石擎天,黃坤陽

(泉州師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院, 福建 泉州, 362000)

0 引言

自2017年教育部提出建設(shè)新工科后,“五位一體”[1-2]的全方位人才培養(yǎng)模式形成共識,對學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)用能力、教師的教學(xué)技能、課程建設(shè)及培養(yǎng)目標等方面提出了更高要求?；诖?對基礎(chǔ)課程的深度改革成為新時期教育教學(xué)改革的重要任務(wù)。結(jié)合作者近些年的教學(xué)實踐經(jīng)驗,在深入分析復(fù)變函數(shù)與積分變換課程教學(xué)現(xiàn)狀的基礎(chǔ)上,嘗試對這門課的教學(xué)進行改革,并探索新工科人才培養(yǎng)和教學(xué)改革的一些舉措。

復(fù)變函數(shù)與積分變換是一門重要的基礎(chǔ)課,是自動化控制原理、信號分析、電路分析、圖像處理等課程的先修課程,在信號處理、電路分析、圖像識別、人工智能等技術(shù)領(lǐng)域具有廣泛應(yīng)用。因此以復(fù)變函數(shù)與積分變換課程為例開展教學(xué)改革來推進新工科人才培養(yǎng)模式的探索是非常具有現(xiàn)實意義的。目前,學(xué)者們針對復(fù)變函數(shù)與積分變換課程改革展開深入研究,并取得了一系列改革成果[3-6]。

由于高校生源間差異較大,特別是地方高校教學(xué)資源有限,在一定程度上影響了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,從而在制定教學(xué)目標時差異也較大[7]。因此,復(fù)變函數(shù)與積分變換的教學(xué)中采用分類教學(xué)的方法,可大大縮小生源和基礎(chǔ)上的差異。新工科背景下人才培養(yǎng)目標驅(qū)動下應(yīng)用性特點愈加突出,因此該課程的持續(xù)教學(xué)改革方案在具體的實施中可能比較復(fù)雜。

1 復(fù)變函數(shù)與積分變換課程教學(xué)中的主要問題

為了深入分析該課程教學(xué)中出現(xiàn)的主要問題,我們需要首先分析該課程的特點,再針對性展開課程教學(xué)的剖析。

1.1 課程特點分析

復(fù)變函數(shù)與積分變換課程是以高等數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)的[5], 表現(xiàn)出以下四個特點。

1)抽象性。 復(fù)變函數(shù)與積分變換課程的核心是解析函數(shù)以及其在積分、級數(shù)上的應(yīng)用,尤其是傅里葉變換和拉普拉斯變換的計算。相關(guān)內(nèi)容比較抽象,其概念、理論相對于高等數(shù)學(xué)來說更加復(fù)雜。例如,解析函數(shù)的概念與函數(shù)可微性既有聯(lián)系又有差異,比高等數(shù)學(xué)中函數(shù)的可微性更加復(fù)雜和抽象。

2)應(yīng)用性。復(fù)變函數(shù)與積分變換是微積分的拓展,具有更廣泛的應(yīng)用性。如傅里葉變換、拉普拉斯變換是信號處理、圖像識別、電路分析等領(lǐng)域研究的重要工具。復(fù)變函數(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展與解決平面向量場中一些實際問題密不可分。因其強大的應(yīng)用性,這門課在理工科中生機勃勃。

3)基礎(chǔ)性。 復(fù)變函數(shù)與積分變換是一些理工科專業(yè)的基礎(chǔ)性課程,是復(fù)分析、傅里葉變換、電路分析、信號分析等領(lǐng)域的研究基礎(chǔ),直接或間接推動相關(guān)領(lǐng)域的理論創(chuàng)新和技術(shù)革新,已經(jīng)成為一種強有力的重要研究工具。

4)邏輯性嚴密。 復(fù)變函數(shù)與積分變換邏輯性嚴密、理論性強。比如,著名的柯西積分定理、柯西積分公式、復(fù)合閉路定理、留數(shù)定理等計算方法間既有相似處又有較大差異,各方法的適用性不同但它們之間緊密聯(lián)系,是計算復(fù)積分的重要工具,是計算傅里葉變換和拉普拉斯變換的基礎(chǔ)。

此外,復(fù)變函數(shù)與積分變換的美也是一大亮點。如歐拉公式雖形式簡潔但美觀;Cauchy-Riemann方程組恰巧是平面向量場的無源和無旋條件。

復(fù)變函數(shù)與積分變換是高等數(shù)學(xué)的后續(xù)課程,一般面向大二理工科專業(yè)開設(shè)且常設(shè)32個課時。因該課程理論復(fù)雜、內(nèi)容豐富、課時緊張等因素,教學(xué)中凸顯出一些問題有待持續(xù)改革。長期教學(xué)中發(fā)現(xiàn),廣大學(xué)生往往缺乏理論與實際結(jié)合的實踐,過于強調(diào)理論與計算問題,這不利于培養(yǎng)學(xué)生的實踐應(yīng)用能力。

1.2 教學(xué)中主要問題

1)教學(xué)內(nèi)容與教材選擇不合理。復(fù)變函數(shù)與積分變換內(nèi)容豐富,涵蓋微分、積分、級數(shù)等一些經(jīng)典的復(fù)變函數(shù)理論和傅里葉變換、拉普拉斯變換等內(nèi)容。尤其是傅里葉變換和拉普拉斯變換在理工科專業(yè)中有直接運用,是理工科一些專業(yè)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)內(nèi)容?，F(xiàn)有暢銷教材的內(nèi)容體系可能比較完善,但偏重理論與計算而缺乏實踐應(yīng)用能力的培養(yǎng),某種程度上增加了該課程的學(xué)習(xí)難度。思想方法上既有高等數(shù)學(xué)的傳承也有巨大差異,加之課時有限,所以該課程的教學(xué)內(nèi)容的選取是非常關(guān)鍵的。復(fù)變函數(shù)部分是傅里葉變換和拉普拉斯變換的基礎(chǔ),往往因課時有限,這部分理論及應(yīng)用部分講解很少。

2)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性不高。由于該課程是高等數(shù)學(xué)的后續(xù)課程,加之抽象性和理論邏輯性強,所以學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性往往不高。復(fù)變函數(shù)的極限與高等數(shù)學(xué)中一元函數(shù)的極限相似但實質(zhì)上對應(yīng)于二元函數(shù)的極限,這些反差加劇了該課程學(xué)習(xí)的難度。此外,單一的教學(xué)形式和不合理的考核評價體系下,學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力難以達到提升,間接也影響著學(xué)習(xí)積極性。

3)教學(xué)方式單一。因該課程課時有限且內(nèi)容豐富,所以多所學(xué)校都采用教師講授的單一教學(xué)方式。新冠疫情下,雖逐步開始了線上線下相結(jié)合的教學(xué)方式,而且線上精品課程資源愈加豐富,但由于線上教學(xué)效率難以有保障且學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力欠缺加上缺乏自主學(xué)習(xí)的引導(dǎo),所以教學(xué)效果還是難以有較大改觀,學(xué)生對該課程的畏懼心理仍然存在。

4)評價考核方式不科學(xué)。新工科背景下,以學(xué)生自主掌握為主的理念得到共識,因此在課程學(xué)習(xí)中增加平時表現(xiàn)的考核比重。平時表現(xiàn)包括考勤、作業(yè)、課內(nèi)外表現(xiàn)、階段性考查等方面。這種考核方式制定的出發(fā)點是好的,但實施中發(fā)現(xiàn)這種考核方式弱化了期末考核的重要性,間接減輕了學(xué)習(xí)壓迫感[5]?？记诤妥鳂I(yè)部分幾乎沒有差異,課時緊張導(dǎo)致課上教學(xué)活動相對較少,從而課內(nèi)外表現(xiàn)部分差異性不大。而階段性考查中也因一些客觀原因難以高效實施。由此可見,評價考核方式不科學(xué)制約了該課程的教學(xué)質(zhì)量和學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。作為公共基礎(chǔ)課程,期末考核對檢測該課程的基本概念、基本思想方法等方面可起到非常好的效果。

5)新工科人才培養(yǎng)缺失。新工科人才培養(yǎng)目標中對學(xué)生的基礎(chǔ)理論和強烈的創(chuàng)新意識有較高要求,并在高校教學(xué)與企事業(yè)結(jié)合中激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和職業(yè)發(fā)展規(guī)劃等方向有明確指導(dǎo)意見。反觀地方高校教學(xué),特別是基礎(chǔ)學(xué)科課程教學(xué)中,新工科人才培養(yǎng)理念難以得到貫徹。產(chǎn)生這樣狀況的主要原因為相關(guān)資源欠缺、理論與應(yīng)用融合意識缺失、生源質(zhì)量欠缺,致使教育質(zhì)量短期內(nèi)難以提升。

