【摘 要】 從知識(shí)源流、學(xué)科聯(lián)系、社會(huì)角色、審美娛樂以及多元文化五方面，對(duì)中國、美國及新加坡四套初中數(shù)學(xué)教材中勾股定理內(nèi)容的數(shù)學(xué)文化類型進(jìn)行比較研究.研究發(fā)現(xiàn)，美國GM版與新加坡NSM版更重視數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，且教材中的素材更具真實(shí)性，數(shù)學(xué)文化類型也更豐富.人教版與北師大版中知識(shí)源流與多元文化類別涉及較多，但缺乏數(shù)學(xué)史與多元文化應(yīng)用類素材.建議在教材編制過程中，素材選取應(yīng)更貼近學(xué)生的生活現(xiàn)實(shí)，更注重創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境，豐富素材中的數(shù)學(xué)文化類型.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)教材；數(shù)學(xué)文化；勾股定理;比較研究

1 問題提出

數(shù)學(xué)文化是人類一般文化活動(dòng)中相對(duì)獨(dú)立的子系統(tǒng)，是科學(xué)文化的基礎(chǔ)部分［1-3］，如何弘揚(yáng)數(shù)學(xué)文化是數(shù)學(xué)教育中的重要話題之一.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的選擇應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)文化，在教材編寫中建議應(yīng)介紹數(shù)學(xué)文化以拓展學(xué)生視野［4］.數(shù)學(xué)文化與人文、科學(xué)技術(shù)以及廣泛的社會(huì)生活聯(lián)系緊密，是培養(yǎng)學(xué)生“三會(huì)”即會(huì)用“數(shù)學(xué)眼光”“數(shù)學(xué)思維”以及“數(shù)學(xué)語言”觀察、思考及表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的重要通道.

國內(nèi)對(duì)于勾股定理內(nèi)容所涉及數(shù)學(xué)文化的研究較少，現(xiàn)有文獻(xiàn)主要聚焦于教材比較研究或教學(xué)研究.勾股定理內(nèi)容有著豐富的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵，且美國與新加坡數(shù)學(xué)教育方面位于世界先列.基于此，本文將對(duì)中、美、新三國四版教材中勾股定理內(nèi)容的數(shù)學(xué)文化進(jìn)行比較研究.

2 研究設(shè)計(jì)

2.1 研究對(duì)象

以美國McGraw-Hill出版社出版的Glencoe Math Course 3 （以下簡稱“GM版”）、新加坡Shinglee出版社出版的New Syllabus Mathematics 2（以下簡稱“NSM版”）、中國人民教育出版社出版的《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)（八年級(jí)下冊(cè)）》（以下簡稱“人教版”）以及北京師范大學(xué)出版社出版的《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)（八年級(jí)上冊(cè)）》（以下簡稱“北師大版”）四版教材中的勾股定理內(nèi)容作為研究對(duì)象.

2.2 研究框架

研究借鑒汪曉勤［5-6］等對(duì)數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)文化內(nèi)容類型的比較框架設(shè)計(jì)，框架將數(shù)學(xué)文化分為五類：知識(shí)源流、學(xué)科聯(lián)系、社會(huì)角色、審美娛樂以及多元文化，如表1.

3 研究結(jié)果

3.1 整體統(tǒng)計(jì)結(jié)果

采用上述理論分析框架，對(duì)四版教材中數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容類型分別進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表2所示.根據(jù)表2中數(shù)據(jù)可知，四版教材均在“社會(huì)角色”類別中占比最大，相比其他版本教材來說，NSM版占比最大，GM版排在第二.而四版教材在“審美娛樂”類別占比最小，NSM版與GM版均未涉及該類別內(nèi)容，人教版與北師大版也分別僅涉及1處.此外，人教版與北師大版在“知識(shí)源流”與“多元文化”類別中的占比均大于NSM版與GM版教材.

（1）知識(shí)源流

“知識(shí)源流”素材通過數(shù)學(xué)史、人物以及事件等展現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)展的來龍去脈，是數(shù)學(xué)文化的重要組成部分.四版教材中均對(duì)勾股定理的源流進(jìn)行簡介，其中，NSM版與GM版采用傳說中的畢達(dá)哥拉斯證法，同時(shí)提到中國關(guān)于勾股定理所作出的貢獻(xiàn).而人教版采用《周髀算經(jīng)》中趙爽的證明方法，并在章前圖中提及2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)徽.北師大版教材對(duì)勾股定理進(jìn)行簡介，簡介中不僅涉及中國，還提及古希臘等國外文化源流及證法，并在習(xí)題中提及傳說中的畢達(dá)哥拉斯證法.不同于NSM版與GM版，人教版與北師大版還提到《九章算術(shù)》中計(jì)算蘆葦長度的歷史名題，人教版還提及竹子折斷的問題，并進(jìn)行一定程度的改編.

