吳宏　李軒嬌　李嘉寧

摘 要 數(shù)學交流能力表現(xiàn)是學生作為學習共同體成員，借助數(shù)學文字語言、符號、記號、圖形和表達式，通過聽、說、讀、寫的方式表達溝通、分享數(shù)學見解和學習體驗的行為特征。數(shù)學交流能力貫穿小學生數(shù)學學習的各個環(huán)節(jié)，由相關(guān)要素構(gòu)成，在發(fā)展過程中體現(xiàn)出一定的差異。細化小學生數(shù)學交流能力表現(xiàn)的評價指標，盡量用學生外顯、具體和可觀察的行為來描述。

關(guān)? 鍵? 詞 小學生 數(shù)學交流能力表現(xiàn) 結(jié)構(gòu)要素 評價指標

引用格式 吳宏，李軒嬌，李嘉寧.小學生數(shù)學交流能力表現(xiàn)的內(nèi)涵、要素、水平與評價[J].教學與管理，2023（05）：35-40.

數(shù)學廣泛應用于現(xiàn)代社會，學生在學習、生活與未來工作中不可避免地需要利用數(shù)學進行交流[1]，數(shù)學交流既是數(shù)學學習的一種方式，也是應用數(shù)學的途徑之一?！皶脭?shù)學的語言表達現(xiàn)實世界”是數(shù)學素養(yǎng)的重要組成[2]，數(shù)學交流能力被列入學生的核心能力系列[3-6]。當學生具有較高的數(shù)學交流能力水平時，他們能不斷反思、精煉或修正自身的數(shù)學觀點，使思維清晰化，發(fā)展自己的數(shù)學理解[7]。小學生處于母語和數(shù)學學習的起始階段，隨著數(shù)學抽象程度的增加，會同時面對自然語言與數(shù)學語言學習的雙重困難，數(shù)學交流能力的培養(yǎng)尤為重要。什么是數(shù)學交流能力表現(xiàn)？小學生數(shù)學交流能力表現(xiàn)的特征是什么？分析小學生數(shù)學交流能力表現(xiàn)的結(jié)構(gòu)要素和層次水平，以評價促進數(shù)學交流能力的培養(yǎng)是當務之急。

一、小學生數(shù)學交流能力的內(nèi)涵特征

界定數(shù)學交流能力表現(xiàn)，先要明確數(shù)學交流與數(shù)學交流能力的內(nèi)涵。交流指通過信息的表達和傳遞，達成彼此想法和意見的充分理解，結(jié)成互相來往聯(lián)系?；诙騼?nèi)斯特（1993[8]，1998[9]）數(shù)學“對話”的論斷，數(shù)學交流的本質(zhì)是數(shù)學活動的重要媒介和表現(xiàn)形式；是學生參與數(shù)學活動，實現(xiàn)學習者主體性和自我意義的保證，是數(shù)學教學進行預評估和評價方式的有益補充。它分為學習者內(nèi)部和外部互動，體現(xiàn)了交流主體中自我、師生、生生和學習材料之間的動態(tài)關(guān)系。

數(shù)學交流與數(shù)學表述、數(shù)學表征、數(shù)學語言、數(shù)學合作不同。數(shù)學表述運用書面與口頭等外部交流手段開展語言活動，是數(shù)學交流的重要組成，借助數(shù)學表述能有效拓展數(shù)學交流的維度。數(shù)學表征多以文字、模型、符號、圖形、表格等形式呈現(xiàn)，數(shù)學交流過程允許多種不同表征的存在，豐富多樣的表征能夠提高數(shù)學交流的有效性。數(shù)學語言包括自然語言、數(shù)學圖形、圖表與符號語言，是數(shù)學交流活動的重要載體。數(shù)學交流與數(shù)學合作間既有共性也有其獨特內(nèi)涵。數(shù)學交流是數(shù)學學習的重要內(nèi)容、方式和目標，是數(shù)學合作學習的一個環(huán)節(jié)，其實質(zhì)是信息溝通、思想共享和意義生成，根本作用在于促進學生的數(shù)學認知與數(shù)學理解[10]。數(shù)學合作是數(shù)學活動方式之一，其本質(zhì)特征是分工和協(xié)作，學生在活動過程中經(jīng)歷合作體驗、方法掌握和意識培養(yǎng)。數(shù)學合作的過程離不開數(shù)學交流，但數(shù)學交流形式和對象的多樣性，決定了數(shù)學交流不能簡單地等同于合作交流。

