張宇 ，孫偉 ，劉旭東

(1.東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng)，110819；2.東北大學(xué) 航空動(dòng)力裝備振動(dòng)及控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 沈陽(yáng)，110819)

航空發(fā)動(dòng)機(jī)管路系統(tǒng)主要用于傳輸燃油、滑油等工作介質(zhì)，是保證航空發(fā)動(dòng)機(jī)可靠工作的重要附件系統(tǒng)。航空發(fā)動(dòng)機(jī)外管路主要通過(guò)卡箍固定在機(jī)匣上，發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)部的轉(zhuǎn)子或者氣流激勵(lì)會(huì)通過(guò)機(jī)匣傳遞到管路，當(dāng)外激勵(lì)的頻率接近管路固有頻率時(shí)，管路系統(tǒng)會(huì)發(fā)生共振，從而大幅度增加管路的振動(dòng)幅度[1-2]。過(guò)大的振動(dòng)會(huì)導(dǎo)致管接頭裂紋、卡箍松動(dòng)甚至斷裂等故障，嚴(yán)重影響航空發(fā)動(dòng)機(jī)工作的安全性及可靠性，因而，需要采用有效的減振措施來(lái)控制管路的振動(dòng)?？ü康闹蝿偠燃白枘岬攘W(xué)參數(shù)會(huì)對(duì)管路系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性產(chǎn)生直接影響，采用調(diào)整卡箍布局使管路避開(kāi)發(fā)動(dòng)機(jī)的激振頻率被認(rèn)為是一種最經(jīng)濟(jì)、最有效的管路系統(tǒng)減振方法。

為了獲得最優(yōu)的卡箍布局，需要執(zhí)行管路系統(tǒng)的避振優(yōu)化，而執(zhí)行避振優(yōu)化的前提是要?jiǎng)?chuàng)建一個(gè)合理的管路系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析模型。航空發(fā)動(dòng)機(jī)中大部分管路處于充液狀態(tài)，因而需要研究充液管路的動(dòng)力學(xué)建模與分析方法。目前，以航空發(fā)動(dòng)機(jī)管路為對(duì)象進(jìn)行充液管路動(dòng)力學(xué)的研究較少，但是以輸油、輸氣和飛機(jī)液壓管路等為對(duì)象的充液管路動(dòng)力學(xué)已有大量研究，其建模方法包括傳遞矩陣法[3-4]、有限元法[5-6]、特征線法[7-8]、半解析法等。在這些建模方法中，半解析法由于所需自由度少、計(jì)算效率高得到了較為廣泛的應(yīng)用，如HUANG 等[9]根據(jù)Hamilton變分原理得到了輸液管路的振動(dòng)方程，并采用消元Galerkin法求解了特殊邊界條件下輸液管路的固有頻率；初飛雪[10]根據(jù)Hamilton 原理推導(dǎo)了輸液管路的振動(dòng)變分方程，采用直接解法求解了兩端簡(jiǎn)支管路的固有頻率及臨界流速；LIANG 等[11]以Euler-Bernoulli梁模擬管路，采用微分求積法及Laplace 變換分析了充液管路的振動(dòng)特性；LI 等[12]使用He's 變分迭代法對(duì)輸液管路進(jìn)行了自由振動(dòng)分析，得到了在不同邊界條件下管路的臨界流速和臨界頻率。現(xiàn)有的大部分管路系統(tǒng)半解析建模理論針對(duì)的是經(jīng)典邊界條件下的管路，對(duì)于多卡箍支撐的管路結(jié)構(gòu)并不適用，因此需對(duì)其重新進(jìn)行半解析建模。

