董海雷， 王 燦， 張彥玲

(1.石家莊鐵道大學土木工程學院，河北 石家莊 050043；2.中鐵大橋科學研究院有限公司，湖北 武漢 430034；3.橋梁結構健康與安全國家重點實驗室，湖北 武漢 430034)

波形鋼腹板與混凝土組合橋梁結構的投入使用，不但保證了正常的受力性能，更兼具經(jīng)濟適用和便于施工等特點，因此其慢慢被應用于我國的橋梁工程建設之中。然而，關于波形鋼腹板組合梁橋的車橋沖擊振動問題一直以來未有統(tǒng)一的解決方法。而且目前大多研究集中在波形鋼腹板組合橋梁的靜力性能研究方面[1-3]，張永健[4]、戴青年[5]、鄭尚敏等[6]利用理論推導加有限元仿真以及室內(nèi)試驗三者結合的方法對波形鋼腹板PC組合箱梁豎向自振特性進行了研究。在自振特性研究的基礎上，肖英楠[7]、王妍[8]、戚偉利[9]、張政韜[10]對移動車輛荷載作用下的波形鋼腹板PC組合箱梁動力特性進行了研究，但研究對象均為直線橋。

本文采用理論分析方法，綜合考慮曲梁彎扭耦合、腹板剪切變形及箱梁的約束扭轉，利用能量變分法和哈密頓原理對移動荷載作用下橋梁的豎向動力特性解析解進行推導，同時探究箱梁腹板剪切變形和箱梁約束扭轉對曲梁自振及強迫振動的影響。

1 移動荷載-波形鋼腹板組合梁橋的理論解推導

在推導過程中采用的基本假定包括：

(1)曲梁的運動滿足小變形理論并在彈性范圍內(nèi)線性理論適用。

(2)滿足簡單梁理論，曲梁質量分布均勻，具有恒定的雙對稱橫截面，符合平截面假定，不考慮截面的剪力滯效應，綜合考慮腹板剪切變形、約束翹曲，曲梁由恒定的橫截面構成，翹曲阻力可忽略不計。

(3)假定與橋梁相比，車輛的慣性效應很小，因此僅考慮車輛的重力效應，忽略車輛的慣性效應，將其簡化為一個集中的移動荷載力；車輛以恒定速度在曲梁上移動，無滑移，并與橋梁表面持續(xù)接觸，車輛在上橋之前，曲梁處于靜止狀態(tài)。

(4)由于移動荷載的作用時間較短，因此阻尼因素對橋梁的影響很小，不考慮曲梁的阻尼效應，同時忽略橋面的粗糙度。

1.1 計算模型

在推導過程中采用的曲梁截面形式及梁上移動荷載運動軌跡如圖1和圖2所示。簡支梁為截面恒定的曲線梁，梁高為h，梁寬為b，頂?shù)装搴穸葹棣?；下標u，b分別表示混凝土頂板和底板的相應特性(以下同)，zu為截面形心到頂板形心的距離，zb為截面形心到底板形心的距離；θ為曲梁弧線圓心角；R和l分別為曲梁的曲線半徑和曲線跨度。

圖1 單箱雙室波形鋼腹板組合梁截面形式

圖2 移動荷載下曲梁示意圖

選擇右手坐標系，其中y軸和z軸與橫截面的主軸重合，x軸與梁的質心軸相切。設u、v和w分別為曲梁每個橫截面的質心沿x、y、z軸的位移，φx、φy和φz分別為圍繞三個軸的扭轉角。荷載P(t)以勻速v向右移動，當t=0時，荷載位于最左端支撐處；在時間為t時，荷載運動距離為vt。

由文獻[11]可得一般簡支曲梁的微分方程為:

豎向位移，

(1)

扭轉位移，

(2)

式中：w′為對曲梁的縱向微分；φ′x為對繞x軸扭轉角的微分；E和G分別為曲梁的彈性模量和剪切模量；Iy為關于y軸的慣性矩；Id為曲梁的扭轉慣性矩。

1.2 彎曲應變能

(3)

(4)

則得到彎曲總動應變能為：

Vw(t)=Vwu(t)+Vwb(t)

(5)

