周云良 盧 昕

(武漢大學(xué) 電子信息學(xué)院， 武漢 430072)

“信號(hào)與系統(tǒng)”課程是武漢大學(xué)電子信息學(xué)院電子信息類相關(guān)專業(yè)(如電子信息工程、通信工程、電波傳播與天線等)的一門技術(shù)基礎(chǔ)課程，該課程的核心任務(wù)是要構(gòu)建一座從數(shù)學(xué)到物理和工程技術(shù)的橋梁，引導(dǎo)學(xué)生從理論學(xué)習(xí)過渡到專業(yè)工程訓(xùn)練[1]?！靶盘?hào)與系統(tǒng)”課程理論性和實(shí)踐性都很強(qiáng)，涵蓋的知識(shí)點(diǎn)廣，公式性質(zhì)多，若以傳統(tǒng)的教學(xué)方法和手段來教學(xué)，學(xué)生難免感覺枯燥乏味，造成學(xué)生學(xué)習(xí)積極性不高、教學(xué)效果大打折扣的局面。信號(hào)的頻譜分析是“信號(hào)與系統(tǒng)”課程的重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容，它以傅里葉變換為工具，將信號(hào)由時(shí)域變換到頻域，進(jìn)而在頻域分析信號(hào)的特征。在這部分內(nèi)容學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生通常剛開始接觸頻域，對(duì)頻域分析的基本概念和理論覺得抽象難懂，難以理解。針對(duì)上述問題，將介紹一種關(guān)于信號(hào)頻譜分析的教學(xué)實(shí)例。該實(shí)例中，用太陽(yáng)黑子數(shù)表征太陽(yáng)活動(dòng)強(qiáng)弱，利用頻域分析方法來研究太陽(yáng)活動(dòng)的周期性；旨在將理論知識(shí)與實(shí)際應(yīng)用問題相結(jié)合，深化學(xué)生對(duì)信號(hào)頻域分析的相關(guān)概念和理論的理解。

太陽(yáng)是太陽(yáng)系的一顆恒星，太陽(yáng)活動(dòng)是指太陽(yáng)大氣中局部區(qū)域在有限時(shí)間內(nèi)所發(fā)生的現(xiàn)象，包括太陽(yáng)黑子、耀斑、日珥、日冕物質(zhì)拋射等現(xiàn)象。其中，太陽(yáng)黑子是日面上出現(xiàn)的小黑點(diǎn)，是光球中溫度低、輻射弱、磁場(chǎng)強(qiáng)的區(qū)域。日面上太陽(yáng)黑子的多少，即太陽(yáng)黑子數(shù)，與太陽(yáng)活動(dòng)的劇烈程度存在密切的關(guān)系[2]，一直被廣泛地被用作表示太陽(yáng)活動(dòng)高低的指數(shù)，它最早由瑞士蘇黎世天文臺(tái)的沃爾夫于1848年引入，也稱為沃爾夫數(shù)，可表示為[2-4]

R=K(10g+f)

(1)

其中，f為日面上觀測(cè)到的黑子個(gè)數(shù)；g為黑子群數(shù)；系數(shù)K隨觀測(cè)人員和觀測(cè)儀器的不同而不同，以使不同天文臺(tái)觀測(cè)到的太陽(yáng)黑子數(shù)相同。通過對(duì)太陽(yáng)黑子數(shù)的長(zhǎng)期觀測(cè)，發(fā)現(xiàn)太陽(yáng)活動(dòng)具有周期性的變化規(guī)律，太陽(yáng)活動(dòng)的周期性變化對(duì)氣象現(xiàn)象、氣候變化和高層大氣特征等產(chǎn)生顯著影響[3]，因此對(duì)太陽(yáng)活動(dòng)周期性分析具有重要的意義。

將以1964-2021年期間太陽(yáng)黑子數(shù)隨時(shí)間的變化為研究對(duì)象，介紹太陽(yáng)活動(dòng)周期性分析的教學(xué)實(shí)例，旨在引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)例出發(fā)，利用傅里葉變換和頻域分析的相關(guān)概念和理論，分析和解決實(shí)際問題。用于分析的太陽(yáng)黑子數(shù)從以下網(wǎng)站下載：https://omniweb.gsfc.nasa.gov/form/dx1.html。

