巨小鵬

(陜西省漢中市龍崗學(xué)校 723102)

平面解析幾何是選擇性必修主題二幾何與代數(shù)的內(nèi)容，是創(chuàng)立微積分的基礎(chǔ).其方法就是通過(guò)建系，借助直線、圓與圓錐曲線的幾何特征，導(dǎo)出相應(yīng)方程，再用代數(shù)的方法研究其幾何性質(zhì)，完美體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中往往有這樣的幾個(gè)難點(diǎn)：一是對(duì)基本概念和基本公式理解不夠深刻；二是對(duì)解析幾何中所要用到的思想和方法掌握不夠；三是代數(shù)運(yùn)算能力不夠.針對(duì)這些難點(diǎn)，依據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)，理解基本概念，依托高考真題，總結(jié)規(guī)律，掌握方法，把握其內(nèi)在邏輯，優(yōu)化計(jì)算方法.

1 精準(zhǔn)領(lǐng)會(huì)新課程標(biāo)準(zhǔn)要求

1.1 新舊課程標(biāo)準(zhǔn)教學(xué)要求區(qū)別

新課標(biāo)刪除了“體會(huì)斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系”，明確了“掌握平面上兩點(diǎn)的距離公式”，增加了能解決一些“實(shí)際問(wèn)題”.對(duì)知識(shí)內(nèi)容的整合，用代數(shù)法研究幾何問(wèn)題，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想是本章內(nèi)容的核心，這種思想貫穿該內(nèi)容教學(xué)的始終.新課標(biāo)對(duì)拋物線的要求是了解，難度也有所降低；舊課標(biāo)“能用坐標(biāo)法解決一些與圓錐曲線有關(guān)的簡(jiǎn)單幾何問(wèn)題(直線與圓錐曲線的位置關(guān)系)和實(shí)際問(wèn)題”降為“了解橢圓和拋物線的簡(jiǎn)單應(yīng)用”，增加了“平面解析幾何的形成與發(fā)展”，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的文化價(jià)值.刪除了“曲線與方程”相關(guān)內(nèi)容.

1.2 四了解、四探索和四能

了解：了解圓錐曲線的實(shí)際背景；了解拋物線與雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及它們的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；了解拋物線與雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及它們的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；了解橢圓、拋物線的簡(jiǎn)單應(yīng)用.

探索：探索確定直線位置的幾何要素；探索并掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式，兩點(diǎn)式及一般式)；探索并掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)到直線的距離公式；探索并掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.

能：能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直；用解方程組的方法求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系；能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題與實(shí)際問(wèn)題.

重點(diǎn)提升學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

1.3 高考考情統(tǒng)計(jì)分析

幾類問(wèn)題高考卷幾類問(wèn)題高考卷范圍(最值)問(wèn)題2021年乙卷(2)2019年Ⅱ卷文(2)20題理(2)21題求面積問(wèn)題2019年Ⅲ卷(2)2020年Ⅲ卷(2)定點(diǎn)(值)問(wèn)題2020年Ⅰ卷文理(2)、2021新高考Ⅰ卷(2)2019年Ⅰ卷文(2)、2019年Ⅲ卷(文)(1)2017年Ⅰ卷理(2)、2017年Ⅱ卷文理(2)2017年Ⅲ卷文(2)求方程(軌跡)問(wèn)題2017和2019年Ⅰ卷理(1)、2021新高考Ⅰ卷(1)2020年文理(2)、2018年Ⅱ卷理(1)(2)2017年Ⅲ卷理(2)、2018年Ⅰ卷理(1)2019年Ⅱ卷理(1)、2017年Ⅱ卷文理(1)弦長(zhǎng)問(wèn)題2019年Ⅰ卷(理)(2)2017年Ⅲ卷(文)(2)探索性問(wèn)題2019年Ⅰ卷文(2)2017年Ⅲ卷文(1)

從統(tǒng)計(jì)明顯看出：(1)解答題第一問(wèn)考查軌跡方程比較多，難度不大，考查基礎(chǔ)概念，基本方法；(2)定點(diǎn)(值)問(wèn)題也是第二問(wèn)?？碱愋?，然后是范圍(最值)問(wèn)題，其中可能與函數(shù)最值或者不等式交匯考查；(3)探索性問(wèn)題也值得關(guān)注，試題本身的開放性只有在探索中才能體現(xiàn)出學(xué)生思維的方向性，作為選拔性考試，難度稍大.

2 幾個(gè)常見(jiàn)問(wèn)題多視角通法分析

2.1 解決范圍(最值)問(wèn)題中的多個(gè)視角

求范圍(最值)問(wèn)題常常將目標(biāo)轉(zhuǎn)化至函數(shù)或者不等關(guān)系，此時(shí)審視角度較多，比如利用幾何特征數(shù)形結(jié)合、判別式、求值域(二次函數(shù)和求導(dǎo)函數(shù)法較多)、基本不等式、正余弦定理、三角換元(參數(shù)方程法較多)、利用題中隱含條件建立不等關(guān)系或者利用線性規(guī)劃及其綜合方法解決問(wèn)題.

(1)求C的方程，并說(shuō)明C是什么曲線；

(2)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為點(diǎn)E，連接QE并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)G.

(ⅰ)證明：△PQG是直角三角形；

(ⅱ)求△PQG面積的最大值.

(2)(ⅰ)設(shè)直線PQ的方程為y=kx,可知k>0,直線PQ的方程與橢圓方程x2+2y2=4聯(lián)立.