（2）學(xué)科聯(lián)系

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出的“三會(huì)”核心素養(yǎng)培養(yǎng)要求中，多次提及建立數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系，要求能在其他學(xué)科中發(fā)現(xiàn)并用數(shù)學(xué)語言表達(dá)事物的性質(zhì)、關(guān)系及規(guī)律［4］5-7，豐富學(xué)生觀察世界的角度.“學(xué)科聯(lián)系”主要分為“科學(xué)技術(shù)”與“人文藝術(shù)”兩類.

在“科學(xué)技術(shù)”子類別中，四版教材對(duì)地球科學(xué)與工業(yè)建筑科學(xué)較為關(guān)注.在地球科學(xué)中，GM版涉及北卡羅萊納州三角區(qū)（如圖1）、懷俄明州對(duì)角線長度以及飛機(jī)飛行高度等素材;NSM版涉及輪船航行航線等素材;人教版涉及輪船航行與A，B，C三地地理位置等素材（如圖2）;北師大版涉及帆船航行等素材.在工業(yè)建筑科學(xué)中，NSM版與GM版分別以工廠傳送帶和為樓梯建扶手、建輪椅坡道作為素材設(shè)計(jì)例習(xí)題；而人教版教材在該子類別中只涉及零件問題，且設(shè)計(jì)3道以工業(yè)零件為背景的習(xí)題；北師大版以零件設(shè)計(jì)和城墻與護(hù)城河為素材設(shè)計(jì)習(xí)題.

在“人文藝術(shù)”子類別中，GM版教材以設(shè)計(jì)彩色玻璃窗戶為素材，NSM版以設(shè)計(jì)兒童桌子為素材，北師大版以雕塑是否垂直為素材，人教版在該子類別中沒有涉及相關(guān)素材.

（3）社會(huì)角色

數(shù)學(xué)不僅在科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域起著重要作用，同時(shí)數(shù)學(xué)與社會(huì)的關(guān)系也密不可分.“社會(huì)角色”主要分為個(gè)人日常生活和社會(huì)生活兩類.如圖3所示，NSM版與GM版教材在該類別中涉及素材較多，且不同于中國教材的素材分布，NSM版與GM版教材更多的將素材集中在個(gè)人日常生活中.

在個(gè)人日常生活中，相比中國教材而言，GM版與NSM版教材除素材分布占比較多外，兩版教材中的素材也比中國教材中更加活潑，同時(shí)也更具真實(shí)性.GM版教材涉及的素材有計(jì)算貓?jiān)跇渖系母叨?、到奶奶家的距離、鳥與男孩的距離及魚竿能否裝入盒子等日常生活素材，還有校園嘉年華帳篷等校園生活類素材，以及派對(duì)帽子與裝飾、滑翔傘運(yùn)動(dòng)等娛樂素材（如圖4）；NSM版教材涉及的素材有菱形地磚、快遞員送包裹路線、公文包對(duì)角線等日常生活素材以及操場對(duì)角線等校園生活素材.人教版與北師大版教材涉及的素材較少，人教版涉及小明向不同方向行走與門板能否放入門框等日常生活素材（如圖5）；北師大版涉及木條放入電梯、計(jì)算電視機(jī)尺寸等日常生活素材.

在社會(huì)生活中，四版教材均涉及計(jì)算靠在樓房旁的梯子長度等，其中GM版還提及河水深度等素材，NSM版教材提及聚光燈照射與投影等素材，人教版與北師大版涉及螞蟻爬紙箱計(jì)算最短距離與將木棒放入紙箱等素材.

（4）審美娛樂

數(shù)學(xué)具有美學(xué)價(jià)值，數(shù)學(xué)教育教學(xué)過程中需要幫助學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的審美價(jià)值［8］，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美，欣賞數(shù)學(xué)美，體驗(yàn)數(shù)學(xué)美以及創(chuàng)造數(shù)學(xué)美［4］.在教材中主要由“審美娛樂”素材承擔(dān)，其主要包括數(shù)學(xué)審美與趣味數(shù)學(xué).NSM版與GM版教材均未涉及該類別的素材.人教版教材呈現(xiàn)數(shù)學(xué)海螺圖，利用勾股定理知識(shí)與無理數(shù)向?qū)W生展現(xiàn)數(shù)學(xué)美.而北師大版教材在習(xí)題中，通過讓學(xué)生操作的方式引導(dǎo)呈現(xiàn)“畢達(dá)哥拉斯樹”，讓學(xué)生感受并體驗(yàn)數(shù)學(xué)美.不同于人教版的內(nèi)容設(shè)置，北師大版將實(shí)數(shù)的學(xué)習(xí)安排至勾股定理之后，數(shù)學(xué)海螺圖也安排至實(shí)數(shù)章節(jié)內(nèi).