1 傅里葉變換及其數(shù)值計(jì)算

傅里葉變換是信號(hào)頻域分析的工具，它實(shí)現(xiàn)將信號(hào)由時(shí)域過渡到頻域的變換，從而可在頻域分析信號(hào)的特征。自1822年法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉提出傅里葉分析方法后，該方法在物理學(xué)、光學(xué)、力學(xué)、信號(hào)處理等領(lǐng)域得到廣泛而普遍的應(yīng)用。傅里葉變換及其反變換的表達(dá)式為[1]

(2)

(3)

其中，f(t)是以時(shí)間t為變量的連續(xù)時(shí)間信號(hào)，F(xiàn)(ω)是以頻率ω為自變量的函數(shù)，即f(t)的頻譜密度函數(shù)。

(4)

假定F(ω)的主要取值區(qū)間位于[ω1,ω2]，并取Δω=(ω2-ω1)/K為頻率抽樣間隔，則在[ω1,ω2]區(qū)間內(nèi)，F(xiàn)(ω)均勻抽樣的K個(gè)值可表示為[5]

(5)

其中，k=0，1，…，K-1。根據(jù)(5)式，可計(jì)算得到信號(hào)f(t)抽樣后的頻譜變化特征。

(6)

若只考慮時(shí)域抽樣點(diǎn)上N個(gè)采樣值，則有[5]

(7)

其中，n=0，1，…，N-1。根據(jù)(7)式可以合成出原時(shí)域信號(hào)。

可見，在已知時(shí)域抽樣信號(hào)的條件下，根據(jù)傅里葉變換的數(shù)值計(jì)算方法，可得到時(shí)域抽樣信號(hào)的頻譜；另一方面，由上述頻譜通過傅里葉反變換的數(shù)值計(jì)算方法可合成出原時(shí)域信號(hào)。

2 太陽(yáng)活動(dòng)的周期性分析

在介紹完傅里葉變換及其數(shù)值計(jì)算方法后，下面將其應(yīng)用于太陽(yáng)活動(dòng)的周期性分析。這里用太陽(yáng)黑子數(shù)表征太陽(yáng)活動(dòng)的劇烈程度，重點(diǎn)分析1964年1月1日到2021年4月30日期間太陽(yáng)黑子數(shù)日均值的變化特征，利用傅里葉變換的數(shù)值計(jì)算方法計(jì)算太陽(yáng)黑子數(shù)變化的頻譜，在此基礎(chǔ)上可獲得其主要的頻率分量，進(jìn)而確定太陽(yáng)活動(dòng)的周期。

圖1所示為1964年1月1日到2021年4月30日期間太陽(yáng)黑子數(shù)的日均值隨時(shí)間的變化。

圖1 太陽(yáng)黑子數(shù)日均值隨時(shí)間的變化

由圖1可見，太陽(yáng)黑子數(shù)的日均值通常在0～400之間變化；1964年初，太陽(yáng)黑子數(shù)較少，隨后太陽(yáng)黑子數(shù)增加，在1969年左右太陽(yáng)黑子數(shù)接近300，達(dá)到峰值；在此之后，太陽(yáng)黑子數(shù)逐漸減少，在1975年左右太陽(yáng)黑子數(shù)接近0，達(dá)到谷值。在1964年到2020年近57年期間，太陽(yáng)黑子數(shù)隨時(shí)間變化出現(xiàn)5個(gè)峰值，分別出現(xiàn)在1969年、1980年、1990-1991年、2000-2001年、2014年附近；同時(shí)在此期間出現(xiàn)6個(gè)谷值，分別出現(xiàn)在1964年、1976-1977年、1986-1987年、1996-1997年、2008-2009年、2020年附近?？梢?，太陽(yáng)黑子數(shù)隨時(shí)間的變化，即太陽(yáng)活動(dòng)的強(qiáng)弱，呈現(xiàn)周期性變化特征，由圖1中相鄰兩個(gè)峰值或谷值之間的時(shí)間間隔，可大致判斷出太陽(yáng)活動(dòng)周期平均約為11年。

