)+FI是素的，由引理3 可知，Φ在F(X)+FI上是可交換的。因而由引理1 可知，存在c∈F及其上的可加映射Φ:F(X)+f I→F，使得對于任意a∈F(X)+FI，有

由引理3 可知，c=λ，因而

用a2替換a可得

而由式（1），可知

綜合式（5）和（6）可知

由ξ的定義及a的任意性可知，ξ(a)=0。因而，由Φ的可加性可知，對于任意的a∈F(X)，有

定理1 的證明：定義映射Ψ:A→B(X)，使得對任意的a∈A，有Ψ(a)=λa。令Φ0=Φ-Ψ，則Φ0是可加映射并且

即Φ0亦滿足式（1），且對于任意的a∈F(X)，有Φ0(a)=0，對于任意的a∈AF(X)，由引理3可知

因而，對任意的a，b∈A，有

令s=p⊥ap⊥，顯然有s-a∈F(X)，所以有

在式（7）中用s替換a可得

又因為Φ0=Φ-Ψ滿足式（1），因而有

對式（10）右乘以p可得mλasbp=0。因為A是m-非撓的，所以λasbp=0。若a,b∈AFI，則由a,b的任意性可知，λa=0，從而Φ0(a)=0。若b∈FI，設(shè)存在c∈F，使得b=cI。由式（10）可知，(m+n)cλas=0，結(jié)合A是（m+n）-非撓的，可得對于任意的a∈A，有λas=0，由a的任意性可知λa=0，從而Φ0(a)=0。

從而，對于任意的a∈A，有Φ(a)=λa。

在定理1 中令b=ar-1，則容易得到文獻(xiàn)[7]的主要結(jié)論。

推論1設(shè)A是Banach 空間X上的標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)，Φ:A→B(X)是一可加映射，若存在正整數(shù)m，n,r＞1，使得對任意的a∈A，有

成立，則存在λ∈F，使得對任意 的a∈A，有Φ(a)=λa。

通過定理1 的證明過程及文獻(xiàn)[6]的結(jié)論，我們可得下面推論：

推論2設(shè)A是Banach 空間X上的標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)，Φ:A→B(X) 是一可加映射，則下面條件Ⅰ～Ⅵ等價：

（Ⅰ）存在λ∈F，使得對任意的a∈A，有Φ(a)=λa。

（Ⅱ）存在正整數(shù)m,n≥1，使得對任意的a∈A，有(m+n)Φ(aba)-(mΦ(a)ba+nabΦ(a))∈FI。

（Ⅲ）對任意的正整數(shù)m,n≥1 和任意的a∈A，有(m+n)Φ(aba)-(mΦ(a)ba+nabΦ(a))∈FI。

（Ⅳ）存在正整數(shù)m,n≥1，a∈A使得對任意的，有Φ(am+n+1)-amΦ(a)an∈FI。

（Ⅴ）對任意的正整數(shù)m,n≥1 和任意的a∈A，有Φ(am+n+1)-amΦ(a)an∈FI。

（Ⅵ）Φ：A→A是中心化子。

3 結(jié)論

本文研究了標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)上滿足(mΦ(a)ba+nabΦ(a))∈FI的保持映射。具有Φ(a)=λa的固定形式，給出了標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)上的保持映射的刻畫，具有一定的理論意義。