【摘 要】 數(shù)學(xué)習(xí)題課是數(shù)學(xué)教學(xué)中不可或缺的環(huán)節(jié)，是對(duì)概念或定理法則等知識(shí)的鞏固和深化．在數(shù)學(xué)習(xí)題課中重視開展變式教學(xué)，有助于促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考和對(duì)學(xué)習(xí)的遷移，形成完善的知識(shí)與方法體系．研究以一道數(shù)學(xué)中考題為例，以變式教學(xué)理論為指導(dǎo)開展初中數(shù)學(xué)習(xí)題課教學(xué)，探討變式的過程和策略．【關(guān)鍵詞】 變式教學(xué)；初中數(shù)學(xué)；習(xí)題課

2021年7月13日，第14屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)在上海舉行，華東師范大學(xué)顧泠沅教授受邀作主題為《45年：一項(xiàng)數(shù)學(xué)教改實(shí)驗(yàn)》的大會(huì)報(bào)告，向國際同行介紹了基于“青浦實(shí)驗(yàn)”的數(shù)學(xué)教育變式理論．所謂變式是指教師在教學(xué)中有目的有計(jì)劃地變換材料的形式，對(duì)命題進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，在變換過程中探究不變的規(guī)律和性質(zhì)，從而掌握數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性.顧泠沅教授及其研究團(tuán)隊(duì)將變式教學(xué)分為概念性變式和過程性變式兩類［1-4］，其中過程性變式主要聚焦于數(shù)學(xué)活動(dòng)和問題解決的有層次地推進(jìn)，從而構(gòu)建起聯(lián)系緊密有邏輯的數(shù)學(xué)知識(shí)體系．

文［4］提出了數(shù)學(xué)問題解決的思路，指出基本路徑與策略是從一般到特殊、化未知為已知、化繁為簡，通過一步步的化歸變式不斷向已知的、熟悉的問題靠攏；在深入解決某個(gè)問題后可通過特殊到一般、類比聯(lián)想等方式變換問題，對(duì)問題進(jìn)行拓展延伸，而要解決新的問題又回到了前面所說的化歸思想，如圖1．

運(yùn)用變式教學(xué)理論，教師可以更好地開展習(xí)題課的有效教學(xué)，并啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題展開探究討論，在解決問題的過程中“學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考”．下面以一道中考題為例，探討如何運(yùn)用變式教學(xué)理論指導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)題課教學(xué)，并將師生的教學(xué)活動(dòng)與教師的教研活動(dòng)有機(jī)融為一體．

1 試題呈現(xiàn)

問題1 （2021年廣東中考第10題）如圖2，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B為拋物線y=x2上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且OA⊥OB．連接點(diǎn)A，B，過O作OC⊥AB于點(diǎn)C，則點(diǎn)C到y(tǒng)軸距離的最大值為（? ）．

A．12? B．22? C．32? D．1

2 問題解析

2.1 題意與價(jià)值分析

本題是一道根據(jù)動(dòng)點(diǎn)求最值的動(dòng)態(tài)幾何問題，在直角坐標(biāo)系下將二次函數(shù)、相似三角形、圓等知識(shí)點(diǎn)緊密結(jié)合在一起，體現(xiàn)了學(xué)科內(nèi)知識(shí)間的聯(lián)系，是比較綜合的題目，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力．

動(dòng)點(diǎn)A，B的運(yùn)動(dòng)，帶動(dòng)圖形的形狀和數(shù)量關(guān)系變化，點(diǎn)C到y(tǒng)軸距離隨著A，B的運(yùn)動(dòng)而變化．但所給條件動(dòng)靜結(jié)合，動(dòng)中有靜，如∠AOB為定角90°．這里還隱含著直線AB與y軸的交點(diǎn)為一定點(diǎn)的重要條件，可以聯(lián)想到點(diǎn)C是在以線段OD為直徑的圓周上．回到圖2和所給條件，也可以聯(lián)系到證明相似三角形中常見的基本圖形——“一線三垂”圖（圖3），直線EF上對(duì)應(yīng)有三個(gè)直角，顯然△AEO∽△OFB．2.2 相關(guān)題目

如果審題和分析題意后，學(xué)生還不能找到解決問題的方法，可以引導(dǎo)學(xué)生思考是否可以將問題變得更特殊、更簡單一些，將之轉(zhuǎn)化為一個(gè)比較熟悉的可以解決的問題.

