劉 忠, 溫雨柔, 樓旭陽

(江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院, 江蘇 無錫 214122)

橋式起重機是一種常用的搬運設(shè)備,作為非線性、欠驅(qū)動且強耦合的系統(tǒng), 其安全高效的運行取決于有效的負(fù)載擺動抑制方法和實時跟蹤控制理論[1]．針對橋式起重機負(fù)載擺動及跟蹤控制的研究方法主要分為線性化模型和非線性模型兩類,因前者對系統(tǒng)模型進行線性化處理降低了負(fù)載擺角等信息的準(zhǔn)確性,導(dǎo)致系統(tǒng)的負(fù)載擺動過大和搬運位置出現(xiàn)偏差[2],故后者成為研究熱點．Sun等[3]通過改進控制器的積分項有效抑制了負(fù)載擺動; Chen等[4]考慮起重機的驅(qū)動和欠驅(qū)動的狀態(tài)約束問題,通過設(shè)計帶有輔助信號的策略解決了起重機負(fù)載在搬運過程中的擺動及負(fù)載位置追蹤問題．然而,在實際應(yīng)用中,橋式起重機不可避免地經(jīng)受各種干擾,系統(tǒng)性能大幅下降,故如何提高系統(tǒng)的抗擾能力備受關(guān)注．Wu等[5]通過設(shè)計擾動觀測器在有限時間內(nèi)抑制或消除不確定干擾; Zhang[6]提出有限時間追蹤控制器, 使得系統(tǒng)在受外部干擾及模型參數(shù)不確定的情況下仍具良好的控制性能．滑?？刂品椒╗7]則不受系統(tǒng)參數(shù)和外部擾動的影響,且魯棒性好．Wu等[8]針對橋式起重機系統(tǒng)中不確定干擾,設(shè)計了連續(xù)全局滑模控制器和非線性干擾觀測器,有效解決了干擾所致不利影響; Lu等[9]引入一種擾動設(shè)計觀測器減輕了滑?？刂葡到y(tǒng)固有的抖振問題, 使得橋式起重機能夠估計并消除觀測器的影響; Tuan等[10]針對起重機參數(shù)不確定的問題, 設(shè)計了二階滑模控制器,使得系統(tǒng)在參數(shù)變化較大的情況下仍然保持良好的控制效果;梁慧慧等[11]在設(shè)計滑模面時引入積分項使得系統(tǒng)狀態(tài)一直處于滑模面上; Sun等[12]提出一種滑?？刂破饔行Ы鉀Q了起重機在未建模不確定性下的防擺控制問題,但該控制方法需要預(yù)先構(gòu)建系統(tǒng)狀態(tài)軌跡并進行相應(yīng)狀態(tài)分析; Le等[13]結(jié)合魯棒觀測器與分層滑?？刂疲岣吡讼到y(tǒng)的魯棒性,但抑制負(fù)載擺動能力不突出．

為了抑制二維橋式起重機擺桿的振動以及快速實現(xiàn)起重機運送負(fù)載到達(dá)期望位置, 本文擬基于傳統(tǒng)滑模控制器(conventional sliding mode control, CSMC), 通過兩層滑模面的聯(lián)合設(shè)計構(gòu)建分層滑?？刂破?hierarchical sliding mode control, HSMC), 并利用Lyapunov方法分別證明在CSMC和HSMC作用下閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性．

1 問題描述

考慮如圖1所示的欠驅(qū)動二維橋式起重機模型, 負(fù)載通過擺桿懸掛在電車底部, 其中M,m分別為電車和負(fù)載的質(zhì)量,θ為負(fù)載的擺角,l為擺桿長度,x為電車所處位置,Fa為施加于電車的驅(qū)動力．因考慮負(fù)載質(zhì)量, 故擺桿質(zhì)量忽略不計．

圖1 橋式起重機模型Fig.1 Structure of an overhead crane system

二維橋式起重機的動力學(xué)方程如下:

(1)

(2)

其中g(shù)為重力加速度.系統(tǒng)控制目標(biāo): 在控制力Fa的作用下, 負(fù)載從初始位置x0移動到設(shè)定位置xd, 并在整個運動過程中抑制負(fù)載擺角θ．

為了使后續(xù)的控制器設(shè)計過程更加簡潔, 現(xiàn)將控制力Fa設(shè)計為如下形式:

(3)

其中u為待設(shè)計控制器．本文通過控制器u實現(xiàn)對整個橋式起重機運動的控制．

將式(3)代入式(1), 可得

(4)

(5)

于是, 系統(tǒng)運動學(xué)方程等價為式(2)(5)．進一步地,整個系統(tǒng)變換成如下矩陣表達(dá)形式:

(6)

(7)

其中變量f1,f2,b1,b2分別為

(8)

(9)

2 傳統(tǒng)滑模控制器設(shè)計及穩(wěn)定性分析

定義傳統(tǒng)滑?？刂破鞯幕Ｃ?/p>

(10)

其中c1,c2,c3均為常數(shù)．

(11)

下面考慮當(dāng)系統(tǒng)(9)到達(dá)滑模面s=0時, 其狀態(tài)(x1,x2,x3,x4)會沿滑模面趨向于點(0,0,0,0)．

(12)

(13)

定理2考慮系統(tǒng)(13), 如果系統(tǒng)參數(shù)滿足c1>0,c2

證明 已知平衡點(x1,x2,x3,x4)=(0,0,0,0)等價于(z1,z2,z3)=(0,0,0), 在平衡點處作線性化處理,則

(14)

其中εi(i=1,2,3)為線性化的偏差．式(14)可改寫為

(15)

(16)

因此, 當(dāng)常數(shù)c1,c2,c3滿足條件(16)時, 系數(shù)矩陣A的特征值具有負(fù)實部, 這意味著線性系統(tǒng)(15)嚴(yán)格穩(wěn)定, 從而非線性系統(tǒng)(14)在平衡點處漸近穩(wěn)定,系統(tǒng)狀態(tài)將沿滑模面運動至平衡點,即(x1,x2,x3,x4)→(0,0,0,0)．證畢．

3 分層滑模控制器設(shè)計及穩(wěn)定性分析

首先,選取第一層滑模面:

(17)

(18)

(19)

ueq=ueq1+ueq2．

(20)

整個控制器由等效控制與切換控制組成, 令切換控制為usw, 則控制器

u=ueq+usw．

(21)

其次, 設(shè)計第二層滑模面

S=μ1s1+μ2s2,

(22)

(23)

將式(7)(20)代入式(23),得到切換控制

(24)

將式(20)(24)代入式(21),得到控制器

(25)

令w=supt≥0|ueq2-ueq1|, 且μ1,α滿足如下條件:

(26)

定理3考慮系統(tǒng)(9), 若控制器(25)中參數(shù)滿足條件(26), 則系統(tǒng)狀態(tài)能在有限時間內(nèi)分別到達(dá)第二層和第一層滑模面．

下面證明系統(tǒng)能在有限時間到達(dá)第一層滑模面．

(27)

令tr4=max{tr2,tr3}, 則當(dāng)t=tr4時, 系統(tǒng)收斂至第二層滑模面S與第一層滑模面s1．由于s2=(S-μ1s1)/μ2, 所以系統(tǒng)在有限時間tr4到達(dá)第一層滑模面s2．證畢．

綜上所述, 若滿足條件(26), 系統(tǒng)狀態(tài)將沿滑模面運動到平衡點, 即(x1,x2,x3,x4)→(0,0,0,0)．證畢．

4 數(shù)值仿真與實驗分析

4.1 數(shù)值仿真

通過數(shù)值仿真驗證本文所提出的分層滑?？刂破?25)的有效性, 并與傳統(tǒng)滑?？刂破?11)、文獻[12]中滑?？刂破饕约拔墨I[13]中分層滑?？刂破鬟M行對比．

給定橋式起重機系統(tǒng)參數(shù)M=2 kg,m=0.8 kg,l=1.2 m, 重力加速度g=9.81 m·s-2．負(fù)載的設(shè)定位置xd=0.6 m．傳統(tǒng)滑?？刂破鲄?shù)c1=0.45,c2=-9.1,c3=0.104,η=15, 分層滑?？刂破鲄?shù)k1=0.63,k2=8.3,μ1=1.9,μ20=1.1,α=15,β=50．