數(shù)學交流能力是學生學習數(shù)學語言，運用其特定的符號、詞匯、句法及其表征方式，傾聽、理解和反思他人的思想和觀點，并清晰表達和解釋自己的思考過程與結(jié)果的能力。學科能力表現(xiàn)旨在將內(nèi)隱的心理特征轉(zhuǎn)化為可觀察、可外顯的行為特征，以利于學科能力的評價和培養(yǎng)。小學生數(shù)學交流能力表現(xiàn)是小學生遵照數(shù)學語言規(guī)范，借助數(shù)學文字語言、符號、記號、圖形和表達式，通過聽、說、讀、寫的方式提取與內(nèi)化信息，分享數(shù)學見解和學習體驗的行為特征。小學生的數(shù)學交流能力表現(xiàn)以知識技能的掌握為基礎(chǔ)，其影響因素是問題情境、交流氛圍和表征方式（如圖1）。

小學生數(shù)學交流能力表現(xiàn)按照表達形式，可分為口頭語言交流（數(shù)學討論）和書面語言交流（數(shù)學閱讀和數(shù)學寫作）能力表現(xiàn)。按照信息加工程序，可分為提取內(nèi)化信息與外化信息階段，具有建構(gòu)性、多樣性和階段性的特征。一方面，知識結(jié)構(gòu)、運算推理與思想方法促成數(shù)學觀點，事實、觀點和方法又是數(shù)學交流的內(nèi)容；另一方面，數(shù)學聽、說、讀、寫的能力共同服務于數(shù)學交流能力表現(xiàn)，既相互獨立，又互相補充與促進。因此，不同的知識結(jié)構(gòu)水平、表征方式選擇以及語言轉(zhuǎn)譯能力，決定了小學生數(shù)學交流能力表現(xiàn)的多樣性。數(shù)學交流能力表現(xiàn)雖在某一階段相對穩(wěn)定，但隨著學生知識結(jié)構(gòu)的完善、思想方法的豐富和語言能力的增強，學生的數(shù)學交流能力表現(xiàn)會從較低層次水平提升至較高層次水平。

二、小學生數(shù)學交流能力的結(jié)構(gòu)要素

數(shù)學交流能力表現(xiàn)的形式有數(shù)學討論、數(shù)學閱讀和數(shù)學寫作。數(shù)學討論是師生、生生之間圍繞數(shù)學進行談論，目標是有效傳遞信息以改變聽者的知識狀態(tài)，包括傾聽和口頭語言表達兩個相互交融的過程。數(shù)學閱讀是在讀文字、看表征符號、看相關(guān)圖表圖像的循環(huán)往復中，獲得數(shù)學知識和方法理解的過程。數(shù)學寫作是將數(shù)學理解、解題回顧和方法反思，用自己的語言形成文字表達，為數(shù)學思維和交流創(chuàng)造機會，反饋學習和成長進程的活動[11]。

數(shù)學交流能力表現(xiàn)首先涉及數(shù)學觀念、數(shù)學交流的意識與信心層面。小學生應認識數(shù)學活動的社會文化屬性，相信數(shù)學學習過程是共同體參與的活動；具備參與數(shù)學交流的信心，愿意分享數(shù)學學習過程中的見解和體驗。認識自然語言到傳統(tǒng)數(shù)學語言表達是數(shù)學交流能力發(fā)展的不同階段，相信在數(shù)學交流活動中能夠提升自身的能力水平。其次，數(shù)學交流能力在數(shù)學語言知識積累、表達方式轉(zhuǎn)換和情境適應方面有如下具體表現(xiàn)：