1.3 約束扭轉翹曲應變能

由烏曼斯基的閉口截面薄壁桿件約束扭轉理論，建立多室閉口截面桿件約束扭轉計算公式，其中自由扭轉剪力流q的方程為：

式中：i=1，2，…，n，n為室數(shù)；k為與相鄰箱室共同室壁；φ′(x,t)為截面扭率；Ωi為箱室中心線所圍面積的2倍；由于波形鋼腹板組合箱梁頂、底板與腹板的材料及厚度不相同，故采用換算截面，將鋼材轉換成混凝土，G全部取混凝土的切變模量Gc。由于波形鋼腹板的褶皺效應，其切變模量Gs采用等效切變模量Ge表示。假定換算后的鋼腹板高度不發(fā)生變化，則其等效厚度δ′w為：

式中：δw為波形鋼腹板板厚；a、c、ψ具體參數(shù)見圖3所示。

圖3 波形鋼腹板波段結構

計算曲線閉口箱梁在扭轉作用下的截面縱向翹曲位移uω(x,s,t)，取截面形心軸與箱壁交點為積分零點，可得約束扭轉翹曲正應力σx(x,s,t)，從而得到剛性扭轉翹曲應變能為：

(6)

1.4 鋼腹板剪切動應變能

截面波形鋼腹板考慮剪切變形時，則箱梁腹板的剪應變可表示為η(x,t)=w′(x,t)-θ(x,t)，則相應的動應變能為：

(7)

式中：Aw為波形鋼腹板剪切面積，Aw=nδwhw，n為鋼腹板列數(shù)；α為平截面假定修正系數(shù)，取α=1.2。

1.5 約束扭轉剪切動應變能

曲線箱梁截面上的總扭矩可表示為自由扭轉扭矩Td(x,t)和約束扭轉扭矩Tω(x,t)之和，有：

Gc(Iρ-Id)[β′(x,t)-φ′(x,t)]

(8)

則約束扭轉剪切應變能為:

(9)

式中：Iρ為極慣性矩。

1.6 動能

波形鋼腹板組合梁以豎彎為主模態(tài)振型的動能：

(10)

1.7 非保守力作功

由于只有外力P(t)作功，則非保守力作的虛功等于：

(11)

式中：Wnc(t)為非保守力；?為Dirac函數(shù)。

1.8 移動荷載下波形鋼腹板曲線組合梁的受迫振

動方程

根據(jù)Hamilton原理，一個平衡的體系在任何時間區(qū)間t1到t2內(nèi)，動能和位能的變分加上所考慮的非保守力所做的功的變分必須等于零。即

(12)

將式(5)、式(6)、式(7)、式(9)、式(10)和式(11)代入式(12)，根據(jù)變分原理，得到波形鋼腹板曲線組合箱梁在強迫振動下的運動方程組為：

(13)

(14)

(15)

(16)

邊界條件為：

1.9 振動方程的求解

本節(jié)利用伽遼金法進行求解，針對簡支曲線箱梁的撓度w、扭轉角φ、扭轉翹曲廣義位移、彎曲轉角θ，假設其形函數(shù)分別為：

(17)

式中：wn(t)、θn(t)、βn(t)、φn(t)為廣義振型坐標，是時間t的函數(shù)；φn(x)與κn(x)為主振型函數(shù)，波形鋼腹板簡支曲線組合梁豎彎振型中撓度w(x,t)、扭轉角φ(x,t)均在支座處為0，在跨中處達到峰值，形函數(shù)采用正弦函數(shù)；扭轉翹曲廣義位移函數(shù)β(x,t)與扭轉角φ(x,t)具有相似特性，也設為正弦函數(shù)；截面轉角θ(x,t)在兩端支座處達到最大值，在跨中取值為0，形函數(shù)可采用余弦函數(shù)表示。有：

(18)

(19)

將式(18)和式(19)代入式(17)，將式(17)代入式(13)～ 式(16)，得到

(20)

式中:a1、a2、b1、b2、b3、c1、c2、c3、c4、d1、d2、d3表達式如下，

d2=-Gc(Iρ-Id)

將式(20)方程組中的通解分成兩部分求解，即齊次解wnh、θnh、φnh、βnh和特解Pwn、Pθn、Pφn、Pβn，得齊次解求解矩陣為：

得到曲梁自振圓頻率為：

(21)

