劉曉桂，劉小文，蔣逢靈，龔事引，肖會芹

（1.湖南鐵路科技職業(yè)技術(shù)學(xué)院 鐵道供電與電氣學(xué)院，湖南 株洲 412006；2.湖南工貿(mào)技師學(xué)院 電氣工程系，湖南 株洲 412006；3.湖南工業(yè)大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，湖南 株洲 412007）

1 研究背景

隨著電力市場化的不斷發(fā)展，電力運(yùn)行規(guī)模日益擴(kuò)大，運(yùn)行特性曲線日趨復(fù)雜，依靠傳統(tǒng)的專用通信網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行信息交換與監(jiān)測的方式，已經(jīng)無法滿足現(xiàn)代電網(wǎng)中的信息交換與監(jiān)測的動態(tài)性與實(shí)時性需求，而要掌握大數(shù)據(jù)量的實(shí)時動態(tài)信息，負(fù)荷頻率控制（load frequency control，LFC）系統(tǒng)必須借助近年發(fā)展起來的基于相量測量單元（phasor measurement unit，PMU）[1]構(gòu)成的廣域測量系統(tǒng)（wide area measurement system，WAMS）[2]實(shí)現(xiàn)。WAMS 的出現(xiàn)為現(xiàn)代互聯(lián)電網(wǎng)的穩(wěn)定性研究提供了新思路，但同時帶來了新問題——網(wǎng)絡(luò)時滯問題[3-4]。網(wǎng)絡(luò)時滯往往存在于下發(fā)控制信號的前向通道與收集測量信號的反饋通道當(dāng)中，它的存在會使LFC 系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差、控制效率降低，甚至?xí)闺娋W(wǎng)運(yùn)行不穩(wěn)定，從而造成重大的停電事故等，嚴(yán)重影響經(jīng)濟(jì)社會的發(fā)展，所以研究網(wǎng)絡(luò)時滯問題對于確保LFC 系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

頻率是衡量電能質(zhì)量的一個重要指標(biāo)，為了使電力系統(tǒng)供給側(cè)頻率和需求側(cè)頻率保持動態(tài)平衡，目前常采取的方法是基于廣域通信網(wǎng)絡(luò)的頻率控制法，其主要包括頻率信號的采集、調(diào)度中心信號的處理和指令的生成，以及信號的下發(fā)和終端的響應(yīng)[5]。目前，研究時滯電力系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析方法主要為時域法。雖然頻域法是一種經(jīng)典的分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法，可以通過求解系統(tǒng)的特征根來判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但是系統(tǒng)的特征根一般不易求解，尤其是在分析高階復(fù)雜系統(tǒng)時，其計(jì)算非常復(fù)雜。由于頻域法存在上述缺點(diǎn)，所以用控制系統(tǒng)理論來分析系統(tǒng)穩(wěn)定性時，時域法更受青睞。而時域法的研究目標(biāo)主要集中在計(jì)算出系統(tǒng)保持穩(wěn)定前提下的最大時滯穩(wěn)定裕度，從而設(shè)計(jì)出性能優(yōu)越的控制器，使系統(tǒng)具有良好的時滯魯棒性。LFC 系統(tǒng)的控制策略較多，主要有自適應(yīng)控制、模糊控制、人工智能控制、魯棒控制與滑膜變結(jié)構(gòu)控制等[6]，為了解決系統(tǒng)中存在的時滯問題，很多已有研究都是基于這些控制策略來展開的?；诰€性矩陣不等式（linear matrix inequality，LMI）理論，文獻(xiàn)[7]研究了考慮時間延遲現(xiàn)象且系統(tǒng)中含不確定性參數(shù)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的被動性問題，其通過選取Lyapunov 泛函與利用自由權(quán)矩陣方法，以線性矩陣不等式的形式有效地利用內(nèi)點(diǎn)法進(jìn)行求解，得出了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的時滯相關(guān)被動條件。文獻(xiàn)[8]針對具有時變延遲現(xiàn)象的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)進(jìn)行了研究，詳細(xì)推導(dǎo)了具有狀態(tài)反饋網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，充分考慮了系統(tǒng)參數(shù)的不確定性與狀態(tài)向量之間的關(guān)系，構(gòu)造出Lyapunov-Krasovskii 泛函并應(yīng)用自由權(quán)矩陣積分不等式方法，分析了網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性。文獻(xiàn)[9]研究了通信網(wǎng)絡(luò)中存在的時滯問題和參數(shù)不確定性問題，提出了一種關(guān)于LFC 系統(tǒng)的魯棒預(yù)測方法。該方法的目的，是在含不確定參數(shù)的動態(tài)模型中、有延時環(huán)節(jié)的系統(tǒng)中和時變模型這類實(shí)際網(wǎng)絡(luò)中，能更好地實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)的良好特性。文獻(xiàn)[10]研究了具有概率區(qū)間時滯電力系統(tǒng)LFC 問題，LFC器的設(shè)計(jì)特別考慮了通信延遲的概率分布特性，針對這一特性設(shè)計(jì)了一種基于時滯分布的PI 控制策略，采用該控制策略能在保持期望性能的同時，獲得基于PI 控制增益的LFC 系統(tǒng)時滯穩(wěn)定裕度，并通過實(shí)例證明了該調(diào)頻設(shè)計(jì)方法的有效性。文獻(xiàn)[11]基于Lyapunov 穩(wěn)定理論和LMI 技術(shù)，提出了一個改善計(jì)算精度和縮短計(jì)算時間的穩(wěn)定新判據(jù)，使其適用于處理多區(qū)域LFC 系統(tǒng)，并詳細(xì)分析了不同控制區(qū)域之間時滯穩(wěn)定裕度與控制增益之間的關(guān)系。文獻(xiàn)[12]將基于LMI 的時滯相關(guān)穩(wěn)定性分析方法應(yīng)用于時滯LFC 系統(tǒng)當(dāng)中。然而，大規(guī)模LMI 的計(jì)算量對這些方法在實(shí)際系統(tǒng)中的應(yīng)用提出了巨大挑戰(zhàn)。針對這一問題，文章主要對LFC 系統(tǒng)中的時滯相關(guān)穩(wěn)定性分析計(jì)算方面進(jìn)行了探討，利用LFC 系統(tǒng)中控制環(huán)的對稱性和稀疏性改善LMI 的決策變量數(shù)，從而提高對實(shí)際時滯電力系統(tǒng)的計(jì)算能力。