（5）多元文化

“多元文化”主要是不同時(shí)間、地域以及文化背景下的數(shù)學(xué)素材，分為多元文化創(chuàng)造與應(yīng)用.在該類別中，GM版教材涉及素材占比最少，北師大版教材素材數(shù)量最多.在多元文化創(chuàng)造中，GM版教材僅提及畢達(dá)哥拉斯和中國對(duì)勾股定理的貢獻(xiàn)，NSM版教材中的素材包括畢達(dá)哥拉斯在音樂方面的建樹（如圖6）以及費(fèi)馬大定理，中國教材更注重多種證法的展現(xiàn)，人教版教材在閱讀與思考中提及傳說中的畢達(dá)哥拉斯證法與美國總統(tǒng)加菲爾德證法，要求學(xué)生按提示嘗試完成證明，此外還提及畢達(dá)哥拉斯的發(fā)現(xiàn)以及費(fèi)馬大定理等.北師大版教材在習(xí)題中將美國總統(tǒng)伽菲爾德證法改編，以問題的形式呈現(xiàn)，并在讀一讀中呈現(xiàn)古印度的無字證明、意大利畫家達(dá)芬奇的方法等.在多元文化應(yīng)用中，四版教材相關(guān)素材較少，均只提及埃及繩結(jié)問題.

4 討論

在教材中融入數(shù)學(xué)文化是拓寬學(xué)生視野的重要方式.從發(fā)揚(yáng)中華民族傳統(tǒng)文化來看，中國兩版教材充分地展現(xiàn)了中國古人在勾股定理方面所作出的貢獻(xiàn)，增強(qiáng)了學(xué)生的文化自信，提升了學(xué)生的民族自豪感.但在培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光認(rèn)識(shí)與探究現(xiàn)實(shí)世界方面，GM版與NSM版教材做得較好，中國教材還可以展現(xiàn)得更多.

人教版與北師大版教材較好地展現(xiàn)了數(shù)學(xué)史與多元文化，尤其是關(guān)于勾股定理的證明方法，北師大版更是介紹了除文字語言證明之外的無字證明，此外兩版教材還各涉及1處審美娛樂類型素材.但數(shù)學(xué)史與多元文化并不全是勾股定理證明等創(chuàng)造性內(nèi)容，更多的以應(yīng)用形式存在于數(shù)學(xué)文化之中，目前兩版教材編寫應(yīng)進(jìn)一步增加數(shù)學(xué)史與多元文化應(yīng)用類素材.此外，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》對(duì)教材編寫的建議在舊版課標(biāo)“呈現(xiàn)內(nèi)容的素材應(yīng)貼近學(xué)生現(xiàn)實(shí)”的基礎(chǔ)上增加了“真實(shí)可信”的要求，中國兩版教材中，個(gè)人生活作為數(shù)學(xué)文化背景的內(nèi)容較少，且素材與學(xué)生生活背景的貼合度與素材的真實(shí)性也有待改善.

美國與新加坡十分重視現(xiàn)實(shí)世界教育，并強(qiáng)調(diào)將培養(yǎng)21世紀(jì)技能落實(shí)［9］.在GM版教材中每一節(jié)都設(shè)有Real-World Link與Real-World Examples欄目（如圖7），同時(shí)，教材習(xí)題以及其他欄目也都充分展現(xiàn)了貼近學(xué)生生活現(xiàn)實(shí)的編寫原則.新加坡NSM版教材還有著一定的人文價(jià)值以及較為豐富的數(shù)學(xué)文化類型.兩版教材在勾股定理內(nèi)容中，有著較多的校園及娛樂生活素材，整體編排生動(dòng)活潑，素材更具真實(shí)可信度.

5 建議

納百家之長以厚己，通過將中國數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)文化與美國和新加坡教材進(jìn)行比較，對(duì)我國教材編寫提供一些有益的啟示.基于以上研究，提出以下建議.5.1 素材選取應(yīng)更貼近學(xué)生的生活現(xiàn)實(shí)

教材可提升素材與學(xué)生個(gè)人日常生活的貼合度，捕捉學(xué)生個(gè)人日常生活中的勾股定理.同時(shí)，應(yīng)進(jìn)一步增加校園生活與娛樂生活等學(xué)生最容易接觸到、最感興趣的內(nèi)容，以及其他貼近學(xué)生生活現(xiàn)實(shí)且具有趣味性的題材.教材編寫時(shí)應(yīng)結(jié)合學(xué)生認(rèn)知水平和生活經(jīng)驗(yàn)，選取符合學(xué)生年齡特點(diǎn)和認(rèn)知加工特點(diǎn)的素材，從生活實(shí)例中培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界的能力.