一是掌握數(shù)學語言規(guī)范和數(shù)學詞匯，在不同語境中正確理解數(shù)學詞義和語義，準確運用數(shù)學詞匯和語句。（1）能夠?qū)φ毡磉_數(shù)學語言中字的形體、詞（組）的內(nèi)容、語音及音義結(jié)合，明確關(guān)鍵詞之間的依存和制約關(guān)系；（2）具備語言積累的基礎(chǔ)，可以弄清和習慣數(shù)學語言的理解方法、規(guī)律和約定，弄懂文字語言、符號語言和圖形語言的意義，理解三種表達方式只是形式不同、內(nèi)涵不變；（3）讀懂數(shù)學表達中的短語和句子，明確詞語間的修飾關(guān)系，設法避免自然語言中的歧義，正確理解句子中詞的邏輯順序；（4）掌握語言的語法結(jié)構(gòu)、內(nèi)容的邏輯結(jié)構(gòu)和邏輯意義間的差別，適應句子的邏輯關(guān)系及表達特點；（5）理解詞語的意義，接受使用詞語的方式，可以用一個或多個詞回答問題，適應因日常用語概念擴展中詞的借用而產(chǎn)生的多義性；（6）學會用字母表達數(shù)字，逐漸形成符號感。

二是內(nèi)、外部語言以及數(shù)學語言多種表達方式間的轉(zhuǎn)換。（1）能夠做到內(nèi)部語言與外部語言的轉(zhuǎn)換，促進思維的分析、綜合和抽象概括，由特定情況下的詞感引出詞義，從詞義去體會詞感；（2）能夠做到思維與言語的轉(zhuǎn)換，在“思維→意義→語言”的過程中，弄清問題、體現(xiàn)構(gòu)造表象，理解意義的作用；（3）通過“言語—語言—言語”的聯(lián)結(jié)，實現(xiàn)交流過程中“聽讀”和“說寫”的有機結(jié)合；（4）能夠做到語言、圖像、圖表、數(shù)字和符號多種表述方式的關(guān)聯(lián)、組合和轉(zhuǎn)譯，實現(xiàn)同一個數(shù)學概念的不同表征之間，以及語言信息的三種表征形式（形、聲、義）之間的轉(zhuǎn)換。

三是針對不同的交流對象和情境，選擇和運用各種層次的數(shù)學語言，以達到交流目的。（1）了解交流對象的特點、層次要求，選擇日常熟悉的語言、比較正式的數(shù)學表達方式和術(shù)語、規(guī)范的數(shù)學語言和符號進行交流；（2）針對不同的交流對象和內(nèi)容，恰當選擇表述方式；（3）在交流過程有效地自我監(jiān)控和反思。

三、小學生數(shù)學交流能力的層次水平

因思維水平、知識結(jié)構(gòu)和活動經(jīng)驗等方面的差異，學生的數(shù)學交流能力發(fā)展呈現(xiàn)不均衡狀態(tài)。小學生對數(shù)學語言中詞義和語義結(jié)構(gòu)的理解，詞感和語感的形成，以及不同語言形式的多向聯(lián)系和轉(zhuǎn)換，共同決定數(shù)學交流活動的層次水平。為客觀地評價和促進學生數(shù)學交流能力的發(fā)展，借鑒SOLO（可觀察的學習結(jié)果的結(jié)構(gòu)）分類理論[12]劃分學習質(zhì)量的方法，按照知識和表征方式的關(guān)聯(lián)及其復雜程度，將小學生數(shù)學交流能力表現(xiàn)劃分為記憶與再現(xiàn)、聯(lián)系與轉(zhuǎn)換、反思與拓展三個層次水平（見表1）。

具體地，當數(shù)學交流處于記憶與再現(xiàn)能力水平時，小學生表現(xiàn)出：（1）用日常熟悉的語言表達對數(shù)學的理解，有時用自然語言或與問題無關(guān)的數(shù)學語言交流想法，使用不十分精確的語言大概地描述，形成自己不正規(guī)的表達方式；（2）理解簡單的語言和步驟，如近似的語言、比較的語言、確定與不確定的語言、非數(shù)字的測量語言和日常位置用語等，能運用簡單的數(shù)學術(shù)語、詞匯或語言；（3）具備弱關(guān)聯(lián)能力，能夠建立解決簡單問題的模式、理解他人的方法并與他人達成一致。