以減振為目標(biāo)，一些學(xué)者針對(duì)管路系統(tǒng)卡箍布局優(yōu)化開(kāi)展了研究，例如ZHANG等[13]以調(diào)節(jié)管路固有頻率及動(dòng)態(tài)響應(yīng)最小化為優(yōu)化目標(biāo)，采用遺傳算法求解得到了最優(yōu)的卡箍位置。李鑫等[14]采用粒子群優(yōu)化算法，以系統(tǒng)特征阻抗最小為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行了卡箍的布局優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)了充液管路的減振。GAO 等[15]以管路基頻與激勵(lì)頻率差值最大及管路位移響應(yīng)為優(yōu)化目標(biāo)，通過(guò)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立優(yōu)化的代理模型并使用遺傳算法進(jìn)行求解，顯著降低了管路系統(tǒng)的振動(dòng)。劉偉等[16]以基頻與激勵(lì)頻率差值最大化及隨機(jī)振動(dòng)的響應(yīng)均方差最小化為目標(biāo)，使用罰函數(shù)法對(duì)管路系統(tǒng)的卡箍位置進(jìn)行了優(yōu)化。柳強(qiáng)等[17]以管路的1階和2階固有頻率為優(yōu)化目標(biāo)，使用Kriging 模型和NSGA-Ⅱ算法求解了最佳卡箍位置，大大提高了優(yōu)化效率。TANG等[18]以卡箍位置為設(shè)計(jì)變量，以液壓管路的累計(jì)疲勞損傷失效概率作為優(yōu)化目標(biāo)，采用序列二次規(guī)劃法進(jìn)行了求解，優(yōu)化后顯著提升了管路的動(dòng)力學(xué)性能?？偟膩?lái)看，目前對(duì)于管路的卡箍位置優(yōu)化以空管為主，雖然也有一些針對(duì)充液管路的卡箍位置優(yōu)化，但是并沒(méi)有明確液體參數(shù)對(duì)于充液管路卡箍布局優(yōu)化結(jié)果的影響。

本文作者以多卡箍支撐充液管路為研究對(duì)象，采用半解析方法建立動(dòng)力學(xué)模型，介紹建模的原理及流程。隨后根據(jù)航空發(fā)動(dòng)機(jī)的實(shí)際工作情況，建立以1階固有頻率最大為優(yōu)化目標(biāo)，以卡箍位置為設(shè)計(jì)變量的優(yōu)化模型并采用粒子群算法進(jìn)行優(yōu)化求解。最后，通過(guò)與文獻(xiàn)比對(duì)驗(yàn)證了所建立的半解析模型的正確性，進(jìn)一步以三卡箍充液管路為實(shí)例實(shí)施了卡箍布局優(yōu)化研究，并分析了液體質(zhì)量、流速以及管徑等對(duì)卡箍布局優(yōu)化結(jié)果的影響。

1 多卡箍支承充液管路半解析建模

圖1所示為含有N個(gè)卡箍支撐的充液管路，其中，l為管路總長(zhǎng)度，D和d分別為管的外徑和內(nèi)徑，v為管內(nèi)液體流速。由于充液管路含有多個(gè)卡箍支撐，因此屬于超靜定結(jié)構(gòu)，為了完成其半解析建模，將該系統(tǒng)分為空管、卡箍、管內(nèi)流體3個(gè)部分，每一部分單獨(dú)進(jìn)行能量分析，最后再進(jìn)行組合，最終推導(dǎo)出充液管路總的動(dòng)力學(xué)方程。

圖1 多卡箍支撐充液管路模型Fig.1 Liquid-filled pipeline model with multi-clamp support

1.1 能量分析

管路系統(tǒng)的橫向位移w可表示為

式中：ω為管的振動(dòng)頻率；φ為相位；W(x)為系統(tǒng)的振型函數(shù)，可表達(dá)為

式中：ai為待定系數(shù)；Pi(x)為一系列特征多項(xiàng)式，可由Graham-Schmidt 正交化求得[19]，求解的基本過(guò)程如下：

對(duì)?k(x)進(jìn)行歸一化處理可得：

特征多項(xiàng)式Pi(x)滿足以下正交條件：

1.1.1 空管管體能量分析

由Euler-Bernoulli 梁理論，空管部分的勢(shì)能Vp和動(dòng)能Tp分別為

式中：EI為管的抗彎剛度；mp為管的單位長(zhǎng)度質(zhì)量。

在偏離平衡位置最遠(yuǎn)處，管路具有最大勢(shì)能Vpmax，在靜平衡位置具有最大動(dòng)能Tpmax，其表達(dá)式分別為

1.1.2 卡箍能量分析

參照已有的卡箍動(dòng)力學(xué)建模[20-21]，卡箍可以用彈簧-阻尼單元來(lái)進(jìn)行模擬，并忽略阻尼效應(yīng)，將1 個(gè)卡箍等效為2 對(duì)彈簧單元，每對(duì)彈簧單元由1個(gè)線性彈簧和1個(gè)扭轉(zhuǎn)彈簧組成，卡箍部分的簡(jiǎn)化模型如圖2所示，以管路的左端點(diǎn)為原點(diǎn)O，由原點(diǎn)向右為正方向，xk(k=1,2,…,2N)為第k對(duì)彈簧距原點(diǎn)O的距離，線性彈簧的支撐剛度為Kv，扭轉(zhuǎn)彈簧的扭轉(zhuǎn)剛度為Kθ，每個(gè)卡箍對(duì)應(yīng)的彈簧剛度均相同。

