江蘇省太倉高級(jí)中學(xué) (215400)

方明生

“齊次式”在三角函數(shù)及不等式等問題中應(yīng)用較為廣泛，近些年在圓錐曲線模塊中出現(xiàn)較為頻繁.圓錐曲線問題求解帶給學(xué)生最大的煩惱就是運(yùn)算量大，在平時(shí)的做題中，不少的學(xué)生沒有形成正確的學(xué)習(xí)方法，缺少對題型的歸納整理和思考，通常采用常規(guī)的方法進(jìn)行運(yùn)算，思路是正確的，但運(yùn)算能力不足使得運(yùn)算出錯(cuò)，導(dǎo)致“會(huì)而不對”的尷尬局面.本文結(jié)合例題，從學(xué)生的角度出發(fā)，對斜率的和(積)為定值的這類題進(jìn)行歸類，利用“齊次式”法進(jìn)行巧妙解答，避免繁瑣的運(yùn)算，做到知一題，會(huì)一類的效用.

一、斜率之積為定值

例1 (2017年全國Ⅲ卷·理20)已知拋物線C:y2=2x，過點(diǎn)(2,0)的直線l交C于A,B兩點(diǎn)，圓M是以線段AB為直徑的圓.(1)證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上；(2)略.

二、斜率之和為定值

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線AF,BF的斜率分別為k1,k2(k2≠0)，求證：k1+k2為定值.

三、直線過定點(diǎn)

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)A為橢圓C的右頂點(diǎn)，直線l是與橢圓交于M,N兩點(diǎn)的任意一條直線，若AM⊥AN，證明直線l過定點(diǎn).

保險(xiǎn)柜在書房里，他匆忙把那些東西收起來，鎖好，起身正要離開，看到了電腦桌上的紅色外套的蘋果手機(jī)，那是妻子的?？吹狡拮拥氖謾C(jī)，他不由得想到了妻子對手機(jī)小心謹(jǐn)慎的樣子。睡覺時(shí)她必需把手機(jī)放在自己的枕頭底下，同時(shí)迅速瞥一眼尹愛群。出門時(shí)必要隨身攜帶，從來沒有人機(jī)分離的情況。這個(gè)現(xiàn)象讓尹愛群一直感到奇怪，難道妻子的手機(jī)里藏著什么隱秘？可是現(xiàn)在，妻子的手機(jī)就在自己的手里，可以隨意查看，是妻子有意為之還是一時(shí)疏忽？

評(píng)注：本題已知斜率積為定值，去證明直線恒過定點(diǎn)，此題還可以改編為kAM+kAN=a(a為實(shí)數(shù)且a≠0),去證明直線過定點(diǎn)，此類題均可通過構(gòu)造齊次式去求解，但在實(shí)際運(yùn)算中一定要搞清楚直線l與直線l′、圓錐曲線C與C′的區(qū)別和聯(lián)系.

(1)求橢圓C的方程；

(2)經(jīng)過橢圓右焦點(diǎn)F且斜率為k(k≠0)的動(dòng)直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，試問x軸上是否存在異于點(diǎn)F的定點(diǎn)T，使|AF|·|BT|=|BF|·|AT|恒成立？若存在，求出T點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說明理由.

評(píng)注：本題第二問難度較大，需要通過|AF|·|BT|=|BF|·|AT|得到面積之比，再通過三角形的面積公式得到兩條直線的夾角互補(bǔ)，從而得到斜率之和為0，在運(yùn)算的時(shí)候理清思路，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒梢杂行У墓?jié)省求解時(shí)間.

四、斜率的和(積)為定值

圖1

(2)若過點(diǎn)B且斜率為k的直線交橢圓于M、N兩點(diǎn)(點(diǎn)C與M、N兩點(diǎn)不重合)，且直線CM、CN的斜率分別為k1、k2，試證明k1+k2-2k為定值.

通過以上幾個(gè)例子我們可以看出，利用齊次式解決斜率的和(積)與直線過定點(diǎn)問題，能夠降低運(yùn)算量，提升運(yùn)算的準(zhǔn)確性.通過對此類題型的分析，總結(jié)出以下解題步驟：

(4)利用韋達(dá)定理列出斜率之和(積)的等式；

(5)根據(jù)題意求出斜率之積(和)或根據(jù)它們是定值求出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo).