甘肅 高會平 陳永青

函數(shù)是描述變量之間依賴關(guān)系的工具，其圖像則是反映變量關(guān)系的一種直觀工具。在高中物理的學(xué)習(xí)中，確定物理量之間所蘊含的函數(shù)關(guān)系并畫出圖像，就能更準(zhǔn)確、直觀、形象地描述物理現(xiàn)象和規(guī)律以及確定物體運動變化規(guī)律，尤其是對于那些比較復(fù)雜或者無法準(zhǔn)確地畫出圖像的運動變化規(guī)律，則可利用函數(shù)或函數(shù)圖像做半定量或定性的分析、判斷等，這是函數(shù)性質(zhì)及其圖像在物理學(xué)中最為重要的、也是最為直接的應(yīng)用。本文就從以下三個方面對函數(shù)及其圖像在高中物理學(xué)中的應(yīng)用做一歸納性的分析。

一、利用函數(shù)及其圖像描述物理現(xiàn)象和物理規(guī)律

物理規(guī)律是指某個物理量與其他物理量之間的一種關(guān)系式，其本質(zhì)就是一種函數(shù)關(guān)系式，在數(shù)學(xué)中變量更具有一般意義，但在物理學(xué)中，每一個變量都具有特定意義。

物理規(guī)律的建立，首先是測定物理量，其次是整理數(shù)據(jù)，第三是作圖，最后是分析圖像特點，總結(jié)變量之間所蘊含的關(guān)系；從數(shù)學(xué)角度看，則是根據(jù)圖像求出了函數(shù)解析式。具體可以從以下兩方面來看待物理規(guī)律。

一是由物理量之間的關(guān)系式確定函數(shù)關(guān)系式及其圖像，且不同的函數(shù)圖像具有確定的物理意義，常見的有以下幾方面：(1)截距，它反映了所研究對象的一個初始狀態(tài)；(2)交點，即圖像中圖線與圖線相交的點，反映了兩個不同的研究對象在交點處有相同的物理量；(3)極值點，它表示在該點附近物理量的變化趨勢的不同；(4)斜率，表示兩個物理量增量的比值可作為另外一個物理量的值，如s-t圖像的斜率為速度、v-t圖像的斜率為加速度、Φ-t圖像的斜率為感應(yīng)電動勢、U-I圖像的斜率為負(fù)載的電阻等。(5)面積，它表示的物理意義在不同章節(jié)中有所不同，如圖1所示的v-t圖像，在t1～t2時刻內(nèi)，圖像與橫軸圍成的面積表示位移。再如圖2所示的p-V圖像，其等溫線下方的面積表示一定質(zhì)量的氣體的體積從V1到V2過程中所做的功。這也是區(qū)別于數(shù)學(xué)中的函數(shù)性質(zhì)的抽象性這一特點。

圖1

圖2

二是對一些物理現(xiàn)象和規(guī)律，可用圖像進(jìn)行形象直觀地表示。例如兩個等量異種點電荷，其電勢的大小隨距離的變化而變化，如圖3所示，沿電場線方向電勢降低。以正點電荷為參考點，左右兩側(cè)電勢都是降低的；以負(fù)點電荷為參考點，左右兩側(cè)電勢都是升高的。可見，在整個電場中，正點電荷所在位置電勢最高，負(fù)點電荷所在位置電勢最低，以兩點電荷所在直線為x軸，其連線的中點為坐標(biāo)原點建立坐標(biāo)系，其電勢的大小可用圖像形象地表示出來，如圖4所示。

圖3

圖4

【例1】圖5為“探究加速度與力的關(guān)系”的實驗裝置示意圖。認(rèn)為桶和砂所受的重力等于使小車做勻加速直線運動的合力。實驗中平衡了摩擦力后，要求桶和砂的總質(zhì)量m比小車質(zhì)量M小得多。請分析說明這個要求的理由。

圖5

【解析】設(shè)斜面與水平桌面的夾角為α，小車與斜面間的動摩擦因數(shù)為μ。對于整個系統(tǒng)，根據(jù)牛頓第二定律可得

F=mg+Mgsinα-f=(M+m)a①

f=μMgcosα②

因為m?M，且平衡了摩擦力，小車受到沿斜面向下的重力的分力等于小車受到的摩擦力，所以有Mgsinα=μMgcosα(或α=arctanμ)

