浙江省寧波市鄞州中學(xué) (315104)

楊 潔

新修訂的普通高中課程方案明確指出：“重視以學(xué)科大概念為核心,使課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化,以主題為引領(lǐng),使課程內(nèi)容情境化,促進(jìn)學(xué)科核心素養(yǎng)的落實(shí).”[1]可見，大概念的提出為有效的課堂教學(xué)組織提供了路徑.最近,筆者再次回顧了兩節(jié)主題為“點(diǎn)到直線的距離公式”市級公開課,上課采用的是“同課異構(gòu)”形式，兩節(jié)課最大的差異就體現(xiàn)在公式推導(dǎo)方法的處理上.到底哪種做法更加自然、更加符合學(xué)生的認(rèn)知水平？

1 教學(xué)過程簡介與分析

“兩點(diǎn)之間距離最短”是歐式幾何的本質(zhì)所在,把兩點(diǎn)所確定的線段長度定義為這兩點(diǎn)間的距離.利用空間元素的垂直關(guān)系,解決各種各樣的距離問題,這是幾何中解決距離問題的基本思路.點(diǎn)到直線的距離公式是知識的一個交匯點(diǎn),是一個內(nèi)涵豐富的內(nèi)容,故對公式的推導(dǎo)不能蜻蜓點(diǎn)水,需要讓學(xué)生在過程中體會.公開課中,兩位老師都采用了多種方法來推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式,充分地展示了思維的多樣性,通過他們的問題鏈設(shè)計(jì)來進(jìn)行對比分析.

教師甲教師乙問題1.你能寫出直線l:Ax+By+C=0的一個方向向量嗎?追問1:與直線l:Ax+By+C=0垂直的直線方程可以怎么設(shè)?它的一個方向向量又是什么呢?追問2:你能結(jié)合上述知識推導(dǎo)點(diǎn)P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離嗎?問題2.直線l:y=kx+b上的兩點(diǎn)的距離有哪些求法?追問:從你前面寫出來的兩點(diǎn)間距離公式出發(fā),你能推導(dǎo)點(diǎn)P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離嗎?問題3.你能總結(jié)下有哪些可以優(yōu)化代數(shù)運(yùn)算的方法嗎?問題1.請回憶上節(jié)課學(xué)習(xí)的兩點(diǎn)間距離公式是什么?追問1:點(diǎn)P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離是哪兩個點(diǎn)的距離?追問2:你能用兩點(diǎn)間距離公式推導(dǎo)點(diǎn)P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離公式了嗎?問題2.上面的化簡運(yùn)算量大,過程繁瑣,我們先回憶在直角三角形中我們是如何求斜邊上的高的?追問:基于上面的思想,你能構(gòu)造直角三角形,并用類似的方法推導(dǎo)點(diǎn)P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離嗎?問題3.你還能想到別的方法嗎?向量法可以嗎?

兩位老師都用到了“向量法”和“定義法”,但教學(xué)順序發(fā)生了大顛倒.筆者特意就此請教過兩位教師,得到反饋后總結(jié)如下.

考慮到向量的工具性作用在上一節(jié)“兩點(diǎn)間距離公式”的推導(dǎo)中優(yōu)勢微弱,甚至可能沒有提到,教師甲的問題設(shè)置尊重知識習(xí)得的最近發(fā)展區(qū)理念,逐步將學(xué)生引導(dǎo)到可以借用向量工具來推導(dǎo)公式,既避開了分類討論,又體現(xiàn)了平面向量的威力,有事半功倍的效果.但又考慮到學(xué)生有用定義法推導(dǎo)的想法,故設(shè)計(jì)了第二個問題.希望對比兩種方法,讓學(xué)生更好體會向量法的優(yōu)勢.

教師乙尊重學(xué)生的自然思路,用定義法直入,讓學(xué)生在課堂上經(jīng)歷了繁瑣的化簡,并投屏肯定了優(yōu)秀學(xué)生熟練的代數(shù)變化技能.后又筆鋒一轉(zhuǎn),為了避免多數(shù)同學(xué)由于代數(shù)運(yùn)算復(fù)雜而產(chǎn)生的錯誤,將方法指向利用直角三角形推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式.

兩位教師看似理由都很充分,但仔細(xì)分析還是有點(diǎn)站不住腳.兩位教師的理由其實(shí)都是基于“這個公式怎么推導(dǎo)”的立場,呈現(xiàn)出來的是“知識點(diǎn)教學(xué)”的課時主義教學(xué)觀,而根本沒有考慮到“點(diǎn)到直線的距離公式”中的學(xué)科系統(tǒng)上的大概念.

我們知道在以核心素養(yǎng)為目標(biāo)導(dǎo)向今天,“課時主義”的“就課論課”“只見樹木不見樹林”的教學(xué)觀已經(jīng)無法承擔(dān)起發(fā)展核心素養(yǎng)的重任,單元教學(xué)才是根本出路.決定單元教學(xué)成敗的關(guān)鍵是能否將散布在教材中“具有關(guān)聯(lián)性”知識點(diǎn)按照一定的“邏輯”進(jìn)行串聯(lián)、整合、重構(gòu),并形成相對完整的教學(xué)單元,從而實(shí)現(xiàn)單元教學(xué)“上接下聯(lián)”、貫通上位學(xué)科核心素養(yǎng)與下位課時教學(xué)目標(biāo)之間承上啟下的作用[2].那么組成單元的“邏輯”到底是什么？如何確定“邏輯”呢？這就需要“怎樣培養(yǎng)人”的“大概念”教學(xué)中樞.也就是說,“大概念”引領(lǐng)“單元教學(xué)”的組織邏輯,它是一個比“單元教學(xué)”更加上位的概念.

2 “大概念”的內(nèi)涵與特征

大概念可以被界定為反映專家思維方式的概念、觀念或論題,它具有生活價(jià)值,是“居于學(xué)科基本結(jié)構(gòu)的核心概念或若干居于課程核心位置的抽象概念整合相關(guān)知識、原理、技能、活動等課程內(nèi)容要素,形成有關(guān)聯(lián)的課程內(nèi)容組塊”；而大概念教學(xué)則是以大概念為錨點(diǎn)組織教學(xué)的一種方式,具體說,就是以大概念確定教學(xué)的邏輯,圍繞大概念搭建核心觀點(diǎn)框架,依托大概念提升學(xué)生的能力和素養(yǎng).對于數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué),從大概念的本質(zhì)特征、作用機(jī)理和教學(xué)功能上可以提煉出以下三點(diǎn)：

2.1 從本質(zhì)特征上看,大概念是“原子核”

大概念就像一個原子核,隱藏于單元所有知識、原理的最深處,位于一般概念的高位,能夠統(tǒng)攝單元內(nèi)所有下位的概念,具有普遍性解釋能力.如“函數(shù)是刻畫事物變化規(guī)律的重要模型”,“立體幾何研究現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系”,“統(tǒng)計(jì)的研究對象是數(shù)據(jù),核心是數(shù)據(jù)分析”等.

2.2 從作用機(jī)理來看,大概念是“吸鐵石”

大概念如同一塊神奇的“吸鐵石”,魔術(shù)般吸附起各類相關(guān)概念,使它們系統(tǒng)、有序地緊密附著在“吸鐵石”上,并形成一個連貫“活”整體.如“數(shù)形結(jié)合是代數(shù)方法和幾何方法溝通的紐帶”,“數(shù)列求和的技巧要基于對數(shù)列性質(zhì)的理解”,“各種各樣的函數(shù)都是通過基本初等函數(shù)的加、減、乘、除等運(yùn)算或復(fù)合得到的”等.

2.3 從教學(xué)功能來看,大概念是“文件夾”

大概念類似于具有收納、整理功能的文件夾,它是一個蘊(yùn)含豐富內(nèi)涵的意義模式,為學(xué)生認(rèn)識事物、構(gòu)建知識提供了一個優(yōu)質(zhì)的認(rèn)知框架和結(jié)構(gòu)體系.“文件夾”在屬性上有顯性文件夾和隱性文件夾之分,如“三角函數(shù)學(xué)習(xí)線索：背景、任意角和弧度制—概念—基本性質(zhì)—圖像和性質(zhì)—三角恒等變換—函數(shù)y=Asin(ωx+φ)—應(yīng)用”(顯性文件夾),“三角函數(shù)是圓函數(shù)”(隱性文件夾).

