安徽 馬仕彪

滑塊與斜面模型之間力的關(guān)系、運(yùn)動(dòng)關(guān)系、能量關(guān)系和動(dòng)量關(guān)系等都是高考的熱點(diǎn)，在歷年高考物理試題中屢見不鮮，在平時(shí)的練習(xí)中也備受矚目，但滑塊與斜面間的細(xì)節(jié)，如受力分析、運(yùn)動(dòng)情況等解決起來卻很棘手，特別是當(dāng)斜面不固定時(shí)滑塊和斜面間關(guān)系的討論更是困難。本文結(jié)合力和運(yùn)動(dòng)等知識(shí)，深度討論滑塊與斜面之間的關(guān)系，以完備高中物理知識(shí)體系，增強(qiáng)學(xué)生的物理興趣和解決實(shí)際問題的能力。

滑塊在斜面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，滑塊的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可能是勻速、也可能是加速；斜面可能是固定、也可能是不固定的，筆者下面主要采用整體法與隔離法來研究這幾種情況。

一、斜面固定，滑塊沿斜面向下做勻速運(yùn)動(dòng)的情況

如圖1所示，一質(zhì)量為m的滑塊恰好沿傾角為θ的固定斜面M向下做勻速運(yùn)動(dòng)。

圖1

(1)若采用隔離法分別對(duì)m和M進(jìn)行研究

如圖2所示，對(duì)m進(jìn)行受力分析，則

圖2

FN=mgcosθ，F(xiàn)f=μFN=μmgcosθ

由平衡條件知mgsinθ=μmgcosθ，得到μ=tanθ

此亦即滑塊能沿斜面勻速下滑的必要條件。

如圖3所示，對(duì)M進(jìn)行受力分析

圖3

滑塊對(duì)斜面的摩擦力和彈力沿水平方向的分量分別為

Ffx=Ffcosθ=FNsinθ，F(xiàn)Nx=FNsinθ

即Ffx=FNx

(2)若采用整體法進(jìn)行研究

圖4

通過比較發(fā)現(xiàn)，在判斷地面對(duì)斜面的彈力和摩擦力時(shí)，顯然整體法比隔離法更簡便。

(3)此時(shí)若對(duì)滑塊施加一個(gè)向左下方且與豎直方向夾角為β的恒力F，如圖5所示。

圖5

仍先采用隔離法進(jìn)行研究，對(duì)m進(jìn)行受力分析則

FN=mgcosθ+Fcos(θ+β)

Ff=μFN=μmgcosθ+μFcos(θ+β)

F合=[mgsinθ+Fsin(θ+β)]-[μmgcosθ+μFcos(θ+β)]=ma

現(xiàn)討論以下幾種特殊的情況：

①當(dāng)F豎直向下，即β=0時(shí)，則a=0，滑塊繼續(xù)向下勻速運(yùn)動(dòng)，此時(shí)相當(dāng)于在滑塊上面再加一個(gè)物塊；

圖6

因此，我們得到這樣一個(gè)結(jié)論：當(dāng)斜面固定不動(dòng)時(shí)，如果物塊能沿斜面勻速向下運(yùn)動(dòng)，無論在物塊上施加什么方向的作用力，在物塊沿斜面向下運(yùn)動(dòng)的過程中，斜面與地面間一定沒有摩擦力。

【例1】如圖7所示，m沿固定斜劈勻速下滑，在m下滑的過程中再加一如圖中不同方向的作用力，則下列說法正確的是

圖7

( )

A.若所加力為豎直向下的F1，m將做勻加速運(yùn)動(dòng)，地面對(duì)M彈力大于(M+m)g

B.若所加力為沿斜面向下的F2，m將做勻加速運(yùn)動(dòng)，地面對(duì)M的靜摩擦力方向向右

C.若所加力為沿水平向右的F3，m將做勻減速運(yùn)動(dòng)，地面對(duì)M的靜摩擦力方向向左

D.無論在m上加什么方向的力，在m沿斜面向下運(yùn)動(dòng)的過程中，M與地面均無靜摩擦力的作用

【答案】D

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于物塊的運(yùn)動(dòng)情況切忌憑感覺去判斷，而是要進(jìn)行嚴(yán)格的受力分析，通過物塊的受力情況來判斷其運(yùn)動(dòng)情況，在熟練的情況下，可以適當(dāng)?shù)乩靡呀?jīng)儲(chǔ)備的物理結(jié)論，這樣就能既嚴(yán)謹(jǐn)?shù)胤治鰡栴}，又能快速地解決實(shí)際問題。

