金秋實, 董美花

(延邊大學(xué) 理學(xué)院,吉林 延吉 133002)

0 引言

拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng)的可擴性是動力系統(tǒng)研究的核心問題之一.可擴同胚作為動力系統(tǒng)中的一個重要概念,因其在遍歷理論和連續(xù)統(tǒng)理論中有著廣泛的應(yīng)用,因此近年來學(xué)者們對其進行了較多研究[1-4].2017年,Cordeiro等[1]研究了強測度可擴同胚和測度可擴同胚之間的關(guān)系,并給出了若干關(guān)于測度可擴和強測度可擴的定理.基于上述研究,本文利用類比的方法討論了文獻[1]中的部分定理在群作用背景下的擴展,并證明了其在群作用背景下仍然成立.

1 預(yù)備知識

設(shè)G為一個有限生成群,X為一個度量為d的緊致度量空間,N為一個正整數(shù).用Act(G,X)表示G在X上連續(xù)作用T的集合,即T:G×X→X是一個連續(xù)映射,使得對于所有的x∈X和g,h∈G都有T(e,x)=x和T(g,T(h,x))=T(gh,x)成立,其中e是G的單位元.記T(g,x)為Tgx,用β(X)表示由X的所有開子集生成的Borel-σ代數(shù)[5],并稱β(X)中的每一個元素為一個Borel集.稱在β(X)上的每一個σ-可加測度為X上的一個Borel測度,并且設(shè)每一個Borel測度μ為概率測度,即μ(X)=1.

稱T∈Act(G,X)是可擴的,是指如果存在常數(shù)c>0,使得對于所有的x∈X,g∈G都有(x)={x}成立,其中(x)={y∈X:d(Tgx,Tgy)≤c,?g∈G},c為T的可擴性常數(shù).稱一個Borel概率測度μ是滿支撐的[5],是指對任意x∈X和x的任意鄰域Ux都有μ(Ux)>0;稱μ是非原子的,是指對任意點x∈X都有μ({x})= 0成立;稱μ是原子的,是指存在點x∈X使得μ({x})>0成立;稱μ是不變Borel概率測度[6],是指對所有的Borel集B和g∈G都有μ(B)=μ(TgB)成立;稱點x∈X是周期點[7],是指集合Tgx|g∈G{}是有限的;記Per(T)為所有周期點的集合;稱軌道Tgx|g∈G{}是周期軌道,是指軌道上的點都是周期點x.設(shè)M(X)為緊致度量空間X上的所有Borel概率測度的集合,并且記M*(X)={μ∈M(X)|μ是非原子的}.

定義1[7]如果存在常數(shù)c>0,使得對于所有的x∈X,始終有μ((x))= 0成立,則稱測度μ∈M(X)相對于T∈Act(G,X)是可擴的(或者T是μ-可擴的).如果任何的非原子Borel概率測度μ∈M*(X)相對于T都是可擴的,則稱T∈Act(G,X)是測度可擴的.由上述可得:對于任何T∈Act(G,X)的可擴測度μ∈M(X)都是非原子的.此外,任何非原子Borel概率測度μ∈M*(X)相對于可擴作用T∈Act(G,X)都是可擴的.

定義2設(shè)N∈N.如果存在c>0,使得對于所有的x∈X,始終有不超過N個元素的集合(x)存在,則稱T∈Act(G,X)是N-可擴的.如果存在c>0,使得對于所有的x∈X,始終有可數(shù)集合(x)存在,則稱T∈Act(G,X)是可數(shù)可擴的.

定義3如果存在常數(shù)c>0,使得對于所有的不變Borel概率測度μ∈M(X)和x∈X,始終有μ((x))=μ(x)成立,則稱T∈Act(G,X)是強測度可擴的.

定義4設(shè)X和Y是緊致度量空間,且T∈Act(G,X),S∈Act(G,Y),則稱一個有序偶對(X,T)為一個動力系統(tǒng).如果存在一個同胚Φ:X→Y,使得ΦTg=SgΦ 成立,則稱兩個動力系統(tǒng)(X,T)和(Y,S)是拓?fù)涔曹椀?如果一個動力系統(tǒng)(X,T)具有P性質(zhì),則任何與(X,T)共軛的動力系統(tǒng)(Y,S)也具有P性質(zhì),并稱P為動力性質(zhì).稱同胚Φ 是T與S間的共軛.

2 主要結(jié)論及其證明

定理1測度可擴是動力性質(zhì).

證明設(shè)X和Y為度量d和d′的緊致度量空間,(X,T)和(Y,S)是拓?fù)涔曹椀?由此知存在一個同胚Φ:X→Y,使得ΦTg=SgΦ 成立.若T是測度可擴的,則由定義1可知:存在可擴常數(shù)c>0,使得對于所有的x∈X和μ∈M*(X),始終有μ(x))= 0成立,即x=y.由于X和Y是緊致的,Φ-1是連續(xù)的,所以Φ-1是一致連續(xù)的.由一致連續(xù)的定義可知:對于任意的c>0,存在常數(shù)c′>0,使得對任意的x,y∈Y,只要d′(x,y)

由于當(dāng)定義1中的非原子Borel概率測度μ是不變非原子Borel概率測度時,T∈Act(G,X)仍是測度可擴的[1],因此可得如下定理2.

定理2設(shè)T:G×X→X是沒有周期點的連續(xù)映射,T是測度可擴當(dāng)且僅當(dāng)T是強測度可擴.

證明由測度可擴和強測度可擴的定義可知:如果T是強測度可擴的,則T是測度可擴;如果T是測度可擴的,則存在可擴常數(shù)c>0,使得對于所有的x∈X和μ∈M*(X),始終有μ((x))= 0成立.如果μ是不變原子的Borel概率測度,則μ在周期軌道下是滿支撐的.由于T沒有周期點,故由周期點的定義可知μ不是在周期軌道下,這與假設(shè)矛盾.如果μ是不變非原子的Borel概率測度,則對于所有的x∈X,始終有μ(x))= 0=μ(x)成立;因此,T是強測度可擴,定理2證畢.

定理3設(shè)T:G×X→X是一個連續(xù)映射,如果T是強測度可擴的,則T|Per(T)是可擴的.

注1由可擴定義和強測度可擴的定義可知,可擴等價于1_可擴,且由該可擴能推出強測度可擴;由N-可擴的定義可知,由1_可擴能推出N-可擴;由可數(shù)可擴的定義可知,由N-可擴能推出可數(shù)可擴.