3 大概念引領(lǐng)下的的教學(xué)改進(jìn)

克里斯提那·查莫斯從學(xué)科教育角度將“大概念”分了兩類：內(nèi)容大概念和過程大概念.內(nèi)容大概念主要指原理、理論或模型；過程大概念指獲取和使用知識時涉及的技能.分析內(nèi)容和過程,結(jié)合上面對大概念的提煉,“點(diǎn)到直線的距離公式”這一課中的大概念應(yīng)該如何把握？

3.1 立足學(xué)科系統(tǒng)提取“大概念”

大概念教學(xué)的第一步就是站在學(xué)科系統(tǒng)的高度從不同的層級提取大概念.內(nèi)容大概念的提取不是簡單地從知識點(diǎn)中找出知識內(nèi)容的重難點(diǎn),而是需要站在學(xué)科系統(tǒng)高度,從具體內(nèi)容出發(fā),分析和挖掘內(nèi)容背后的核心觀點(diǎn).

“點(diǎn)到直線的距離公式”的關(guān)鍵字眼是“距離”,什么是距離？如果說把距離簡單理解成特殊的“兩點(diǎn)間距離”,那么用定義法推導(dǎo)“點(diǎn)到直線的距離公式”思路自然,方法大眾化,不涉及什么策略性知識,可以程序化.但怎么想到向量法？只是由于運(yùn)算的復(fù)雜,我們才用向量投影引導(dǎo)學(xué)生從“繁”中解放出來嗎？教師甲問題1的前兩問看似尊重學(xué)生的已有認(rèn)知,通過先讓學(xué)生回答“與已知直線垂直的直線的方向向量”問題再引向向量法解決問題,但是為什么最初要提到“方向向量”？教師乙在兩種方法推導(dǎo)公式后,以“你還能想到其他方法嗎？向量法可以嗎？”引出向量法.兩位老師都為了“講向量法”而勞心費(fèi)力,設(shè)計(jì)了不同的引導(dǎo)方式.事實(shí)上,使用向量法技巧的動機(jī)問題始終沒有得到有效解決.問題還得回到“距離”的概念,距離的本質(zhì)是什么？“距離是高維空間到低維空間的度量”這是一個超越歐氏空間的從“映射”角度對“距離”本質(zhì)的回答.在這個大概念下,距離本身就是一個作投影的過程,于是向量法呼之欲出,借助向量正是充分利用了反應(yīng)距離本質(zhì)的垂直概念.

仔細(xì)讀“距離是高維空間到低維空間的度量”這個大概念,“度量”的大小可以放到“不等式”、“函數(shù)”、“幾何與代數(shù)”等課程框架內(nèi)容中去解釋，會引出了均值不等式、柯西不等式、二次函數(shù)、三角函數(shù)、極限與導(dǎo)數(shù)、直線方程、向量方法、直角三角形等內(nèi)容.基于這些知識的推導(dǎo)方法在課外材料中比比皆是,可以設(shè)置成一個小的“數(shù)學(xué)探究活動”.可見,大概念引領(lǐng)下的“距離”,就像“原子核”一樣,輻射出各板塊的知識,擁有駭然能量.

3.2 借助大概念建立知識間的關(guān)聯(lián)性

溫·哈倫指出“如果教學(xué)法并與不大概念的需要進(jìn)行銜接,只是建議教學(xué)內(nèi)容應(yīng)該專注于大概念是沒有用的.”[3]上位概念如何銜接起下位概念,同層概念之間又該如何銜接？大概念本身就是一種“聯(lián)結(jié)”,大概念引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)就是學(xué)科內(nèi)的概念相互聯(lián)結(jié)、融會貫通的過程.聯(lián)結(jié)越多樣,認(rèn)知結(jié)構(gòu)層次之間就越容易融通.要建立概念之間的關(guān)聯(lián)性,就把看似孤立的知識點(diǎn),按照一定的邏輯進(jìn)行關(guān)聯(lián),在揭示概念之間緊密聯(lián)系的同時也使學(xué)生的學(xué)習(xí)呈現(xiàn)出一種連續(xù)不斷的過程.當(dāng)然,關(guān)聯(lián)不是教師直接告訴學(xué)生,而是在過程中不斷反思形成的.

反思“點(diǎn)到直線的距離公式”中定義法推出公式的過程,運(yùn)算量較大是學(xué)生產(chǎn)生反感情緒的主要原因.但若望而卻步,回避代數(shù)化簡的過程,會將舊方法與新方法產(chǎn)生關(guān)聯(lián)的“結(jié)”斷裂開來.實(shí)際上,方法的“繁”與“簡”可以相互轉(zhuǎn)化,“簡”是從“繁”中演化出來.

(1)“簡”從“整體”中來

上述處理方法是“坐標(biāo)平移變換”,也就是通過換元,令x′=x-x0,y′=y-y0,在新坐標(biāo)系O-x′y′中推導(dǎo)出“點(diǎn)到直線的距離公式”.這些技巧形成的過程就是“大概念”.

(2)“簡”從“特殊”中來

教師甲問題2的設(shè)計(jì)意在希望學(xué)生能通過引入斜率k簡化公式推導(dǎo)中的代數(shù)運(yùn)算復(fù)雜性,然而提問“直線l:y=kx+b上的兩點(diǎn)的距離有哪些求法”讓學(xué)生摸不著頭腦,上節(jié)課學(xué)的兩點(diǎn)間距離公式怎么突然轉(zhuǎn)到有斜率的直線上去了？這里缺少“從特殊到一般”這個大概念的引領(lǐng),可以如下改進(jìn).考慮最特殊情形,即直線與坐標(biāo)軸平行時，

在這里,數(shù)形結(jié)合地考慮,要實(shí)現(xiàn)“化繁為簡”,主要利用平行于坐標(biāo)軸的線段來表示點(diǎn)到直線的距離,通過特殊與一般之間的關(guān)聯(lián)實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化,而在轉(zhuǎn)化過程中又要利用三家函數(shù)有關(guān)知識,使距離的表示更加簡單.

如圖,借助大概念建立知識間的關(guān)聯(lián),好比“吸鐵石”吸硬幣的過程,對一個硬幣的磁化需要時間,然后別的硬幣靠近這枚硬幣時又會被持續(xù)吸引,最后形成一個“活”的連貫體.

3.3 學(xué)生在反思遷移中理解大概念

大概念類似“文件夾”,在具有收納整理功能的結(jié)構(gòu)框架之內(nèi),學(xué)生能夠有效把握各經(jīng)驗(yàn)、事物、概念之間的聯(lián)系,并在相互關(guān)聯(lián)的有機(jī)整體中理解它們,獲得對知識的深度理解、持久記憶和廣泛遷移,在此基礎(chǔ)上形成學(xué)科思維,最終將大概念建構(gòu)在個體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中,從而獲得知識、技能、習(xí)慣和品格等具體素養(yǎng)成分交互整合成的核心素養(yǎng).

如果沒有大概念教學(xué)視角,我們看到的課堂小結(jié)是這樣的：請同學(xué)們自主回憶本節(jié)課我們解決了什么問題？用到了哪些方法？你體會到了哪些思想方法？然后師生共同總結(jié)出本節(jié)課我們解決了點(diǎn)到直線的距離問題,建立了點(diǎn)到直線的距離公式,值得注意的是,在這個過程中,用到了兩種經(jīng)典方法.方法一是將點(diǎn)到直線的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)的距離問題,體現(xiàn)了“轉(zhuǎn)化”的思想；方法二是用借助向量投影,輕松地得到了點(diǎn)到直線的距離公式,體現(xiàn)了“降維”的數(shù)學(xué)思想,感受向量工具的強(qiáng)大作用,以后可能還會用到.

在大概念視角下,知識的框架傾向于設(shè)計(jì)以下問題：什么是距離？距離的本質(zhì)是什么？我們?yōu)槭裁磿氲较蛄糠?？你在定義法直接代入兩點(diǎn)間距離公式來推導(dǎo)點(diǎn)到直線距離公式遇到的最大困難是什么？從哪些角度可以克服這些困難？這些問題的設(shè)計(jì)要基于教師對大概念的理解,合理融入到教學(xué)的各個環(huán)節(jié),搭建起完整的結(jié)構(gòu)體系.

總之，大概念統(tǒng)攝下的教學(xué)關(guān)鍵環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)變是對傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)樣態(tài)的創(chuàng)新改革,也是對學(xué)科核心素養(yǎng)落地路徑的積極嘗試和有效探索.深刻理解、科學(xué)提取大概念,依據(jù)大概念進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)、實(shí)施的過程,有助于教學(xué)從零散走向系統(tǒng),從“被動灌輸”走向“自然內(nèi)化”,從狹隘走向廣闊,同時可以幫助學(xué)生構(gòu)建優(yōu)質(zhì)的學(xué)科知識結(jié)構(gòu),提高學(xué)生遷移運(yùn)用知識解決復(fù)雜問題的能力,進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng),真正實(shí)現(xiàn)學(xué)科育人.