本文基于上述成果，從電力系統(tǒng)中的單區(qū)域LFC系統(tǒng)著手研究，構(gòu)建考慮網(wǎng)絡(luò)通信延遲且系統(tǒng)矩陣中含PID 參數(shù)的LFC 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，結(jié)合Lyapunov穩(wěn)定理論分析方法，選取時滯乘積型Lyapunov-Krasovskii 泛函，充分考慮了時變矩陣的自由度，并應(yīng)用擴(kuò)展的逆凸二次不等式方法對泛函導(dǎo)數(shù)中的積分項(xiàng)進(jìn)行精確求解，得出一個改善系統(tǒng)保守性的穩(wěn)定新判據(jù)。最后，借助實(shí)例進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真，分析了系統(tǒng)在定常時滯、時變時滯兩種時滯類型情況下，系統(tǒng)時滯穩(wěn)定裕度與PI 控制增益之間的關(guān)系。通過對比實(shí)驗(yàn)結(jié)果，充分證明了本文所提方法的有效性與相比其它文獻(xiàn)的優(yōu)越性。

文中給定如下標(biāo)號：Rn×m與Rn分別為實(shí)數(shù)域的n×m階矩陣空間與n維向量空間；Sn為n×n的實(shí)對稱矩陣，矩陣的上標(biāo)“-1”和“T”分別為矩陣的逆與轉(zhuǎn)置；“*”代表對稱矩陣中的對稱項(xiàng)；“I”和“0”分別為合適維度的單位矩陣和零矩陣；diag{…}為塊對角矩陣；P＞0 表示P為正定對稱矩陣；Sym{X}=X+XT。

2 時滯LFC 系統(tǒng)模型

本文從簡化的電網(wǎng)頻率調(diào)節(jié)系統(tǒng)著手分析，其簡化模型如圖1 所示[13]。

圖1 電網(wǎng)頻率調(diào)節(jié)系統(tǒng)簡化模型Fig.1 A simplified model of power grid frequency regulation system