如果將題目中的條件“拋物線”換成“圓”，其余條件和所求不變，得到如下題目．

問題2 如圖4，以點(diǎn)P（0，a）為圓心（a>0），a為半徑的圓上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A，B，且OA⊥OB．連接點(diǎn)A，B，過坐標(biāo)原點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)C，則點(diǎn)C到y(tǒng)軸距離的最大值為多少？

簡析 因?yàn)椤螦OB為直角，所以弦AB為圓P的直徑，從而必過圓心P．由OC⊥CP可知點(diǎn)C必在以O(shè)P為直徑的圓上．故點(diǎn)C到y(tǒng)軸距離的最大值為12OP=12a．

此題解答的關(guān)鍵在于，由弦AB所對(duì)圓周角為直角，推出AB必過y軸上的定點(diǎn)（即圓心P）．因此自然會(huì)思考：問題1中直線AB與y軸的交點(diǎn)D是定點(diǎn)嗎？如果是，則用類似問題2的方法立即可知，問題1中點(diǎn)C到y(tǒng)軸距離的最大值為12OD．下面沿著這個(gè)思路嘗試解決問題1．2.3 問題解析

如圖5，作AE⊥x軸于 點(diǎn)E，BF⊥x軸于點(diǎn)F，AH⊥BF于H，設(shè)AH交y軸于點(diǎn)G．設(shè)A（x1，x21），B（x2，x22），D（0，d）．

解法1 由△AGD∽△AHB得AGAH=DGBH，即

－x1x2－x1=d－x21x22－x21，整理得d=－x1x2.

由△AEO∽△OFB得AEOF=EOFB，即

x21x2=－x1x22．

整理得x1x2=－1．所以d=－x1x2=1．即AB交y軸于定點(diǎn)D（0，1）．由∠DCO=90°知，點(diǎn)C在以DO為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，故點(diǎn)C到y(tǒng)軸距離的最大值是12DO=12.

解法2 因?yàn)橹本€AB交y軸于點(diǎn)D（0，d），可設(shè)直線解析式為y=kx+d．聯(lián)立直線和拋物線的解析式，消去y得到x2－kx－d=0．由韋達(dá)定理得x1x2=－d.

由勾股定理，在Rt△AOB中，

AB2=OA2+OB2

=（AE2+OE2）+（OF2+BF2）

=（x21+x41）+（x22+x42）.

在Rt△AHB中，

AB2=AH2+BH2

=（x2－x1）2+（x22－x21）2

=x21－2x1x2+x22+x42－2x21x22+x41.

比較以上兩式得2x21x22=－2x1x2，故x1x2=－1.以下同解法1．

兩種解法的關(guān)鍵都在于求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，判定其為定點(diǎn)（即不隨A，B的運(yùn)動(dòng)而變化）．其中解法1中兩次運(yùn)用相似三角形，更側(cè)重于幾何直觀，而解法2運(yùn)用勾股定理和韋達(dá)定理，更強(qiáng)調(diào)代數(shù)推理．2.4 方法遷移

得到問題1的解答后，能在別的題目中運(yùn)用這個(gè)結(jié)果或者方法嗎？可以看到以下這道題也可以運(yùn)用這個(gè)方法完成．

問題3 （2014年四川宜賓市中考第24題）已知拋物線y=x2+bx+c的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為M（0，-1），與x軸交于A，B兩點(diǎn)．（圖略）

（1）求拋物線的解析式；

（2）判斷△MAB的形狀，并說明理由；

（3）過原點(diǎn)的任意直線（不與y軸重合）交拋物線于C，D兩點(diǎn)，連接MC，MD，試判斷MC，MD是否垂直，并說明理由．

3 變式與拓展

3.1 條件一般化

將問題1中的條件一般化，可得如下變式題．

問題4 設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B為拋物線y=ax2上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且OA⊥OB．連接點(diǎn)A，B，過點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)C，則點(diǎn)C到y(tǒng)軸距離的最大值為．

簡析 如圖5，作AE⊥x軸，BF⊥x軸，AH⊥BF交y軸于點(diǎn)G．設(shè)A（x1，ax21），B（x2，ax22），D（0，d）．顯然x1≠x2.

由△AGD∽△AHB可得AGAH=DGBH，即

－x1x2－x1=d－ax21ax22－ax21．

化簡得d=－ax1x2.

由△AEO∽△OFB得

AEOF=EOFB，即ax21x2=－x1ax22．

化簡得a2x1x2=－1．故d=－ax1x2=1a．

因此，點(diǎn)D（0，1a）為定點(diǎn)．又因?yàn)椤螪CO=90°，所以點(diǎn)C在以DO為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，從而點(diǎn)C到y(tǒng)軸距離的最大值是12DO=12a.