當數(shù)學交流處于聯(lián)系與轉(zhuǎn)換能力水平時，小學生表現(xiàn)出：（1）熟悉基本的數(shù)學術(shù)語、標準記號、符號應用和常規(guī)畫圖，區(qū)別對待數(shù)學問題的不同表達形式；（2）運用精確度適當?shù)臄?shù)學表征，描述數(shù)學在生活各方面所起的作用，列出數(shù)學模式表示真實情境，將數(shù)學符號語言和形式語言翻譯成自然語言，反之亦然；（3）綜合使用比較正式的數(shù)學符號、標記和術(shù)語，描述和比較數(shù)學情境，討論和書寫數(shù)學對象、情境、關(guān)系和模型；（4）區(qū)分日常語言所表達的數(shù)學含義，在情境中合理使用數(shù)學語言，認識數(shù)學說理的重要性，清楚地交流邏輯論據(jù)，說明為什么結(jié)果是有意義的、推理是有效的；（5）不僅可以對教師和評價者，而且可以對同學或低年級學生解釋概念，口頭和書面說明一種解法的各個方面，標明圖形并運用技巧向讀者說清含義，發(fā)現(xiàn)和報告他人用數(shù)學的過程，說明從幾種方法中做出選擇的步驟，能用各種方法與他人交流自己對該水平任務和問題的想法，呈現(xiàn)自己探究的結(jié)果；（6）一定的數(shù)學描述、正確的陳述和答辯能力，適當?shù)卦诓煌拿枋鲋g轉(zhuǎn)換，比較和評估不同的描述。

當數(shù)學交流處于反思與拓展能力水平時，小學生表現(xiàn)出：（1）能閱讀復雜的文本，描述給定的問題情境，劃出任務和問題的關(guān)鍵信息，用自己的語言復述任務與問題，把新任務的指令和問題，轉(zhuǎn)化為用自己語言表述的任務、問題和學習領(lǐng)域；（2）運用數(shù)學語言使復雜情況易于理解，選擇和運用相關(guān)和熟悉的表達方式、方法回答問題，彌補答案與問題間的差距；（3）清晰并邏輯地說明問題的解法，通過口頭和書面的證據(jù)支持解答；（4）正確使用符號、術(shù)語以及概念表達含義，為數(shù)學活動提供邏輯解釋，找到解決具體問題的程序或不熟悉的概念；（5）清楚、簡明、準確地表示數(shù)學步驟和結(jié)果，運用數(shù)學文本，記錄問題解決的過程，選擇恰當?shù)慕涣鞣绞较蚰骋惶囟▽ο蟪尸F(xiàn)對一項任務和問題的反饋結(jié)果，數(shù)學交流時考慮目的和對象，知道何時應參與到教師和同學的對話中，通過對話促進個體進步；（6）使用與教材內(nèi)容一致的圖解、圖形、表格及公式，從數(shù)學題或拓展題中得到結(jié)果；（7）過程敘述獨立于結(jié)果的簡明敘述，認識到這樣做能增強每種敘述的有效性；（8）閱讀和理解數(shù)學課本與其他數(shù)學作品，從閱讀指定材料和其他相關(guān)內(nèi)容、作業(yè)及其他材料來源綜合認識數(shù)學。

四、小學生數(shù)學交流能力的評價方式

數(shù)學交流能力表現(xiàn)是學生在數(shù)學活動過程中表現(xiàn)出來的、比較穩(wěn)定的心理和行為特征，是可觀察和外顯的。不同水平的數(shù)學交流能力都應有一套評價指標，教師、家長和學生可以利用指標作為評價基礎(chǔ)，判斷是否已達到標準所預期的數(shù)學交流能力水平。借助聽、說、讀、寫的表現(xiàn)性任務，選編不同層次的問題或者基于學生解決同一問題的行為差異，了解小學生的整體與個體數(shù)學交流能力水平。