由圖1 可知，LFC 系統(tǒng)模型主要由5 個子模型構(gòu)成，各子模型的傳遞函數(shù)分別如下。

1 ）原動機(jī)模型。其簡化傳遞函數(shù)為

式中：ΔPm為機(jī)械功率變化量；ΔPv為控制閥開度變化量；TT為汽輪機(jī)慣性時間常數(shù)；s為復(fù)數(shù)變量。

2）發(fā)電機(jī)輸入端——負(fù)荷端模型[13]。其傳遞函數(shù)為

式中：ΔPd為負(fù)荷端功率變化量；M為轉(zhuǎn)動慣量；Δf為系統(tǒng)頻率變化量；D為發(fā)電機(jī)阻尼系數(shù)。

3）輔助LFC 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型。目前，電力系統(tǒng)中的LFC 大多采用PID 控制器來實(shí)現(xiàn)，其傳遞函數(shù)為

式中：u為控制器輸出；KP為控制器比例增益；KI為控制器積分增益；KD為控制器微分增益；ACE(s)為控制誤差，定義為[13]

其中β為頻率偏差，定義為

其中R為調(diào)速器速度跌落系數(shù)。

4）調(diào)速系統(tǒng)模型。其系統(tǒng)模型表達(dá)式為

式中：ΔPC為系統(tǒng)控制信號；TG為調(diào)速器慣性時間常數(shù)。

5)時滯環(huán)節(jié)模型。時滯常用指數(shù)函數(shù)e-sh表示，h表示時滯大小。

由上述表達(dá)式（1）～（6）并結(jié)合圖1，可得時滯LFC 結(jié)構(gòu)框圖，如圖2 所示[14]。

圖2 考慮時滯的LFC 結(jié)構(gòu)框圖Fig.2 Block diagram of LFC structure with time delay taken into consideration

由圖2 選擇的狀態(tài)變量x(t)與輸出變量y(t)如下：

由此，可得系統(tǒng)狀態(tài)空間模型如下：

式中：w(t)=ΔPd；u(t-h(t))=ΔPC(t)；A、B、F、C均為矩陣，且

系統(tǒng)中的PID 控制器為

定義系統(tǒng)的虛擬狀態(tài)變量與輸出變量如下：

由于矩陣CB=0，故系統(tǒng)（8）和控制器（9）可轉(zhuǎn)化為如下靜態(tài)輸出反饋系統(tǒng)：

上述系統(tǒng)可簡化為如下時滯線性系統(tǒng)：

元和二年十二月,史官李吉甫等撰《元和國計(jì)簿》十卷,總計(jì)天下方鎮(zhèn),凡四十八道,管州府二百九十三,縣一千四百五十三,見定戶二百四十四萬二百五十四。其鳳翔、鄜坊、邠寧、振武、涇原、銀夏、靈鹽、河?xùn)|、易定、魏博、鎮(zhèn)冀、范陽、滄景、淮西、淄青十五道七十一州,并不申戶口數(shù)。每歲縣賦入倚辦,止于浙西、浙東、宣歙、淮南、江西、鄂岳、福建、湖南等道,合四十州,一百四十四萬戶,比量天寶供稅之戶,四分有一。[注]王溥:《唐會要》卷84,北京:中華書局,1955年,第1552-1553頁。

式（12）減去式（13）可得：

于是，時滯線性系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的一般形式可以表述為

3 系統(tǒng)穩(wěn)定新判據(jù)

3.1 主要引理

為獲得本文主要結(jié)論，給出如下3 個引理。

引理1[15]給定實(shí)對稱矩陣R＞0(R∈Sn)，存在標(biāo)量a、b(a＜b)和向量值函數(shù)ω(s)：[a,b]→Rn，則有以下積分不等式成立：

引理2[16]給定實(shí)對稱矩陣R＞0(R∈Sn)和標(biāo)量α∈ (0,1)，若存在實(shí)對稱矩陣X1、X2、X3、X4∈Sn和任意實(shí)矩陣Y1、Y2、Y3、Y4∈Sn，且滿足如下不等式：