電車的位置軌跡及負(fù)載擺角變化如圖2所示．由圖2可見: 1) 在傳統(tǒng)滑?？刂破?11)和本文分層滑?？刂破?25)分別作用下, 二維橋式起重機均能將負(fù)載迅速搬運至指定位置,并且在搬運過程中的負(fù)載擺角均能得到有效抑制; 2) 與文獻[12-13]中提出的滑模控制器相比, 本文分層滑?？刂破?25)能更快地將負(fù)載運送至期望位置并且有效抑制負(fù)載擺動．

傳統(tǒng)滑?？刂破髋c本文分層滑?？刂破鞯幕Ｃ孳壽E如圖3所示．由圖3可見: 由于CSMC設(shè)計的趨近常數(shù)取值較大, 故傳統(tǒng)滑模控制作用下滑模面收斂更快．

圖2 4種滑?？刂破飨碌碾娷囄恢密壽E(a)和負(fù)載擺角(b)Fig.2 Trolley position track (a) and swing angle (b) under four sliding mode controllers

圖3 CSMC(a)與HSMC(b)的滑模面軌跡Fig.3 The sliding mode surface trajectories of CSMC (a) and HSMC (b)

為了降低滑模抖振的影響, 在數(shù)值仿真時采用飽和函數(shù)代替控制器中的符號函數(shù), 傳統(tǒng)滑?？刂婆c本文分層滑?？刂谱饔孟碌目刂屏θ鐖D4所示．由圖4可見: 本文分層滑模控制器(25)的控制效果雖優(yōu)于傳統(tǒng)滑?？刂破?11), 但其代價是控制力的波動較大．

4.2 實物實驗

在如圖5所示的橋式起重機實驗平臺對傳統(tǒng)滑?？刂破骱捅疚姆謱踊？刂破鬟M行實物驗證．該實驗平臺中主控芯片為意法半導(dǎo)體公司的STM32F03CT6單片機, 驅(qū)動器為松下MADLT05SF, 伺服電機為松下MSMF012L1UM．實驗平臺的參數(shù)M=2.1 kg,m=9.4 kg,l=1 m．給定電車初始位置x0=0.1 m, 設(shè)定位置xd=0.5 m, 傳統(tǒng)滑?？刂破鞯膮?shù)c1=0.9,c2=-0.04,c3=0.05,η=2.4, 分層滑?？刂频膮?shù)k1=0.85,k2=9.4,μ1=1.8,μ20=1.1,α=20,β=50．

圖4 CSMC與HSMC下的控制力Fig.4 Control force under CSMC and HSMC

圖5 實驗平臺Fig.5 Experimental platform

電車在電動機牽引下的位置軌跡如圖6所示．由圖6可知: 1) 本文分層滑?？刂破?25)能更快地將負(fù)載搬運至設(shè)定位置; 2) 搬運負(fù)載過程中,傳統(tǒng)滑?？刂破?11)作用下的負(fù)載擺角幅值較小; 3) 當(dāng)負(fù)載到達(dá)設(shè)定位置后, 在控制器(11)(25)分別作用下的負(fù)載擺角都是逐漸收斂的; 4) 綜合考慮負(fù)載擺角和搬運效率,分層滑?？刂破?25)因通過聯(lián)合2個滑模面來設(shè)計控制器, 故其控制效果更優(yōu)．

圖6 實驗平臺中CSMC與HSMC作用下的電車位置軌跡(a)與負(fù)載擺角(b)Fig.6 Trolley position (a) and swing angle (b) under CSMC and HSMC in experiment

圖7 實驗平臺中CSMC與HSMC下的控制力Fig.7 Control force of the CSMC and HSMC under experimental platform

傳統(tǒng)滑?？刂婆c本文分層滑模控制作用下的控制力如圖7所示．由圖7可知: 傳統(tǒng)滑?？刂破髯饔孟驴刂菩盘柎嬖陬l繁切換現(xiàn)象, 若長時間運行將導(dǎo)致實際執(zhí)行器損壞; 本文分層滑模控制器作用下控制信號相對平滑,更具實用性．

5 結(jié)語

本文針對橋式起重機在搬運負(fù)載過程中存在的負(fù)載擺動及位置跟蹤問題,基于滑?？刂评碚撛O(shè)計了一種分層滑模控制器,并證明了在分層滑?？刂破骺刂葡麻]環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性．?dāng)?shù)值仿真與實物平臺分別驗證了所提出控制策略的有效性．