新疆 劉杭州 宋書婷

運動與力的相關(guān)問題是高中物理的主要研究問題，解決該類問題主要應(yīng)用動力學(xué)知識體系、能量和動量知識體系，常見的運動類模型有勻變速直線運動模型、拋體運動模型、圓周運動模型、碰撞模型等。其中，在建構(gòu)彈性碰撞模型時，由于碰撞過程的復(fù)雜性，多數(shù)教師的注意力常放在了碰撞前后的結(jié)果討論上，導(dǎo)致學(xué)生對彈性碰撞過程的認識不足，造成了2022年全國乙卷第25題第(2)小問解決方法的錯誤和困難。運動模型的建構(gòu)應(yīng)全面分析運動相關(guān)的主要物理量的變化，進而提高學(xué)生的認知程度，尋找良好的解決方法。筆者以2022年全國乙卷第25題為例，探討碰撞模型建構(gòu)的過程，以期幫助學(xué)生深入理解事物發(fā)展的全過程，從而實現(xiàn)認知的升華，并舉一反三，提升應(yīng)用物理模型解決問題的能力。

一、真題展示

如圖1，一質(zhì)量為m的物塊A與輕質(zhì)彈簧連接，靜止在光滑水平面上；物塊B向A運動，t=0時與彈簧接觸，到t=2t0時與彈簧分離，第一次碰撞結(jié)束，A、B的v-t圖像如圖2所示。已知從t=0到t=t0時間內(nèi)，物塊A運動的距離為0.36v0t0。A、B分離后，A滑上粗糙斜面，然后滑下，與一直在水平面上運動的B再次碰撞，之后A再次滑上斜面，達到的最高點與前一次相同。斜面傾角為θ(sinθ=0.6)，與水平面光滑連接。碰撞過程中彈簧始終處于彈性限度內(nèi)。求：

圖1

圖2

(1)第一次碰撞過程中，彈簧彈性勢能的最大值；

(2)第一次碰撞過程中，彈簧壓縮量的最大值；

(3)物塊A與斜面間的動摩擦因數(shù)。

二、模型構(gòu)建

1.完全非彈性碰撞模型

完全非彈性碰撞問題是碰撞問題中的主要問題之一，凡是研究內(nèi)力作用下(動量守恒)共速問題都應(yīng)歸為完全非彈性碰撞模型。如圖3所示，光滑的水平面上，質(zhì)量為m1的小球A以速度v1和質(zhì)量為m2的小球B以速度v2發(fā)生完全非彈性碰撞。關(guān)于完全非彈性碰撞的具體分析見表1。

圖3

表1

2022年全國乙卷第25題第(1)小問是考查“動碰靜”共速時的動能損失問題，根據(jù)完全非彈性碰撞模型的解題方法即可解決。

當兩物體達到共速時，彈簧的彈性勢能最大，則有

mB(1.2v0)=(mB+m)v0

真題第(2)小問是考查“動碰靜”共速時的相對位移問題，由于力在整個過程中是變化的，且力的變化并不是線性的，故不能用平均力做功來解決。根據(jù)完全非彈性碰撞模型可從動力學(xué)和動量兩個角度進行分析，但都必須應(yīng)用微元后累計(微積分)的思想。

角度一：動力學(xué)方法

方案一：應(yīng)用加速度、速度、位移的對應(yīng)關(guān)系分析

若某時刻A的速度為vA，則B的速度為

若t時刻A的位移為xA，則B的位移為

當t=t0時，xA=0.36v0t0，則有xB=1.128v0t0

第一次碰撞過程中，彈簧壓縮量的最大值

Δx=xB-xA=0.768v0t0

方案二：結(jié)合圖像面積分析

圖4

xB=1.2v0t0-s2=1.128v0t0

解得Δx=xB-xA=0.768v0t0

角度二：動量方法

根據(jù)完全非彈性碰撞模型中兩物體間的位移關(guān)系可得到mBxB+mxA=(mB+m)v0t0，又xA=0.36v0t0，代入可得xB=1.128v0t0，則Δx=xB-xA=0.768v0t0。

【體會】通過對真題第(2)小問及完全非彈性碰撞模型的應(yīng)用，可以清晰地感受到完全非彈性碰撞模型中各個物理量與物體的質(zhì)量密切相關(guān)，可以說完全非彈性碰撞模型中加速度、速度、位移、能量損失是以一定的方式、根據(jù)質(zhì)量關(guān)系分配的。

2.反沖運動模型

通過上述分析，還可以讓學(xué)生應(yīng)用逆向思維，從反沖運動的角度進行思考。實際上完全非彈性碰撞模型的逆過程正是反沖運動模型。反沖運動可認為是共速物體在內(nèi)力的作用下分裂成兩個物體的過程，具體分析見下表2。

表2

真題第(2)小問若應(yīng)用逆向思維(或研究兩物體分離過程)可視為反沖運動模型，可從動力學(xué)和動量兩個角度進行分析。

角度一：動力學(xué)方法

若以v0為參考系，則兩物體做反向變加速運動

當t=t0時，如圖5，v-t圖像的面積可知，xA=s1=v0t0-0.36v0t0=0.64v0t0，則有xB=s2=0.128v0t0

圖5

第一次碰撞過程中，彈簧壓縮量的最大值Δx=xB+xA=0.768v0t0

角度二：動量方法

若以v0為參考系，根據(jù)反沖運動模型的位移關(guān)系易得

xA=s1=v0t0-0.36v0t0=0.64v0t0

【體會】從逆向思維(或研究兩物體分離過程)角度解決該問題的方法相對簡單，在選取適合參考系的情況下，不難發(fā)現(xiàn)兩物體的加速度、速度、位移都與質(zhì)量成反比，體現(xiàn)了質(zhì)量在描述物體運動狀態(tài)中的不可或缺性，突出了動量這一物理量在描述物體運動狀態(tài)時的全面性、優(yōu)越性和重要性。

3.彈性碰撞模型

彈性碰撞模型是碰撞問題的難點，彈性碰撞包含了動量守恒問題中的幾乎所有情況，彈性碰撞的難點在于對碰撞過程的理解和碰后速度的求解，具體分析如下表3。

表3

真題第(3)小問的難點在于求解彈性碰撞“動碰動”中的速度，可應(yīng)用彈性碰撞模型求速度的方法快速得出速度關(guān)系，再結(jié)合動能定理或動力學(xué)方法求出最終結(jié)果。

設(shè)物塊A在斜面上滑行的長度為L，上滑過程有

聯(lián)立解得μ=0.45

【體會】關(guān)于彈性碰撞速度的求解因人而異，相較其他方法，用共速速度求解更便捷，對于動摩擦因數(shù)可根據(jù)個人習(xí)慣應(yīng)用動力學(xué)方法或能量方法、選取適合的過程進行求解，但應(yīng)用彈性碰撞模型求出物塊A第一次滑下斜面的速度是解決問題的關(guān)鍵。

三、結(jié)語