5.2 素材應(yīng)更注重創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境

首先，教材應(yīng)注重增加素材的真實(shí)可信度，提供更加生動(dòng)活潑的數(shù)學(xué)文化素材，將可分離運(yùn)用水平的素材進(jìn)行刪減或替換.比如，減少出現(xiàn)以“A，B，C”等形式表示地名的素材類型，以真實(shí)的地名取而代之則更具真實(shí)性；又如GM版教材中去奶奶家路線的素材比小明向不同方向行走的問題更具可信度；再如GM版教材中魚竿放入盒子比人教版中木條放入盒中更加有意義.

其次，應(yīng)進(jìn)一步挖掘現(xiàn)實(shí)生活中真實(shí)的數(shù)學(xué)問題.比如，浙江省東陽市村民有著祖?zhèn)鞯哪竟な炙嚕麄冊(cè)谥谱饕鹿駮r(shí)分別在橫向60厘米和豎向80厘米處釘小釘子，然后測量兩釘子之間的距離是否為100厘米，以此來檢驗(yàn)衣柜上頂?shù)钠矫娼鞘欠駷橹苯?，衣柜是否方正?0］.教材應(yīng)以真實(shí)問題作為素材與學(xué)習(xí)的載體，關(guān)注情境的真實(shí)性，從而增強(qiáng)學(xué)生認(rèn)識(shí)真實(shí)世界、解決真實(shí)問題的能力.5.3 豐富素材中的數(shù)學(xué)文化類型5.3.1 增加與跨學(xué)科內(nèi)容的聯(lián)系

首先，應(yīng)均衡數(shù)學(xué)與科學(xué)技術(shù)的類型.數(shù)學(xué)與科學(xué)技術(shù)類型中，教材較多地關(guān)注地球科學(xué)與工業(yè)建筑科學(xué)類型，較少的涉及生物科學(xué)、物質(zhì)科學(xué)以及高新技術(shù)等類型.我國兩版教材中多次將零件問題作為勾股定理學(xué)習(xí)的背景素材，導(dǎo)致與科學(xué)技術(shù)類的學(xué)科聯(lián)系素材內(nèi)容單一，不利于發(fā)展學(xué)生跨學(xué)科應(yīng)用意識(shí).因此，應(yīng)豐富數(shù)學(xué)與科學(xué)技術(shù)聯(lián)系的素材類型，比如可以將勾股定理與等高線地形圖、與草本植物纏繞樹干［11］等學(xué)科內(nèi)容進(jìn)行聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生跨學(xué)科思維應(yīng)用.

再者，數(shù)學(xué)不僅與科學(xué)技術(shù)聯(lián)系緊密，數(shù)學(xué)與人文藝術(shù)也有著很深的淵源.在新加坡NSM版教材中以附加的形式提到畢達(dá)哥拉斯在音樂領(lǐng)域發(fā)現(xiàn)音律的五度相生法，然而在歷史上中華民族非常重視音樂，甚至將音樂與朝代更迭相聯(lián)系.朱載堉作為十二平均律的創(chuàng)作者，曾將黃鐘長度1尺通過勾股定理化為弦冪再開方等方法，計(jì)算出十二平均律各律數(shù)值，是世界歷史上將數(shù)學(xué)與音樂完美結(jié)合的第一人［12］.這些素材不僅能發(fā)揚(yáng)中華民族傳統(tǒng)文化，增加學(xué)生的文化自信，還可以讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的魅力，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的人文價(jià)值與應(yīng)用價(jià)值.

5.3.2 豐富數(shù)學(xué)史的應(yīng)用類素材

除證明方法之外，在歷史上勾股定理有著豐富的文化內(nèi)涵與廣泛的應(yīng)用，教材應(yīng)增加勾股定理應(yīng)用類的歷史素材.比如，歷史早期的陳子測日［10］3-4與大禹治水［10］96等著名的勾股定理應(yīng)用問題，還有明代程大位所編《算法統(tǒng)宗》中的秋千問題等中國古代問題［13］.教材應(yīng)當(dāng)繼續(xù)挖掘數(shù)學(xué)史中的應(yīng)用素材，更豐富地呈現(xiàn)歷史源流與多元文化類數(shù)學(xué)文化素材.

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