則不等式（19）成立。

則l(x)＜0 成立。

3.2 主要結(jié)論

本研究應(yīng)用時滯乘積型Lyapunov-Krasovskii，并且結(jié)合擴(kuò)展的逆凸二次不等式技術(shù)，推導(dǎo)出一個考慮通信延遲并且系統(tǒng)矩陣中含PID 參數(shù)的LFC 系統(tǒng)穩(wěn)定新判據(jù)。

為了簡化計(jì)算，定義如下向量和矩陣：

下面，推出以下穩(wěn)定新判據(jù)。

定理1給定標(biāo)量μ和h(h＞0)，若存在實(shí)對稱矩陣Q1(∈S4n)＞0、Q2(∈S4n)＞0、P11＞0、P12＞0、P21＞0、P22＞0、Z＞0，任意矩陣Y1、Y2、Y3、Y4∈R3n×3n和 實(shí)對稱矩陣X1、X2、X3、X4∈S3n，在滿足時滯約束條件0 ≤h(t)≤h，時，有以下LMI 成立：

則系統(tǒng)方程（17）是漸近穩(wěn)定的。

式（22）中：

證明構(gòu)建如下Lyapunov-Krasovskii 泛函

式中：P1(t)=P11+h(t)P12；P2(t)=P21+(h-h(t))P22。

當(dāng)P1(t)＞0、P2(t)＞0、Q1＞0、Q2＞0 和Z＞0 時，該泛函正定，即V(t)＞0。

對V(t)沿著系統(tǒng)軌跡進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算，可得：

基于引理1，可以將式（25）中最后一個積分項(xiàng)轉(zhuǎn)換為

又基于引理2，式（26）中的逆凸項(xiàng)可以被處理為

綜合式（25）～（27）可以得出：

定理2給定標(biāo)量μ和h(h＞0)，若存在實(shí)對稱矩陣Q1(∈S4n)＞0、Q2(∈S4n)＞0、P11＞0、P12＞0、P21＞0、P22＞0、Z＞0，任意矩陣Y1、Y2、Y3、Y4∈R3n×3n和實(shí)對稱矩陣X1、X2、X3、X4∈S3n，在滿足時滯約束條件0 ≤h(t)≤h，且滿足不等式（20）與（21）時，有以下LMI 成立，

則系統(tǒng)方程（17）是漸近穩(wěn)定的。

4 實(shí)例仿真

針對文獻(xiàn)[18]中提出的PID 控制器的時域性和魯棒性與兩個參數(shù)有關(guān)的結(jié)論，本文探討了系統(tǒng)矩陣中PID 參數(shù)的選取對LFC 系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。根據(jù)文獻(xiàn)[12,17]中給出的參數(shù)值（D=1.0、R=0.05、TG=0.10、M=10 和TT=0.3），并結(jié)合系統(tǒng)矩陣參數(shù)式（15）（16），利用Matlab 中的LMI 工具箱進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真，分析了系統(tǒng)矩陣方程在定常時滯（μ=0）和時變時滯（μ=0.5）兩種不同時滯類型情況下，PI 控制增益與LFC 系統(tǒng)時滯穩(wěn)定裕度之間的關(guān)系，所得仿真結(jié)果分別列于表1 和2 中。

表1 (KP,KI)分別取不同值時的時滯穩(wěn)定裕度hmax (μ=0)Table 1 Delay stability margin hmax with (KP,KI) taking different values respectively (μ=0)

為了能更好地展示本文方法的優(yōu)越性，定義平均改善率公式AI如下：

式中i、j的取值依次為0.2,0.4,0.6,0.8,1.0。

當(dāng)系統(tǒng)處于定常時滯（μ=0）類型情況下，根據(jù)表1 中提供的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，并利用式（37）可以計(jì)算出系統(tǒng)的時滯穩(wěn)定裕度平均改善率為17.9%，這說明在降低系統(tǒng)保守性方面，本文給出的方法相比文獻(xiàn)[20]給出的方法具有明顯的優(yōu)越性。

同理，根據(jù)表2 中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以得出，系統(tǒng)處在時變時滯（μ=0.5）類型情況下，系統(tǒng)的時滯穩(wěn)定裕度改善率能達(dá)39.1%。

表2 (KP,KI)分別取不同值時的時滯穩(wěn)定裕度hmax (μ=0.5)Table 2 Delay stability margin hmax with (KP,KI) taking different values respectively (μ=0.5)

為了進(jìn)一步驗(yàn)證上述實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性，利用Matlab 中的Simulink 工具箱建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，選取KP=0.6、KI=0.6、μ=0，且系統(tǒng)時滯穩(wěn)定裕度hmax=2.281 s 時，觀察系統(tǒng)頻率偏差的收斂性，從而說明系統(tǒng)是否處在穩(wěn)定狀態(tài)。不同時滯穩(wěn)定裕度下的系統(tǒng)頻率偏差響應(yīng)曲線如圖3 所示。

圖3 KP=0.6，KI=0.6，μ=0，hmax=2.281 s 時的系統(tǒng)頻率偏差Fig.3 System frequency deviation response curves with hmax=2.281 s,KP=0.6，KI=0.6 and μ=0

從圖3 可以看出，當(dāng)hmax=2.281 s 時，系統(tǒng)的頻率偏差呈收斂狀態(tài)，這說明系統(tǒng)是穩(wěn)定的；但是收斂速度非常慢，快速性降低，這正好體現(xiàn)了應(yīng)用本文方法計(jì)算出來的系統(tǒng)時滯穩(wěn)定裕度值更接近于理論值，充分證明了應(yīng)用本文方法使系統(tǒng)的保守性得到了極大改善，體現(xiàn)了所提方法的正確性。

另外，從表1 和表2 中列出的實(shí)驗(yàn)運(yùn)算結(jié)果可以看出，當(dāng)系統(tǒng)處在相同時滯類型而不同控制增益KP、KI時，系統(tǒng)時滯穩(wěn)定裕度hmax隨著控制增益KP、KI取值的不同而不同：當(dāng)比例增益KP一定時，時滯穩(wěn)定裕度隨著積分增益KI的增大而呈減小的變化趨勢；當(dāng)積分增益KI一定時，這種情況較復(fù)雜，時滯穩(wěn)定裕度hmax隨著比例增益KP的增大呈先增大后減小的變化趨勢。圖4 展示了應(yīng)用本文方法得出的系統(tǒng)時滯穩(wěn)定裕度hmax與控制增益KP、KI取值之間的關(guān)系（μ=0）。由圖4 可知，時滯穩(wěn)定裕度hmax隨KP、KI取值的變化而變化。同樣，當(dāng)給定相同控制增益KP、KI而不同時滯類型時，系統(tǒng)時滯穩(wěn)定裕度hmax的數(shù)值也會不同。

圖4 時滯穩(wěn)定裕度hmax 隨KP、KI 取值的變化圖(μ=0)Fig.4 Variation diagram of delay stability margin hmax with values of KP and KI (μ=0)

通過對以上仿真結(jié)果的討論與分析，可以得出如下一致結(jié)論：當(dāng)LFC 系統(tǒng)處在定常時滯和時變時滯兩種時滯類型情況下，應(yīng)用本文提出的方法能有效改善系統(tǒng)的保守性，并且與其它文獻(xiàn)結(jié)果相比，具有明顯的優(yōu)勢。

5 結(jié)語

本文研究了考慮通信延遲且系統(tǒng)矩陣中含PID參數(shù)的LFC 系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性問題。通過構(gòu)建系統(tǒng)矩陣中含PID 參數(shù)的時滯LFC 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，選取時滯乘積型Lyapunov-Krasovskii 泛函，并應(yīng)用擴(kuò)展的逆凸二次不等式方法等數(shù)學(xué)處理技巧，對泛函導(dǎo)數(shù)進(jìn)行了精確界定，推導(dǎo)出一個改善系統(tǒng)保守性的時滯相關(guān)魯棒穩(wěn)定新判據(jù)。最后，借助數(shù)值實(shí)例進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真，分析了系統(tǒng)處在定常時滯和時變時滯兩種時滯類型情況下，比例增益KP、積分增益KI與LFC 系統(tǒng)時滯穩(wěn)定裕度hmax之間的關(guān)系，通過實(shí)驗(yàn)仿真的驗(yàn)證以及將實(shí)驗(yàn)結(jié)果與其它文獻(xiàn)對比后發(fā)現(xiàn)，本文方法具有明顯的優(yōu)越性。