運(yùn)用圖象的平移，可以設(shè)計(jì)如下變式．

問題5 設(shè)拋物線y=x2－1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），點(diǎn)C為拋物線的頂點(diǎn)且CA⊥CB．請(qǐng)用含x1的代數(shù)式表示x2，并證明直線AB必經(jīng)過一定點(diǎn)．

問題6 設(shè)拋物線y=x2－2x+1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），點(diǎn)C為拋物線的頂點(diǎn)且CA⊥CB．請(qǐng)用含x1的代數(shù)式表示x2，并證明直線AB必經(jīng)過一定點(diǎn)．3.2 獲得一般性結(jié)論

在解決問題1和問題4的過程中可以得到如下基本結(jié)論．

性質(zhì)1 如圖2，設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）為拋物線y=ax2上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)．則以下三個(gè)條件等價(jià)，即若其中一個(gè)條件成立則另外兩個(gè)條件也成立．

（1）（定角）OA⊥OB．

（2）（定點(diǎn)）直線AB交y軸于定點(diǎn)D（0，1a），即直線AB的方程為y=kx+1a，其中斜率k隨點(diǎn)A，B的運(yùn)動(dòng)而變化．

（3）（定積）A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)乘積x1x2為定值－1a2．

簡析 由問題4的解答可知，如果（1）成立，則（2）（3）成立．設(shè)（2）成立，聯(lián)立直線和拋物線的方程消去y得ax2－kx－1a=0，則A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足上述一元二次方程，再由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1x2=－1a2，即（3）成立．設(shè)（3）成立，則

AB2=（x2－x1）2+（ax22－ax21）2

=x21+2a2+x22+a2x41-2a2+a2x42

=（x21+a2x41）+（x22+a2x42）

=OA2+OB2.

因此由勾股定理的逆定理得（1）成立．這就證明了（1）（2）（3）三個(gè)條件等價(jià)．

由性質(zhì)1“定點(diǎn)”與“定角”的關(guān)系，立即可得出下面的性質(zhì)2．

性質(zhì)2 如圖2，設(shè)點(diǎn)A，B為拋物線y=ax2上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AB交y軸于點(diǎn)D（0，b）．則

（1）當(dāng)b=1a時(shí)，∠AOB是直角；

（2）當(dāng)0

（3）當(dāng)b>1a時(shí)，∠AOB是銳角．

有了性質(zhì)1和性質(zhì)2這樣的一般性結(jié)論，教師就可以根據(jù)學(xué)生的基礎(chǔ)和教學(xué)目標(biāo)靈活地對(duì)問題進(jìn)行變式延伸，從而一步步地由點(diǎn)到面構(gòu)建知識(shí)與方法體系．3.3 應(yīng)用性質(zhì)

近年各地中考數(shù)學(xué)常常出現(xiàn)與性質(zhì)1相關(guān)的動(dòng)態(tài)幾何問題，其考查的內(nèi)容和思想方法本質(zhì)上沒有太大改變，主要體現(xiàn)在圖形或條件上的局部變化，可以通過轉(zhuǎn)化與化歸、特殊與一般等方式將問題轉(zhuǎn)化為性質(zhì)1的情形．

問題7 （2022年南寧市中考第26題）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，A，B是拋物線y=ax2（a>0）上兩個(gè)不同的點(diǎn)，其中A在第二象限，B在第一象限．

（1）當(dāng)直線AB與x軸平行，∠AOB=90°，且AB=2時(shí)，求拋物線的解析式和A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的乘積．

（2）在（1）所求得的拋物線上，當(dāng)直線AB與x軸不平行，∠AOB仍為90°時(shí)，A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的乘積是否為常數(shù)？如果是，請(qǐng)給予證明；如果不是，請(qǐng)說明理由．

簡析 運(yùn)用性質(zhì)1由“定角”推出“定積”．

問題8 （2015年蘭州市中考第28題）已知二次函數(shù)y=ax2的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，1）．

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）一次函數(shù)y=mx+4的圖象與二次函數(shù)y=ax2的圖象交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)．

①當(dāng)m=32時(shí)，求證：△AOB為直角三角形．

②試判斷當(dāng)m≠32時(shí)，△AOB的形狀，并證明.