2 復(fù)變函數(shù)與積分變換課程的教學(xué)改革探索

基于復(fù)變函數(shù)與積分變換課程的特點和教學(xué)中反映出的主要問題,立足于新工科人才培養(yǎng)理念,從教學(xué)內(nèi)容和教材的分析、教學(xué)方式、學(xué)習(xí)積極性、評價考核方式等幾個方面入手開展課程的教學(xué)改革。

1)精選教學(xué)內(nèi)容并選用應(yīng)用型教學(xué)材料輔助教學(xué)。復(fù)變函數(shù)與積分變換課程的基本內(nèi)容結(jié)構(gòu)緊密且應(yīng)用性強,但課時有限,所以精選教學(xué)內(nèi)容是很關(guān)鍵的。簡略介紹復(fù)數(shù)基礎(chǔ)和函數(shù)的可微性等理論性較強的內(nèi)容,適當(dāng)增加復(fù)積分計算及應(yīng)用,有助于傅里葉變換和拉普拉斯變換的教學(xué)。此外,結(jié)合授課對象選用相關(guān)的應(yīng)用型材料,深度與專業(yè)知識結(jié)合,可降低理論性難度并增強學(xué)習(xí)的積極性。教學(xué)中適時引入復(fù)變函數(shù)與積分變換相關(guān)的人文素材,可有助于增強課程的趣味性。

2)采用多樣化教學(xué)模式。線上線下教學(xué)模式歷經(jīng)長期探索和實踐已經(jīng)廣泛應(yīng)用到各類課程中,復(fù)變函數(shù)與積分變換課程的線上資源很豐富。因此,充分利用線上資源和慕課平臺輔助教學(xué)并課外開展線上自主學(xué)習(xí)活動,引導(dǎo)學(xué)生課前預(yù)習(xí)中不斷提升自主學(xué)習(xí)能力。此外,考慮到教學(xué)內(nèi)容多但課時有限因素,一些內(nèi)容可以組成專題討論,鼓勵學(xué)生自主辯論。比如嘗試開展柯西積分定理、柯西積分公式、復(fù)合閉路定理、留數(shù)定理等內(nèi)容的專題討論課,對學(xué)生分組并選部分學(xué)生講解這些內(nèi)容的計算思路和差異之處以及相應(yīng)例題。組織學(xué)生講解中,既鍛煉學(xué)生獨立思考、協(xié)同合作能力又增強趣味性和提升學(xué)生學(xué)習(xí)積極性。依托慕課平臺來輔助教學(xué),特別是視頻回看、疑難解答、在線測試等方式的交流,可降低課程的抽象性。通過階段性小測試可以隨時檢測前一階段學(xué)習(xí)效果,引導(dǎo)學(xué)生課前復(fù)習(xí)。綜上所述,我們提出如圖1所示的多樣化教學(xué)方式[2]。

3)多舉措促進學(xué)生學(xué)習(xí)積極性提高。學(xué)習(xí)積極性是影響學(xué)習(xí)效率的重要因素,因此重視學(xué)生學(xué)習(xí)積極性很有必要。通過選用理論性弱應(yīng)用型較強的教學(xué)材料,可以降低學(xué)習(xí)難度,增強與專業(yè)的契合度。此外,開展專題研討活動,改變單一的教學(xué)模式也可以增加該課程學(xué)習(xí)的趣味性。同時融入多學(xué)科間的交叉,有助于推動理論與應(yīng)用結(jié)合。

4)多樣化評價考核。為了衡量教學(xué)效果,提高教學(xué)質(zhì)量,探索多種考核方式,改變單一的期末閉卷考核是很有必要的。增設(shè)階段性考試,可起到檢驗平時學(xué)習(xí)效果,督促學(xué)生加強日常學(xué)習(xí)而避免期末考前突擊學(xué)習(xí)現(xiàn)象。期末閉卷考核中降低理論性部分,增加應(yīng)用型題型可減少死記硬背成分,促進應(yīng)用能力和創(chuàng)新思維提升。此外,基于專題討論活動,要求學(xué)生完成相關(guān)材料的梳理中進行課堂表現(xiàn)的考核,提交課程中名人事跡的收集與心得體會中加強思政以及人文知識的儲備。鼓勵學(xué)生分析復(fù)變函數(shù)與積分變換在專業(yè)課程中有何應(yīng)用,并整理成課程論文。