一是結(jié)合實例描述數(shù)學交流能力標準。為使評價指標具備較強的可操作性，數(shù)學交流能力表現(xiàn)需通過活動中行為表現(xiàn)的實例，針對每一層次水平的行為結(jié)構(gòu)要素加以分析和描述，根據(jù)現(xiàn)行的課程標準和學生的學習狀況，開發(fā)數(shù)學內(nèi)容相關(guān)的行為目標以及單元、課時表現(xiàn)性標準，運用于教學實踐并不斷修改、完善。如美國小學數(shù)學學科能力表現(xiàn)標準中，數(shù)學交流能力是學生能夠[13]：

M7a 基于先前的概念，恰當運用數(shù)學術(shù)語、詞匯和語言。

M7b 用多種方法表達數(shù)學思想，包括詞語、數(shù)、符號、圖畫、圖形、圖表、表格、圖解和模型。

M7c 清晰并邏輯地說明問題的解法，通過口頭和書面證據(jù)支持解答。

M7d 進行數(shù)學交流時考慮目的和對象。

M7e 從閱讀、作業(yè)和其他材料來源綜合數(shù)學。

通過以下例子，學生可以表現(xiàn)出能夠熟練地進行交流：

◆用詞語、數(shù)或圖表解釋用心算解決問題的過程中如何分解數(shù)。如25×6，一種方法是“20×6=120，5×6=30，120+30=150”；另一種方法是“25×4=100，25×2=50，100+50=150”（7a，7b，7c）。

◆用圖畫或圖表表示1/2+3/4，以便更小的學生能理解其和。（7a，7b，7c，7d）

該評價指標基于小學數(shù)學交流能力層次水平要求，明確能力表現(xiàn)的行為結(jié)構(gòu)要素并進行編碼，再結(jié)合具體的例子，分析和描述此種能力水平應具備的行為表現(xiàn)。這就要求在教學目標指導下，結(jié)合教學內(nèi)容設計便于分析數(shù)學交流能力的問題，基于學生數(shù)學問題解決的能力表現(xiàn)描述評價指標。這樣的評價指標能夠充分發(fā)掘活動中的能力培養(yǎng)價值，通過外顯的行為表現(xiàn)內(nèi)隱的心理，從而增強能力標準的可操作性，有效指導教師、學生和家長三者的評價。

二是在解決開放問題的活動中，分析學生個體的數(shù)學交流能力。由于數(shù)學交流貫穿數(shù)學學習活動始終，在每一個活動環(huán)節(jié)都可以有意識地觀察學生的行為表現(xiàn)，了解學生數(shù)學交流能力發(fā)展水平以改進教育教學。數(shù)學活動的各環(huán)節(jié)中，有意識地關(guān)注學生數(shù)學交流發(fā)展水平，有益于實現(xiàn)評價主體和方式的多元化?？梢詭椭鷮W生體會數(shù)學傳統(tǒng)遵循的科學性原則，體驗數(shù)學是數(shù)學共同體語言體系的社會文化特性，進而促進學生數(shù)學素養(yǎng)的綜合發(fā)展。在問題解決的過程中，教師對學生不同方案的選擇和表述進行分析、歸類和編碼后，結(jié)合行為結(jié)構(gòu)要素評價交流能力層次水平。

如，計算：522-367=，某學生計算過程如下：

“我所做的是，將367加上各個小一些的數(shù)等于522，然后將這些小一些的數(shù)相加，就得到了的答案”。結(jié)合該學生的解題過程，數(shù)學交流能力表現(xiàn)可以分析為：以上計算方法運用中，除了表現(xiàn)出數(shù)、數(shù)的組合與運算概念的理解能力和運用數(shù)學技能、工具的能力，還表現(xiàn)出了運用數(shù)字符號、折線圖形符號、語言和詞匯聯(lián)結(jié)，清楚并邏輯地說明問題的解法，明確表達補差和湊整的思想方法，通過書面證據(jù)支持解答的數(shù)學交流能力。

三是由不同層次的問題或同一問題（任務）中學生的行為表現(xiàn)，鑒定學生整體的數(shù)學交流能力水平。開發(fā)不同層次的測評問題，根據(jù)學生的作答評定其數(shù)學交流能力水平。如“郊游遇貓”問題。