圖2 卡箍簡(jiǎn)化模型Fig.2 Simplified clamp model

位于xk處的彈簧對(duì)的勢(shì)能為

1.1.3 流體介質(zhì)能量分析

設(shè)管內(nèi)的液體流動(dòng)速度恒為v，流體的單位長(zhǎng)度質(zhì)量為mf，則管內(nèi)流體的動(dòng)能Tf和最大動(dòng)能Tfmax分別為

將空管、卡箍、流體的最大勢(shì)能和最大動(dòng)能相加，得到多卡箍支撐充液管路的總勢(shì)能Vmax和總動(dòng)能Tmax分別為

1.2 動(dòng)力學(xué)模型

將式(2)分別代入式(10)，(11)，(13)和(16)中可得：

針對(duì)式(19)～(22)，設(shè)空管的剛度Kpij及質(zhì)量Mpij、第k對(duì)彈簧的剛度、流體的剛度Kfij及質(zhì)量Mfij分別為

進(jìn)一步，設(shè)I=Vpmax+Vgmax-Tpmax-Tfmax=Vmax-Tmax，利用拉格朗日方程

得到多卡箍支撐充液管路的動(dòng)力學(xué)方程為

式中：K為剛度矩陣，K=Kp+Kg+Kf，Kp為空管管體的剛度矩陣，Kg為卡箍的剛度矩陣，Kf為流體的剛度矩陣；M為質(zhì)量矩陣，M=Mp+Mf，Mp為管體的質(zhì)量矩陣，Mp為流體的質(zhì)量矩陣。

求解式(29)，可以得到多卡箍支撐充液管路的前n階固有頻率fr，其中，r=1，2，…，n。

2 多卡箍支承充液管路布局優(yōu)化

為了進(jìn)行多卡箍支撐充液管路卡箍的位置優(yōu)化，首先需要建立合理的動(dòng)力學(xué)優(yōu)化模型，同時(shí)選擇合適的算法對(duì)模型進(jìn)行求解。

2.1 優(yōu)化模型

大部分管路剛性較大，因而在管路系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，選擇管路系統(tǒng)1階固有頻率大于等于激振頻率的1.25 倍[22]，保證管路系統(tǒng)所有固有頻率避開(kāi)激振頻率。這里選擇充液管路1階固有頻率f1最大為本文的優(yōu)化目標(biāo)。

設(shè)計(jì)變量示意圖見(jiàn)圖3，圖中，Di為第i個(gè)卡箍左端面與管路最左端的距離，其中i=1，2，…，N。以卡箍在管路中的位置Di為設(shè)計(jì)變量，根據(jù)相關(guān)設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)的內(nèi)容[23]，兩個(gè)卡箍之間存在最大距離的要求，卡箍不可能在管路上隨意布置，圖3中的虛線框區(qū)域?yàn)楦鱾€(gè)卡箍的允許布置區(qū)域，每個(gè)卡箍都有其移動(dòng)的上下限，設(shè)Dli和Dui分別為第i個(gè)卡箍的移動(dòng)下限及上限，即Dli≤Di≤Dui。

圖3 設(shè)計(jì)變量示意圖Fig.3 Schematic diagram of design variables

最終，建立的多卡箍支撐充液管路的卡箍布局優(yōu)化模型為

需要說(shuō)明的是，為了研究充液狀態(tài)對(duì)卡箍布局優(yōu)化結(jié)果的影響，在整個(gè)優(yōu)化模型中，并未引入外界對(duì)管路的激振頻率。