5)加強新工科理念的思政教育。每年不定期組織課程組老師開展新工科人才培養(yǎng)理念的專題培訓(xùn),及時了解新工科人才培養(yǎng)的新思想并討論如何將其在該課程的教學(xué)中呈現(xiàn)。教學(xué)中重視介紹該課程的重要應(yīng)用性和新工科人才培養(yǎng)的要求并有意識培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力、創(chuàng)新意識。同時,邀請物理、光電、電信、計算機等學(xué)科老師講解某些專業(yè)內(nèi)容與該課程的內(nèi)在聯(lián)系,既可以豐富教學(xué)方式增強新鮮感提升學(xué)生學(xué)習(xí)積極性又可以增強該課程的趣味性幫助學(xué)生認識到該課程的廣泛應(yīng)用性。

6)基于新工科發(fā)展理念增強該課程與新工科的融合度。復(fù)變函數(shù)與積分變換是眾多新工科的基礎(chǔ)理論課,其理論性和抽象性較大是影響學(xué)生學(xué)習(xí)積極性的重要因素。因此,結(jié)合新工科的發(fā)展理念,以學(xué)以致用的導(dǎo)向性為目的,教學(xué)中基于學(xué)生的專業(yè)性適時講解一些復(fù)變函數(shù)與積分變換在某些新工科中的應(yīng)用及實例。例如, 面向機械自動化專業(yè)學(xué)生時可結(jié)合傳遞函數(shù)是零初始條件下線性系統(tǒng)響應(yīng)量的拉普拉斯變換與激勵量的拉普拉斯變換之比這一事實,幫助學(xué)生深入理解傳遞函數(shù)及其在經(jīng)典控制理論中的重要性,同時讓學(xué)生熟悉拉普拉斯積分變換的定義、基本性質(zhì)和計算方法。

3 復(fù)變函數(shù)與積分變換課程改革效果分析

復(fù)變函數(shù)與積分變換是一門公共基礎(chǔ)課程,理論性和抽象性較大。近幾年教學(xué)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性不高的原因,某種程度上與高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱有關(guān)聯(lián)。因此,教學(xué)中及時對相關(guān)的高等數(shù)學(xué)知識的復(fù)習(xí)是提高教學(xué)效果和學(xué)習(xí)積極性有效舉措。通過對近幾年該課程的考試成績分析、學(xué)生學(xué)習(xí)質(zhì)量問卷分析、該課程的所有任課老師的訪談,發(fā)現(xiàn)某些教學(xué)改革策略下教學(xué)效果有了較大好轉(zhuǎn)。例如,精選教學(xué)內(nèi)容,尤其是弱化理論部分增加應(yīng)用性內(nèi)容后學(xué)生參與度更高了;引導(dǎo)線上學(xué)習(xí)以及組織學(xué)生開展專題研討后,相關(guān)內(nèi)容的理解更深刻而且期末閉卷成績提升比較明顯;邀請部分老師開展線上輔導(dǎo),有效引導(dǎo)學(xué)生認識到該課程在一些理工科專業(yè)中廣泛應(yīng)用性,有助于專業(yè)課程高效學(xué)習(xí);課程中加強新工科人才培養(yǎng)理念的思政教育,涌現(xiàn)出一些思維活躍的學(xué)生,其自主學(xué)習(xí)能力、表達能力和舉一反三能力都得到了鍛煉。但某些改革措施收效甚微,如多樣化評價考核中課內(nèi)外表現(xiàn)部分區(qū)分度不大,特別是專題討論中大多數(shù)學(xué)生的積極性仍不高。

4 結(jié)束語

在前人教學(xué)改革經(jīng)驗和自身教學(xué)實踐的基礎(chǔ)上,立足于新工科人才培養(yǎng)理念,探索復(fù)變函數(shù)與積分變換的教學(xué)改革,旨在提高該課程的教學(xué)質(zhì)量、提升學(xué)生學(xué)習(xí)能力和應(yīng)用能力,為培養(yǎng)符合市場導(dǎo)向的高素質(zhì)、高技能的應(yīng)用型人才目標而努力。同時也為國內(nèi)同行提供一個復(fù)變函數(shù)與積分變換課程改革的思路。