圖2 太陽(yáng)黑子數(shù)變化的幅度譜

由圖2可見太陽(yáng)黑子數(shù)變化的幅度譜在低頻端(ω=0附近)出現(xiàn)明顯的峰值，為了清晰地觀察太陽(yáng)黑子數(shù)變化的主要頻率成分，聚焦低頻端的幅度譜，如圖3所示。由圖3可見太陽(yáng)黑子數(shù)變化幅度譜的峰值出現(xiàn)在ω=1.7364×10-8rad/s附近，表明主要成分的頻率為f=2.7636×10-9Hz，對(duì)應(yīng)的周期約為11.47年。這與圖1中太陽(yáng)黑子數(shù)隨時(shí)間變化的特征相符。

圖3 太陽(yáng)黑子數(shù)的幅度譜在峰值附近的變化特征

根據(jù)(7)式可知，由傅里葉變換數(shù)值計(jì)算方法得到的頻譜可合成恢復(fù)出太陽(yáng)黑子數(shù)隨時(shí)間的變化。圖4中給出了合成恢復(fù)后的太陽(yáng)黑子數(shù)隨時(shí)間的變化。將圖4中合成恢復(fù)后的太陽(yáng)黑子數(shù)與圖1中顯示的原始太陽(yáng)黑子數(shù)對(duì)比，可見合成恢復(fù)后的太陽(yáng)黑子數(shù)能很好地重現(xiàn)原始太陽(yáng)黑子數(shù)的幅度及其隨時(shí)間的變化特征。圖5中給出了合成恢復(fù)后的太陽(yáng)黑子數(shù)和圖1中原始太陽(yáng)黑子數(shù)的差別，二者之間的差別約小于0.06。這些表明，通過傅里葉變換數(shù)值計(jì)算得到的頻譜能表征太陽(yáng)黑子數(shù)變化的頻域特征，時(shí)域信號(hào)與頻域信號(hào)之間通過傅里葉變換可以相互轉(zhuǎn)換，圖2和3中的幅度譜可用來確定太陽(yáng)活動(dòng)的主要頻率成分和對(duì)應(yīng)周期。

圖4 合成恢復(fù)的太陽(yáng)黑子數(shù)隨時(shí)間的變化

圖5 原始的太陽(yáng)黑子數(shù)與合成恢復(fù)后的太陽(yáng)黑子數(shù)之間的差別

3 結(jié)語(yǔ)

信號(hào)的頻譜分析是“信號(hào)與系統(tǒng)”學(xué)習(xí)課程中的重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容，在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)，由于學(xué)生剛接觸頻域的分析方法，很難較好地理解信號(hào)頻域分析的所涉及的抽象概念和理論。針對(duì)上述問題，介紹了一種信號(hào)頻譜分析的教學(xué)實(shí)例，即太陽(yáng)活動(dòng)的周期性分析。該實(shí)例中以太陽(yáng)黑子數(shù)表征太陽(yáng)活動(dòng)性的強(qiáng)弱，引導(dǎo)學(xué)生利用傅里葉正變換的數(shù)值計(jì)算方法，得到太陽(yáng)黑子數(shù)變化的頻譜，在此基礎(chǔ)上確定太陽(yáng)活動(dòng)變化的主要頻率分量和對(duì)應(yīng)的周期。此外，也可通過傅里葉反變換的數(shù)值計(jì)算，實(shí)現(xiàn)由上述頻譜合成恢復(fù)出原太陽(yáng)黑子數(shù)隨時(shí)間變化的特征。通過該教學(xué)實(shí)例，學(xué)生能更好地理解信號(hào)既可從時(shí)域描述也可從頻域來描述、從時(shí)域描述的信號(hào)可反映信號(hào)隨時(shí)間變化的特征、從頻域描述的信號(hào)可以確定信號(hào)的主要頻率成分和對(duì)應(yīng)的周期、傅立葉正反變換提供了信號(hào)的時(shí)域描述和頻域描述之間相互轉(zhuǎn)換的工具等基本概念和基本理論。該教學(xué)實(shí)例注重理論與實(shí)踐相結(jié)合，可提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)又有利于培養(yǎng)和鍛煉學(xué)生利用理論知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。