（3）根據(jù)第（2）問，說出一條你能得到的結(jié)論（不要求證明）．

簡析 第（2）問可運(yùn)用性質(zhì)1由“定點(diǎn)”推出“定角”．第（3）問答案不唯一，可結(jié)合性質(zhì)1和性質(zhì)2給出．

4 教學(xué)建議

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》［5］指出，數(shù)學(xué)教學(xué)要關(guān)注數(shù)學(xué)的本質(zhì)、關(guān)注通性通法，這意味著初中數(shù)學(xué)命題將愈加重視對(duì)思維過程和探究過程的考查．變式教學(xué)有助于促進(jìn)數(shù)學(xué)習(xí)題課的高效教學(xué)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維進(jìn)而提高對(duì)學(xué)習(xí)的遷移能力．

首先，教師要掌握變式教學(xué)的基本路徑，理解其內(nèi)在的思想精髓．如圖1，變式教學(xué)的核心要義是通過化歸將未知問題逐次簡約，使之與熟悉的基本問題靠攏．或者反過來，從熟悉的基本問題出發(fā)，由簡到繁，變換條件設(shè)置障礙，逐漸指向未知問題．在習(xí)題課教學(xué)實(shí)踐中，教師可利用輔助性提問幫助學(xué)生完成類比和轉(zhuǎn)化（可參考波利亞的“怎樣解題表”［6］），例如，若學(xué)生審題后未找到已知和未知之間的直接聯(lián)系，教師可引導(dǎo)學(xué)生尋找一道以前解過的相關(guān)題目，利用之前的方法和結(jié)果輔助思考當(dāng)前題目，例如，本文中為解答問題1先解答相關(guān)但更簡單的問題2．

其次，教師要完善自身知識(shí)體系，以扎實(shí)學(xué)識(shí)支撐高水平變式教學(xué)．前面的探究中可以發(fā)現(xiàn)，為有效開展變式教學(xué)，教師需要貫通初中數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)甚至高等數(shù)學(xué)的知識(shí)體系結(jié)構(gòu)，理解數(shù)學(xué)研究的基本思維方式和重要的數(shù)學(xué)思想方法，掌握初等數(shù)學(xué)命題的一般性結(jié)論，做好初高中銜接知識(shí)的教授.如此才能高屋建瓴，站在更高的立意和視角審視初中數(shù)學(xué)內(nèi)容，在學(xué)生的知識(shí)范疇內(nèi)對(duì)問題進(jìn)行靈活變式和拓展引申，有梯度有層次多角度地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究和思考，逐步形成完善的知識(shí)與思想方法體系．

最后，需要指出，習(xí)題課變式教學(xué)不可一味追求變化導(dǎo)致走向繁難的機(jī)械訓(xùn)練．文［3］指出，知識(shí)和技能的層次性是動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)活動(dòng)的重要特征．對(duì)數(shù)學(xué)問題一味求變求難而不注重層次性，將演變?yōu)闄C(jī)械訓(xùn)練，與變式教學(xué)的宗旨背道而馳．習(xí)題課變式教學(xué)不必過分強(qiáng)調(diào)多做多練，而是要通過精心的教學(xué)設(shè)計(jì)，讓學(xué)生體會(huì)復(fù)雜問題與相關(guān)基本問題之間的逐層轉(zhuǎn)化，再利用適量的有代表性的題目遞變式地開展變式訓(xùn)練，提升學(xué)生分步解決問題的能力，形成多層次的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)和系統(tǒng)經(jīng)驗(yàn)．

參考文獻(xiàn)

［1］顧泠沅.教學(xué)實(shí)驗(yàn)論：青浦實(shí)驗(yàn)的方法學(xué)與教學(xué)原理研究［M］．北京：教育科學(xué)出版社，1994：101-125，137-138．

［2］顧泠沅，黃榮金，F(xiàn)·馬頓．變式教學(xué)：促進(jìn)有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的中國方式［A］.范良火，黃毅英，蔡金法，李士鑄．華人如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)［C］．南京：江蘇教育出版社，2005：247-273．

［3］顧非石，顧泠沅．詮釋“中國學(xué)習(xí)者悖論”的變式教學(xué)研究［J］．課程·教材·教法，2016，36（03）：86-91．

［4］鮑建生，黃榮金，易凌峰，等．變式教學(xué)研究（續(xù)）［J］．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)，2003（02）：6-10．

［5］中華人民共和國教育部．義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］．北京：北京師范大學(xué)出版社，2022．

［6］［美］G·波利亞．怎樣解題［M］．涂泓，馮承天，譯.上海：上海科技教育出版社，2018.

作者簡介 林潔容（1989—），女，廣東英德人，碩士，中學(xué)一級(jí)教師，惠州市名班主任工作室主持人;主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)和德育研究.