福建省福清第三中學(xué) (350315)

何文昌

福建省福清三山中學(xué) (350318)

念 杰

不等式、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題經(jīng)常涉及多個(gè)變量，這類問(wèn)題綜合性大，技巧性強(qiáng)，學(xué)生往往無(wú)從下手，給學(xué)生的求解帶來(lái)較大的困難.下面就“含多個(gè)變量問(wèn)題”的“整元、換元、變?cè)辈呗宰饕惶轿觯c同行交流.

一、整元——整合變量

評(píng)注：以上問(wèn)題求解的難點(diǎn)在于它是含三個(gè)變量的問(wèn)題，需要把式子變形轉(zhuǎn)換成同構(gòu)式，用單調(diào)性的定義把同構(gòu)式轉(zhuǎn)化為雙變量問(wèn)題，再分離參數(shù)轉(zhuǎn)化成單變量問(wèn)題，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)求解，求解過(guò)程用到整元策略.

二、換元——轉(zhuǎn)換變量

(1)若f(x)≥0，求a的取值范圍；

(2)證明：若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2，則x1x2<1.

三、定元——確定主次

例3 (2022年北京卷第21題)已知函數(shù)f(x)=exln(1+x).

(1)略；(2)設(shè)g(x)=f′(x)，討論g(x)在[0,+∞)上的單調(diào)性；

(3)證明：對(duì)任意的s,t∈(0,+∞)，有f(s+t)>f(s)+f(t).

∴g′(x)>0對(duì)任意x∈[0,+∞)恒成立，g(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增.

(3)設(shè)m(s)=f(s+t)-f(s)-f(t)，則m′(s)=f′(s+t)-f′(s)=g(s+t)-g(s).由于g(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增，且s+t>s>0，則g(s+t)>g(s)，因此m′(s)=g(s+t)-g(s)>0，m(s)在(0,+∞)上遞增，故m(s)>m(0)=f(0+t)-f(0)-f(t)=-f(0)=0，因此，對(duì)任意的s,t∈(0,+∞)，有f(s+t)>f(s)+f(t).

評(píng)注：本題第(3)問(wèn)中f(s+t)>f(s)+f(t)中有雙變量，因?yàn)閟,t彼此獨(dú)立、地位相同，可以把一個(gè)變量確定為主元(自變量)，另一個(gè)變量確定為次元(參數(shù))，通過(guò)移項(xiàng)、構(gòu)造函數(shù)，把雙變量問(wèn)題轉(zhuǎn)化成單變量問(wèn)題，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而證明結(jié)論，證明過(guò)程用到定元策略.