2.2 優(yōu)化求解

采用粒子群優(yōu)化(particle swarm optimization,PSO)[24-25]對(duì)上述優(yōu)化模型進(jìn)行求解。粒子群優(yōu)化算法中粒子、位置、速度、適應(yīng)度、個(gè)體最優(yōu)值、全局最優(yōu)值等術(shù)語(yǔ)與本研究中卡箍布局優(yōu)化模型之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系見(jiàn)表1。

表1 粒子群優(yōu)化中的術(shù)語(yǔ)與卡箍布局優(yōu)化的對(duì)應(yīng)關(guān)系Table 1 Relationship between terms in PSO and clamp layout optimization

本研究的優(yōu)化目標(biāo)為多卡箍支撐充液管路的1階固有頻率最大，是單目標(biāo)優(yōu)化，根據(jù)粒子群算法的基本思想，充液管路卡箍布局優(yōu)化的算法流程如下。

1) 初始化粒子。選擇Z組粒子，賦予每個(gè)粒子隨機(jī)的初始卡箍位置，組成初始的卡箍位置點(diǎn)集合，并賦予初始速度。

2) 計(jì)算適應(yīng)度。根據(jù)給出的每組初始卡箍位置點(diǎn)信息(即一個(gè)粒子)分別計(jì)算其對(duì)應(yīng)的充液管路的1階固有頻率。

3) 計(jì)算個(gè)體最優(yōu)值。對(duì)每組卡箍位置點(diǎn)，將其當(dāng)前得到的1階固有頻率與其先前迭代過(guò)程得到的個(gè)體最優(yōu)值進(jìn)行比較，若當(dāng)前的1階固有頻率更大，則用當(dāng)前的1階固有頻率取代其先前的個(gè)體最優(yōu)值，成為新的個(gè)體最優(yōu)值。

4) 計(jì)算全局最優(yōu)值。對(duì)全部卡箍位置點(diǎn)(所有Z組粒子)，將當(dāng)前得到的1階固有頻率與先前得到的全局最優(yōu)值進(jìn)行比較，若當(dāng)前的1階固有頻率更大，則用當(dāng)前的1 階固有頻率取代其全局最優(yōu)值，成為新的全局最優(yōu)值。

5) 更新粒子速度和位置。按照算法的迭代規(guī)則，由新的個(gè)體最優(yōu)值和全局最優(yōu)值得到新的卡箍位置點(diǎn)集合的位置及速度信息，準(zhǔn)備進(jìn)行下一次的迭代計(jì)算。

6) 判斷是否滿足中止條件。若滿足則輸出當(dāng)前的全局最優(yōu)值作為優(yōu)化得到的最優(yōu)值，并記錄其對(duì)應(yīng)的卡箍位置點(diǎn)；若不滿足，則返回步驟2)，開(kāi)始新一輪的計(jì)算。

3 實(shí)例研究

以三卡箍支撐充液直管為例，對(duì)其進(jìn)行半解析建模以及實(shí)施充液管路卡箍布局優(yōu)化，充液直管的管長(zhǎng)l=500 mm，外徑D=8 mm，內(nèi)徑d=6.4 mm，彈性模量E=1.99×1011Pa，管材密度ρp=7 850 kg/m3，泊松比μ=0.3，管內(nèi)液體密度ρf=1 000 kg/m3，用于模擬卡箍的線性彈簧的剛度Kv=4.3×105N/m，扭轉(zhuǎn)彈簧的剛度Kθ=80 N·m/rad，3個(gè)卡箍的剛度相同，卡箍的寬度為14 mm。

3.1 模型正確性校驗(yàn)

文獻(xiàn)[5]使用有限元法求解管路的固有特性，以文獻(xiàn)[5]中的充液懸臂管為對(duì)象驗(yàn)證所建立的半解析模型的準(zhǔn)確性，懸臂管模型[5]如圖4所示，懸臂管長(zhǎng)度l為1 010 mm，外徑D為22.85 mm，內(nèi)徑d為19.65 mm，管材密度為2 800 kg/m3，彈性模量為70 GPa，泊松比為0.3，管內(nèi)液體密度為1 000 kg/m3。當(dāng)管內(nèi)液體速度v=10 m/s時(shí)，充液懸臂管的前4階固有頻率如表2所示。

圖4 充液懸臂管模型[5]Fig.4 Liquid-filled cantilever pipeline model[5]