二、斜面固定，滑塊沿斜面做勻加速運(yùn)動(dòng)的情況

如圖8所示，一質(zhì)量為m的滑塊沿傾角為θ的固定斜面M以加速度a向下做勻加速運(yùn)動(dòng)。

圖8

(1)①若采用隔離法分別對(duì)m和M進(jìn)行研究

對(duì)m進(jìn)行受力分析，則

FN=mgcosθ，F(xiàn)f=μFN=μmgcosθ

由牛頓第二定律得F合=mgsinθ-μmgcosθ=ma>0

則a=gsinθ-μgcosθ，其中tanθ>μ，此亦即滑塊能沿斜面勻加速下滑的條件。

對(duì)M進(jìn)行受力分析，則

=Mg+mgcos2θ+μmgcosθsinθ

=(M+m)g-masinθ

滑塊對(duì)斜面的摩擦力和彈力沿水平方向的分量分別為

Ffx=Ffcosθ=μFNcosθ=μmgcos2θ

FNx=FNsinθ=mgcosθsinθ

②若采用整體法進(jìn)行研究

將滑塊的加速度沿豎直和水平方向進(jìn)行分解，則ay=asinθ，ax=acosθ

(2)如圖9所示，若對(duì)滑塊施加一個(gè)向左下方且與豎直方向夾角為β的恒力F

圖9

對(duì)m進(jìn)行受力分析，則FN=mgcosθ+Fcos(θ+β)，F(xiàn)f=μFN=μ[mgcosθ+Fcos(θ+β)]

由牛頓第二定律得F合=mgsinθ+Fsin(θ+β)-μ[mgcosθ+Fcos(θ+β)]=ma′

對(duì)整體，選擇水平向左為正方向，則

解得地面對(duì)斜面的摩擦力

【例2】如圖10所示，傾角為θ的斜面體放在粗糙的水平地面上，質(zhì)量為m的物塊受到一個(gè)與水平方向成α角、大小為F的力的作用下沿斜面向下做加速度大小為a的勻變速運(yùn)動(dòng)，已知斜面足夠長，且始終靜止，則下列說法正確的是

圖10

( )

A.若物塊向下勻加速運(yùn)動(dòng)，地面對(duì)斜面的彈力大小為FN=(M+m)g+Fsinα-masinθ

B.若物塊向下勻加速運(yùn)動(dòng)，地面對(duì)斜面的摩擦力大小為Ff=Fcosα-macosθ，方向水平向左

C.若物塊向下勻減速運(yùn)動(dòng)，地面對(duì)斜面的彈力大小為FN=(M+m)g+Fsinα+masinθ

D.若物塊向下勻減速運(yùn)動(dòng)，地面對(duì)斜面的摩擦力大小為Ff=Fcosα+macosθ，方向水平向左

【答案】ACD

【解析】若物塊向下勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度方向沿斜面向下，系統(tǒng)沿豎直方向的加速度為ay=asinθ，在豎直方向上對(duì)系統(tǒng)應(yīng)用牛頓第二定律得(M+m)g+Fsinα-FN=masinθ，則地面對(duì)斜面的彈力大小FN=(M+m)g+Fsinα-masinθ，因此A選項(xiàng)正確；系統(tǒng)沿水平向右的加速度為ax=acosθ，在水平方向上對(duì)系統(tǒng)應(yīng)用牛頓第二定律得Fcosα±Ff=macosθ，當(dāng)Fcosαmacosθ時(shí)，等式滿足Fcosα-Ff=macosθ，解得摩擦力大小為Ff=Fcosα-macosθ，方向水平向左，因此B選項(xiàng)錯(cuò)誤；若物塊向下做勻減速運(yùn)動(dòng)，加速度方向沿斜面向上，系統(tǒng)沿豎直向上的加速度分量為ay=asinθ，在豎直方向上對(duì)系統(tǒng)應(yīng)用牛頓第二定律得FN-(M+m)g-Fsinα=masinθ，則地面對(duì)斜面的彈力大小FN=(M+m)g+Fsinα+masinθ，故C選項(xiàng)正確；在水平方向上對(duì)系統(tǒng)應(yīng)用牛頓第二定律得Ff-Fcosα=macosθ，解得Ff=Fcosα+macosθ，方向水平向左，故D選項(xiàng)正確。

