湖北 黃尚鵬

本文先介紹如何用遞推法求解2022年高考湖南卷物理壓軸題的第(3)問(wèn)，總結(jié)了求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的兩種常用方法，即累加相消法和構(gòu)造等比數(shù)列法，以期幫助廣大讀者深入理解遞推法，掌握遞推法的應(yīng)用技巧，既而進(jìn)一步探究籃球自由彈跳過(guò)程運(yùn)動(dòng)的總路程問(wèn)題。

一、對(duì)原題的分析與解答

圖1

(1)求籃球與地面碰撞的碰后速率與碰前速率之比；

(2)若籃球反彈至最高處h時(shí)，運(yùn)動(dòng)員對(duì)籃球施加一個(gè)向下的壓力F，使得籃球與地面碰撞一次后恰好反彈至h的高度處，力F隨高度y的變化如圖2所示，其中h0已知，求F0的大小；

圖2

(3)籃球從H高度處由靜止下落后，每次反彈至最高點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)員拍擊一次籃球(拍擊時(shí)間極短)，瞬間給其一個(gè)豎直向下、大小相等的沖量I，經(jīng)過(guò)N次拍擊后籃球恰好反彈至H高度處，求沖量I的大小。

【分析與解答】(1)籃球從離地H高度處由靜止下落的過(guò)程，設(shè)籃球與地面碰撞的碰前速率為v1，由動(dòng)能定理得

籃球與地面發(fā)生一次非彈性碰撞后反彈至離地h的最高處的過(guò)程，設(shè)籃球與地面碰撞的碰后速率為v2，由動(dòng)能定理得

設(shè)籃球每次與地面碰撞的碰后速率與碰前速率之比為

(2)籃球反彈至最高處h時(shí)，運(yùn)動(dòng)員對(duì)籃球施加一個(gè)向下的壓力F，力F隨高度y的變化圖像與橫軸圍成的圖形的面積表示變力F所做的功，由動(dòng)能定理得

聯(lián)立①④可得

圖3

第n次反彈至最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)員拍擊籃球后，下落過(guò)程由動(dòng)能定理得

反彈后上升過(guò)程由動(dòng)能定理得

籃球與地面碰撞的碰后速率與碰前速率之比為

數(shù)列{hn}由遞推公式給出，如何求解它的通項(xiàng)公式呢？可以采用以下的兩種方法。

方法一：構(gòu)造等比數(shù)列法

引入待定常數(shù)α，使hn-α=p(hn-1-α)，則hn=phn-1+(1-p)α

故數(shù)列{hn-α}是以h0-α=h-α為首項(xiàng)，p為公比的等比數(shù)列。

因此hn-α=pn(h0-α)=pn(h-α)，即hn=pn(h-α)+α

方法二：累加相消法

遞推公式hn=phn-1+q兩邊同時(shí)除以pn，得

根據(jù)等比數(shù)列求和公式得

同樣得到hn=pn(h-α)+α，代入p和α的表達(dá)式后即得數(shù)列{hn}的通項(xiàng)公式

因此，沖量

二、試題評(píng)析

本題以拍籃球?yàn)榍榫?，綜合考查動(dòng)能定理、變力做功、動(dòng)量定理等主干知識(shí)，是一道典型的動(dòng)量與能量結(jié)合的綜合題。本題第(1)問(wèn)考查動(dòng)能定理的應(yīng)用(當(dāng)然也可用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和牛頓第二定律聯(lián)立求解)。第(2)問(wèn)在考查動(dòng)能定理的基礎(chǔ)上進(jìn)一步考查求解變力做功的一種常用計(jì)算方法——面積法，即力F隨高度y的變化圖像與橫軸圍成的圖形的面積表示變力F所做的功，這兩問(wèn)都很基礎(chǔ)，不偏不怪。第(3)問(wèn)難度較大，考查了一種重要的數(shù)學(xué)方法——遞推法，考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題的能力。所謂遞推法，即當(dāng)問(wèn)題中涉及的物理過(guò)程較多，且各物理過(guò)程具有相同的特點(diǎn)和遵循相同的規(guī)律時(shí)，可選取有代表性的任意一物理過(guò)程進(jìn)行分析，得出聯(lián)系相鄰物理過(guò)程的相關(guān)物理量的遞推關(guān)系式，再根據(jù)遞推公式求解相關(guān)物理量的通項(xiàng)公式，從而解決問(wèn)題的一種科學(xué)思維方法。累加相消法和構(gòu)造等比數(shù)列法是求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法，只要我們抓住遞推數(shù)列的遞推關(guān)系，分析結(jié)構(gòu)特征，善于合理變形，就能找到解決問(wèn)題的有效途徑。為使學(xué)生深入理解遞推法，掌握遞推法的應(yīng)用技巧，再舉一例如下。

在如圖4所示的電路中，S是一單刀雙擲開(kāi)關(guān)，R1、R2為定值電阻，C1和C2為兩個(gè)平行板電容器，初始時(shí)刻，兩個(gè)電容器都不帶電。S擲向a時(shí)，C1獲電荷量為Q，當(dāng)S再擲向b時(shí)，C2獲電荷量為q。問(wèn)經(jīng)過(guò)n次S擲向a，再擲向b后，C2將獲得多少電荷量？

圖4

【分析與解答】設(shè)S第n次由a擲向b后，電容器C2的電荷量為qn(n≥1)，顯然q1=q

每次S接通a后，電容器C1的電荷量都為Q=C1ε

數(shù)列{qn}由遞推公式給出，如何求解它的通項(xiàng)公式呢？可以采用以下兩種方法。

方法一：累加相消法

方法二：構(gòu)造等比數(shù)列法

因此qn-λ=(q1-λ)kn-1

顯然用“遞推法”解題的關(guān)鍵是導(dǎo)出聯(lián)系相鄰物理過(guò)程的相關(guān)物理量的遞推關(guān)系式。

三、變式探究籃球自由彈跳過(guò)程運(yùn)動(dòng)的總路程

【變式探究(一)】本題第(3)問(wèn)改為籃球從H高度處由靜止下落后，每次反彈至最高點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)員并不拍擊籃球而是讓籃球在空中自由彈跳直致最終靜止于地面，求籃球自由彈跳過(guò)程運(yùn)動(dòng)的總路程。

【變式探究(二)】本題改為質(zhì)量為m的籃球從離地H高度處由靜止下落，與地面發(fā)生一次彈性碰撞后反彈至離地h的最高處。設(shè)籃球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所受空氣阻力的大小恒定，且籃球每次與地面的碰撞為彈性碰撞，求籃球在空中自由彈跳過(guò)程運(yùn)動(dòng)的總路程。

證明：第n次反彈至最高點(diǎn)后，下落過(guò)程由動(dòng)能定理得

反彈后上升過(guò)程由動(dòng)能定理得