表2 充液懸臂管各階固有頻率Table 2 Natural frequencies of liquid-filled cantilever pipe

由表2可以看出，采用有限元法得到的該充液懸臂管模型的前4階固有頻率與本文采用半解析法建模得到的前4階固有頻率差別較小，證明了本文采用半解析法建模求解充液管路固有頻率的準(zhǔn)確性。

3.2 振動(dòng)特性分析

三卡箍支撐充液直管模型如圖5 所示，3 個(gè)卡箍在管路上的初始位置分別為D1=75 mm，D2=250 mm 和D3=425 mm，管內(nèi)液體以速度v勻速流動(dòng)。

圖5 三卡箍支撐充液管路Fig.5 Three-clamp support liquid filling pipeline

在考慮流體作用時(shí)，設(shè)置流速分別為0，2，5和10 m/s 的工況。在不同流速下空管及充液直管前3階固有頻率如表3所示。

表3 空管及充液管路固有頻率對(duì)比Table 3 Comparison of natural frequencies of empty pipe and liquid-filled pipe

由表3可以看出，由于液體質(zhì)量的影響，充液管路的各階固有頻率相比空管的下降較大；隨著流速增大，在考慮的速度范圍內(nèi)，各充液管路的各階固有頻率變化較小。可見(jiàn)，在低流速下?tīng)顟B(tài)下計(jì)算充液管路的固有頻率時(shí)，可忽略液體流速的影響，只需要考慮液體質(zhì)量的影響，將液體質(zhì)量視為管路的附加質(zhì)量進(jìn)行計(jì)算。

3.3 優(yōu)化求解

以三卡箍支撐充液管路的1階固有頻率f1最大為優(yōu)化目標(biāo)，采用粒子群優(yōu)化算法對(duì)充液管路的卡箍位置進(jìn)行優(yōu)化，設(shè)置粒子群算法中的各項(xiàng)參數(shù)如下：粒子數(shù)Z=50、最大迭代次數(shù)T=100，各個(gè)卡箍的允許布置范圍為Dl1=2 mm、Du1=150 mm、Dl2=170 mm、Du2=316 mm、Dl3=336 mm、Du3=484 mm。先針對(duì)空管，驗(yàn)證優(yōu)化算法的有效性，設(shè)優(yōu)化前的卡箍位置為D1=75 mm，D2=250 mm 和D3=425 mm，計(jì)算其1階固有頻率，再使用粒子群優(yōu)化算法對(duì)該空管模型進(jìn)行卡箍位置優(yōu)化，優(yōu)化結(jié)果如表4所示。

表4 空管優(yōu)化前后結(jié)果對(duì)比Table 4 Comparison of results before and after optimization for empty pipeline

由表4可以看出，采用粒子群優(yōu)化算法對(duì)管路卡箍位置進(jìn)行優(yōu)化后，管路的1階固有頻率提升了約68 Hz，驗(yàn)證了所采用的粒子群優(yōu)化算法的有效性。

優(yōu)化過(guò)程中1階固有頻率的變化及優(yōu)化進(jìn)程如圖6 所示。從圖6 可以看出，當(dāng)計(jì)算到第10 代時(shí)，結(jié)果開(kāi)始收斂并得到最優(yōu)值。

圖6 1階固有頻率優(yōu)化迭代過(guò)程Fig.6 Optimize iterative process of the first-order natural frequency

3.3.1 充液對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響

將空管的優(yōu)化結(jié)果與流速為2 m/s 狀態(tài)下充液管路的優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，2組管路優(yōu)化前的卡箍位置均為D1=75 mm，D2=250 mm 和D3=425 mm，管路優(yōu)化結(jié)果如表5所示。

表5 空管及充液管路的優(yōu)化結(jié)果Table 5 Optimization results of pipeline under condition of empty and liquid filled

由表3 和表5 可知，充液管路優(yōu)化后的1 階固有頻率提升了約63 Hz，與表4 對(duì)比可知，空管和充液管路的優(yōu)化效果相差不大。與振動(dòng)分析結(jié)果相似，充液管路系統(tǒng)卡箍位置優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)值也顯著減小。但是對(duì)于設(shè)計(jì)變量最優(yōu)值來(lái)說(shuō)，空管及充液管路的最佳卡箍位置是相同的，說(shuō)明充液與否對(duì)卡箍布局優(yōu)化結(jié)果沒(méi)有影響。