曲梁自振頻率為：

(22)

k1=d1-c2·d3,k2=b1·(c4·d2-c3·d3)+

c2·(a1·d3-b3·d2+b2·d3)-a2·c1·d3+

d1(b3·c3-a1-b2),k3=a1·b1·(c3·d3-

c4·d2)-a1·b3·c3·d1+(b2·d3-b3·d2)·

(a2·c1-a1·c2)

特解求解矩陣為：

(23)

(24)

本公式利用數(shù)學軟件MATLAB進行求解。

2 算例

本文采用文獻[5]中的CSB2試驗梁(計算跨徑4.4 m，曲線半徑8.8 m，跨徑比0.5)自振及相關有限元結果，對理論推導結果進行驗證。曲梁CSB2截面尺寸如圖4所示。

圖4 單箱雙室波形鋼腹板組合梁截面尺寸(單位：mm)

在有限元軟件ANSYS中建立相應曲梁模型如圖5所示。

圖5 單箱雙室波形鋼腹板組合梁模型

其中自振基頻對比如表1所示。

表1 波形鋼腹板曲梁豎向自振基頻對比

假定移動荷載為P(t)常量力，取P=1 000 N，移動速度取20 m/s。跨中豎向動撓度對比如圖6所示。

圖6 曲梁跨中豎向動撓度有限元解、理論解對比

由表1及圖6可以看出，理論計算自振基頻結果與試驗及有限元結果對比相對誤差均在5%以內(nèi)，理論計算跨中撓度曲線與有限元計算曲線變化趨勢基本相同，驗證了理論推導的正確性。

3 箱梁約束扭轉及腹板剪切變形對波形鋼腹板曲梁動力特性的影響

在文獻[5]提供的單箱雙室波形鋼腹板曲線簡支箱梁CSB2截面及本文所做理論推導的基礎上，考慮如下四種情況：

工況一，不考慮剪切變形和約束扭轉，將曲梁假設成簡單的歐拉梁，有扭轉翹曲應變能為零且η(x,t)=w′(x,t)-θ(x,t)=0，其它能量參數(shù)保持不變，求得的自振基頻及跨中豎向動撓度分別記為f1和w1。

工況二，考慮約束扭轉，不考慮腹板剪切變形。有η(x,t)=w′(x,t)-θ(x,t)=0，其它能量參數(shù)保持不變，自振基頻及跨中豎向動撓度分別記為f2和w2。

工況三，考慮腹板剪切變形，忽略箱梁約束扭轉，只考慮自由扭轉。此時扭轉翹曲應變能為零，約束扭轉剪切動應變能只由自由扭轉貢獻，其它能量參數(shù)保持不變，由此得到的自振基頻及跨中豎向動撓度分別記為f3和w3。

工況四，同時考慮腹板剪切變形和箱梁約束扭轉，由此得到的自振基頻及跨中豎向動撓度分別記為f4和w4。自振基頻對比結果見表2所示。

表2 四種工況下曲梁豎向自振基頻對比

假定移動荷載為P(t)常量力，取P=1 000 N，移動速度取20 m/s。將理論計算結果與有限元結果進行對比，結果見圖7所示。

圖7 四種情況下的曲梁跨中豎向動撓度時程

由表2及圖7可以看出，工況二相對工況一歐拉梁誤差較小，工況三及工況四誤差較大，說明箱梁約束扭轉對波形鋼腹板曲線組合梁的車輛沖擊振動響應影響較小，腹板的剪切變形影響較大。

4 結論

(1)本文采用能量變分法推導了波形鋼腹板簡支曲線組合梁在移動荷載下的振動微分方程，采用伽遼金法求解得到了其在移動荷載作用下的理論解，并通過與試驗值及有限元值對比驗證了理論解的正確性。

(2)在理論推導的基礎上，探究了箱梁腹板剪切變形和箱梁約束扭轉對波形鋼腹板曲梁動力特性的影響，結果表明：箱梁約束扭轉對波形鋼腹板曲線組合梁的車輛沖擊振動響應影響較小，腹板的剪切變形影響較大，計算中不應忽略。