小陳開車外出郊游，途中有一只貓沖到他的車前，小陳緊急剎車，貓溜走了。小陳受到驚嚇，決定開車返回，并且走近路。下圖是這段時間小陳開車速度變化的部分圖像。

（1）根據(jù)上圖，小陳的最快車速是____________；為躲避那只貓，小陳在____________（填時間）踩剎車。

（2）請你根據(jù)以下描述，將上圖補充完整：

小陳剎車后，車速減到了12千米/小時；這時他開始踩油門加速，9：09時車速到達36千米/小時；他看到家就在不遠處，于是又逐漸減速，9：12時順利到了家門口。

（3）從最終的圖像中，你認為小陳開車過程中哪段時間速度增加最快？

第（1）題屬于記憶和再現(xiàn)層次。要求學生從時間—速度圖中直接提取信息，但兩空的要求又有區(qū)別，一個是看圖直接回答，另一個需要先明確橫軸的單位長度是1分鐘，再推導出時間。第（2）（3）題屬于聯(lián)系與轉(zhuǎn)換水平。需要建立文字與圖像間的聯(lián)系，做到文字信息與圖像信息間的轉(zhuǎn)化。

此外，還可以結(jié)合具體內(nèi)容，創(chuàng)設情境、布置任務并明確評價標準，再根據(jù)學生的表現(xiàn)劃分其數(shù)學交流能力水平。如寫作任務：“成正比例的量”。

假設你的一位同學不能到校學習“成正比例的量”，請你給他寫一封信，講解這部分內(nèi)容。你的信件將會按照細節(jié)的準確度、理解的程度和內(nèi)容組織的清晰度，評定為高（H）、中（M）和低（L）檔（見表2）。

寫作任務輔以數(shù)學寫作的評價標準，使學生擁有評價的知情權(quán)，為學生的寫作指明了努力方向。該評價標準關(guān)注學生寫作內(nèi)容的組織和細節(jié)的準確度，從新舊知識及其與已有經(jīng)驗的關(guān)聯(lián)，表征方式的多樣性，推斷學生對“成正比例的量”概念的理解程度。教師可以結(jié)合具體內(nèi)容和任務，基于小學數(shù)學交流能力表現(xiàn)層次水平的劃分，有針對性地進行教學評價設計。

參考文獻

[1] 沈呈民，孫連舉，李善良.數(shù)學交流及其能力的培養(yǎng)[J].課程·教材·教法，1991（09）：14-19.

[2] 中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022：6.

[3] Niss，M..Mathematics competence and the learning of mathematics：the Danish KOM projece [EB/OL].（2011-11-02）.http：//www.msi.vxu.se/users/hso/aaa_niss.pdf.

[4] Turner，R..Exploring mathematical competencies [J].Research Developments，2011，24，Artical 5.

[5] 徐斌艷.數(shù)學學科核心能力研究[J].全球教育展望，2013，42（06）：67-74+95.

[6] 中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012：9-15.

[7] 全美數(shù)學教師理事會.美國學校數(shù)學教育的原則和標準[M].蔡金法，吳放，李建華，等譯.北京：人民教育出版社，2004：58.

[8] Ernest，Paul.：（1993b）.Mathematics Activity and Rhetoric：Towards a social constructivist Account.In proceedings of 17th International Conference on the Psychology of Mathematics Education，edifed by N.Nohda.Tsukuba Japan：university of Tsukuba.

[9] Ernest，Paul.數(shù)學教育哲學[M].上海：上海教育出版社，1998：102-103.

[10] 李祎.美國學校數(shù)學教育中的“數(shù)學交流”[J].中國教育學刊，2006（09）：49-51.

[11] 吳宏，張珂，劉廣軍.數(shù)學寫作融入初中數(shù)學教學的實驗研究[J].數(shù)學教育學報，2019，28（05）：51-58.

[12] 比格斯，科利斯.學習質(zhì)量評價：SOLO分類理論[M].高凌飚，等譯.北京：人民教育出版社，2010：27-32.

[13] 美國國家教育和經(jīng)濟中心，匹茲堡大學.美國小學（初中、高中）學科能力表現(xiàn)標準[M].上海市教育科學學院，譯.北京：人民教育出版社，2004：63-64.

［責任編輯：陳國慶］