因?yàn)辄c(diǎn)P在第一象限，所以

消去y，得

①

代入直線QE方程中，得

所以點(diǎn)G的坐標(biāo)為

直線PG的斜率為

所以PQ⊥PG.

因此△PQG是直角三角形.

消去y,得(1+2k2)x2=4.

即sin2α+2cos2α=2cosαcosβ+sinαsinβ.

設(shè)θ=α-β，則sin2α+2cos2α=2cosαcos(α-θ)+sinαsin(α-θ)=2cosα(cosαcosθ+sinαsinθ)+sinα(sinαcosθ-cosαsinθ)=(sin2α+2cos2α)cosθ+sinαsinθcosα.

故(sin2α+2cos2α)(1-cosθ)=sinαsinθcosα.

根據(jù)坐標(biāo)系中三角形面積公式得

評(píng)注本題解法1比較常規(guī)，利用斜率坐標(biāo)和距離求解，屬于通性通法，解法2對(duì)解法1進(jìn)行了優(yōu)化運(yùn)算，利用基本不等式求最值，換元比求導(dǎo)運(yùn)算量小多了，解法3運(yùn)用角度和距離求解，不容易想到，解法4利用橢圓參數(shù)方程進(jìn)行三角換元，難度較大，但是利用三角換元求最值有時(shí)會(huì)起到事半功倍的效果，此題還可以進(jìn)行仿射變換求解，在此不做贅述.作為壓軸題考查了學(xué)生邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

2.2 解決定點(diǎn)(值)問(wèn)題中的幾個(gè)方法

(1)求E的方程；

(2)證明：直線CD過(guò)定點(diǎn).

整理,得

②

③

由②③,得x1y2-3y2y1=-9y1-3y2.

④

由第三定義可知：

則3x1y2-x2y1+3y1-9y2=0.

⑤

則CD的直線方程為

評(píng)注本題考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)及方程思想，計(jì)算能力及轉(zhuǎn)化思想、推理論證能力.也可以利用曲線系和極點(diǎn)極線去解決，由于通性通法比較常用，在此不再贅述.

總結(jié)提升(1)求解直線或圓錐曲線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的基本思路是：把直線或圓錐曲線方程中的變量x，y看成常數(shù)，把方程的一端化為零，將方程轉(zhuǎn)化為以參數(shù)為主變量的方程，這個(gè)方程對(duì)任意參數(shù)都成立，這時(shí)參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個(gè)關(guān)于x，y的方程組，這個(gè)方程組的解所確定的點(diǎn)就是直線或圓錐曲線所過(guò)的定點(diǎn).(2)求定值問(wèn)題常用的角度有兩種：一是從特殊值入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；二是直接計(jì)算、推理，并在計(jì)算、推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值.

2.3 解決弦長(zhǎng)問(wèn)題的幾個(gè)視角

(1)若|AF|+|BF|=4，求l的方程；

整理,得9x2+12(b-1)x+4b2=0.

故Δ=144(b-1)2-144b2>0.

所以y1=-3y2.

整理，得y2-2y+2b=0.

所以y1+y2=2.

解得y1=3，y2=-1.

⑥

(1)因?yàn)閨AF|+|BF|=4，

⑦

(1)因?yàn)閨AF|+|BF|=4，

評(píng)注本題中利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義解題尤其簡(jiǎn)單，計(jì)算量小，思維量也不大，但是對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)不易想.解決此類問(wèn)題常用視角有：①通性通法(利用基本概念和性質(zhì))；②設(shè)直線參數(shù)方程法；③設(shè)圓錐曲線參數(shù)方程法；④極坐標(biāo)法.

在解答題中以上的總結(jié)還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，比如求軌跡方程的常用方法：

(1)直接法：如果動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件本身就是一些幾何量，如距離和角的等量關(guān)系，或幾何條件簡(jiǎn)單明了易于表達(dá)，只需要把這種關(guān)系轉(zhuǎn)化為x,y的等式，就能得到曲線的軌跡方程.

(2)定義法：某動(dòng)點(diǎn)的軌跡符合某一基本軌跡如直線、圓錐曲線的定義，則可根據(jù)定義設(shè)方程，求方程系數(shù)得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

(3)幾何法：若所求軌跡滿足某些幾何性質(zhì)，如線段的垂直平分線，角平分線的性質(zhì)，則可以用幾何法，列出幾何式，再代入點(diǎn)的坐標(biāo)即可.

(4)相關(guān)點(diǎn)法(代入法)：若動(dòng)點(diǎn)滿足的條件不變用等式表示，但動(dòng)點(diǎn)是隨著另一動(dòng)點(diǎn)(稱之為相關(guān)點(diǎn))的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，且相關(guān)點(diǎn)滿足的條件是明顯的或是可分析的，這時(shí)我們可以用動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的方程，求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

(5)交軌法：在求動(dòng)點(diǎn)軌跡時(shí)，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)求兩個(gè)動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，這類問(wèn)題常常通過(guò)解方程組得出交點(diǎn)(含參數(shù))的坐標(biāo)，再消去參數(shù)即可求出所求軌跡的方程.還有關(guān)于面積問(wèn)題、探索性問(wèn)題等，解析幾何中除了通性通法還有很多視角值得研究，比如彭賽列閉合定理、阿基米德三角形和仿射變換等以高等數(shù)學(xué)為背景的初等解法值得繼續(xù)探究.