3.3.2 流速對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響

為了研究管內(nèi)流體速度變化對(duì)于優(yōu)化結(jié)果的影響，設(shè)置流速分別為0，2，5和10 m/s，不同流速工況下優(yōu)化后的管路系統(tǒng)的1階固有頻率及最佳卡箍位置如表6所示。

表6 不同流速下充液管路的優(yōu)化結(jié)果Table 6 Optimization results of pipeline filled liquid at different flow rates

由表6可以看出，當(dāng)管內(nèi)流體速度增大時(shí)，管路系統(tǒng)優(yōu)化后的目標(biāo)函數(shù)值略微減小，這與3.2節(jié)振動(dòng)分析的結(jié)果是一致的。但是，各個(gè)流速狀態(tài)下優(yōu)化后的設(shè)計(jì)變量最優(yōu)值是相同的，也即卡箍布局優(yōu)化結(jié)果相同。綜上可認(rèn)為管內(nèi)流體速度對(duì)充液管路卡箍位置優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)值略有影響，在低速狀態(tài)下，可認(rèn)為目標(biāo)函數(shù)值基本不變，而對(duì)卡箍布局最優(yōu)值完全沒(méi)有影響。

3.3.3 管徑對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響

為了分析管徑對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響，設(shè)置管徑分別為8，10，12，14和16 mm的直管，其余參數(shù)均相同，5 組管路均在流速2 m/s 下進(jìn)行卡箍位置優(yōu)化，優(yōu)化結(jié)果如表7所示。

表7 不同管徑管路的優(yōu)化結(jié)果Table 7 Optimization results of pipeline with different pipe diameters

由表7可以看出，優(yōu)化后的目標(biāo)函數(shù)值隨著管徑的增大而增大，這主要是因?yàn)楣苄偷淖兓瘜?dǎo)致的，但是各個(gè)管徑的設(shè)計(jì)變量最優(yōu)值基本相同，僅相差約1 mm，考慮到實(shí)際管路安裝中的誤差，偏差可以忽略不計(jì)。

綜合以上結(jié)果分析可知：1) 若僅以最大1階固有頻率為優(yōu)化目標(biāo)，則可以不考慮管路中的液體，僅以空管動(dòng)力學(xué)模型為基礎(chǔ)模型進(jìn)行優(yōu)化，不影響卡箍布局優(yōu)化結(jié)果；2) 若要考慮管路的1階固有頻率遠(yuǎn)離激振頻率的程度，則必須以充液管路為基礎(chǔ)模型進(jìn)行卡箍布局優(yōu)化；3) 在進(jìn)行充液管路的卡箍布局優(yōu)化時(shí)，在低速狀態(tài)下，可以不考慮流速的影響，而僅將液體視為附加質(zhì)量；4) 對(duì)于管型相同僅管徑不同的管路，若僅以最大1階固有頻率為優(yōu)化目標(biāo)，則可以忽略管徑的影響。

4 結(jié)論

1) 提出多卡箍支撐充液管路的半解析建模方法有效模擬充液管路的振動(dòng)特性，并建立了通用的優(yōu)化模型。以卡箍的支撐位置為設(shè)計(jì)變量，以充液管路1階固有頻率f1最大為優(yōu)化目標(biāo)，采用粒子群優(yōu)化算法對(duì)該優(yōu)化模型進(jìn)行求解，該算法可快速獲得不同工況下卡箍布局優(yōu)化的最優(yōu)解。

2) 若僅以最大1階固有頻率為優(yōu)化目標(biāo)，則可以不考慮管路中的液體，而僅以空管動(dòng)力學(xué)模型為基礎(chǔ)模型執(zhí)行卡箍布局優(yōu)化；若要考慮管路1階固有頻率遠(yuǎn)離激振頻率的程度，則必須以充液管路為基礎(chǔ)模型進(jìn)行優(yōu)化。

3) 在對(duì)充液管路的卡箍布局進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，在低速狀態(tài)下，可以不考慮流速的影響。

4) 當(dāng)管路的管型相同僅管徑不同時(shí)，在僅以最大1階固有頻率為優(yōu)化目標(biāo)的前提下，可忽略管徑的影響。