【點(diǎn)評(píng)】通過本題的解題過程可以明顯看出整體法更簡單，過程更干凈利落，主要原因是整體法回避了物塊與斜面之間的內(nèi)力，只需要討論系統(tǒng)的外力即可。當(dāng)然本題也可以使用隔離法進(jìn)行研究，但隔離法過程較復(fù)雜，運(yùn)算量較大，但隔離法仍有它自身的優(yōu)點(diǎn)，即隔離法能讓我們弄清楚問題的細(xì)節(jié)與聯(lián)系，對(duì)問題的認(rèn)識(shí)更加深刻。

三、斜面不固定，滑塊沿斜面向下運(yùn)動(dòng)的情況

如圖11所示，高為h、質(zhì)量為M、傾角為θ的斜面放在水平地面上，質(zhì)量為m的滑塊輕置于斜面頂端，不計(jì)一切阻力，討論下列問題：

圖11

(1)滑塊滑離斜面時(shí)，滑塊和斜面各自的水平位移

(2)運(yùn)動(dòng)過程中，滑塊和斜面各自的加速度

對(duì)滑塊在水平和豎直方向上分別應(yīng)用牛頓第二定律

FNsinθ=ma1x，mg-FNcosθ=ma1y

對(duì)斜面應(yīng)用牛頓第二定律FNsinθ=Ma2

由相對(duì)運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)可知，滑塊和斜面兩者之間加速度的關(guān)系滿足a1ycosθ-a1xsinθ=a2sinθ

(3)滑塊滑離斜面時(shí)，滑塊和斜面各自速度的大小和運(yùn)動(dòng)時(shí)間

滑塊和斜面的速度關(guān)系滿足沿垂直于斜面方向的分量相等，即v1ycosθ-v1xsinθ=v2sinθ

滑塊從頂端運(yùn)動(dòng)到底端的時(shí)間

(4)滑塊與斜面之間彈力做的功

如圖12所示，彈力對(duì)滑塊做負(fù)功，對(duì)斜面做正功，其做功代數(shù)和為零。彈力對(duì)斜面做的功可以運(yùn)用兩種方法進(jìn)行求解。

圖12

方法一：由功的定義WFN=FN·x2sinθ，將以上計(jì)算出的FN和x2代入，得

方法二：對(duì)斜面應(yīng)用動(dòng)能定理

圖13

( )

【答案】AD

【解析】設(shè)A、B的質(zhì)量分別為m、M，在物塊A上再放一個(gè)物塊C組成D，相當(dāng)于A的質(zhì)量m變大了。

由以上分析，A的加速度大小為

隨著m的增加，無法根據(jù)表達(dá)式直接判斷出加速度的變化，現(xiàn)在將表達(dá)式進(jìn)行變形

分離時(shí)A的速度大小為

分離時(shí)B的速度為

下滑的時(shí)間為

【點(diǎn)評(píng)】本題要求我們不僅要具備精湛的物理知識(shí)，還要具有利用數(shù)學(xué)知識(shí)處理物理問題的能力，因?yàn)閿?shù)學(xué)是解決物理問題的工具，對(duì)于此類問題要盡可能從定量的角度將問題研究清楚，這樣不僅可以增強(qiáng)學(xué)生的物理興趣，更能進(jìn)一步深度認(rèn)識(shí)物理的本質(zhì)。此外，本題也可以采用極限法定性進(jìn)行討論，各位讀者可以嘗試研究，這里不再贅述。

四、結(jié)束語