在這種滿足了桶和砂的總質(zhì)量m比小車質(zhì)量M小得多情況下，則可以把對小車的拉力近似地看成桶和砂受到的重力。

圖6

圖7

【變式1】將例1中的“實驗中平衡了摩擦力后，要求桶和砂的總質(zhì)量m比小車質(zhì)量M小得多”改為“實驗中要求桶和砂的總質(zhì)量m比小車質(zhì)量M小得多，但未平衡摩擦力”，其余條件不變，探究小車加速度和拉力、小車加速度和小車質(zhì)量之間的關(guān)系。

圖8

圖9

【變式2】將例1中的“實驗中平衡了摩擦力后，要求桶和砂的總質(zhì)量m比小車質(zhì)量M小得多”改為“實驗中要求桶和砂的總質(zhì)量為m，小車質(zhì)量為M，且平衡了摩擦力”，探究小車加速度和拉力、小車加速度和小車質(zhì)量之間的關(guān)系。

圖10

圖11

【點評】物理中量與量之間的關(guān)系，其本質(zhì)就是數(shù)學(xué)中的函數(shù)，解決問題的重點在于尋找物理量之間的規(guī)律，即他們之間的函數(shù)關(guān)系。因此，教師在教學(xué)中應(yīng)幫助學(xué)生建立用函數(shù)思想解決物理問題的意識，一要抓住圖像、解析式(公式)以及其性質(zhì)特點來理解規(guī)律，二要抓住變量背后實際的物理意義，同時二者相結(jié)合，實現(xiàn)對物理規(guī)律的深刻理解和靈活應(yīng)用。

二、利用函數(shù)及其圖像確定物理儀器的刻度規(guī)律

函數(shù)是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)語言，尤其在物理學(xué)中解決一些物理量隨另一個物理量均勻變化的例子很常見，如在討論物體做勻速直線運動的位移隨時間均勻變化；在彈性限度內(nèi)，彈簧的伸長量隨拉力的變化而均勻變化；對一定質(zhì)量理想氣體，其溫度隨著吸收的熱量的改變而均勻變化等，這些都能用一次函數(shù)快速而有效地解決；再如漂浮在液面的密度計，排開液體的體積是液體密度的反比例函數(shù)；阻值一定的電阻絲，發(fā)熱功率是兩端電壓的二次函數(shù)等。根據(jù)這些問題的函數(shù)模型，可以利用函數(shù)性質(zhì)及其圖像探究一些物理儀器刻度的變化規(guī)律。

【例2】某同學(xué)使用輕彈簧、直尺、鋼球等制作了一個“豎直加速度測量儀”。如圖12所示，彈簧上端固定，在彈簧旁沿彈簧長度方向固定一直尺。不掛鋼球時，彈簧下端指針位于直尺20 cm刻度處；下端懸掛鋼球，靜止時指針位于直尺40 cm刻度處。將直尺不同刻度對應(yīng)的加速度標(biāo)在直尺上，就可用此裝置直接測量豎直方向的加速度。取豎直向上為正方向，重力加速度大小為g。下列說法正確的是

圖12

( )

A.30 cm刻度對應(yīng)的加速度為-0.5g

B.40 cm刻度對應(yīng)的加速度為g

C.50 cm刻度對應(yīng)的加速度為2g

D.各刻度對應(yīng)加速度的值是不均勻的

【解析】根據(jù)題意，彈簧不掛鋼球時，彈簧下端位于直尺的20 cm處，即可認(rèn)為彈簧原長為x0=0.2 m，當(dāng)掛一質(zhì)量為m的小球時，彈簧長度x1=0.4 m，根據(jù)力的平衡得mg=k(x1-x0)，解得k=5mg。當(dāng)掛重物后彈簧長度為x時，有F彈=5mg(x-x0)，且有F彈-mg=ma，即a=5gx-2g(取豎直向上為正方向)，因此當(dāng)x=0.3 m時，解得a=-0.5g，故A正確；當(dāng)x=0.4 m時，解得a=0，故B錯誤；當(dāng)x=0.5 m時，解得a=0.5g，故C錯誤；由于a=5gx-2g是關(guān)于彈簧長度x的一次函數(shù)，所以各刻度對應(yīng)加速度的值是均勻的，故D錯誤。

【點評】對于實驗儀器刻度問題，都需要以物理量之間的函數(shù)關(guān)系式為依據(jù)，利用函數(shù)性質(zhì)確定刻度的規(guī)律和變化。本題中加速度與彈簧長度之間存在一次函數(shù)關(guān)系，故刻度變化是均勻的，刻度每變化10 cm，加速度就變化0.5g。本題屬于情境性問題，重點考查學(xué)生對牛頓第二定律的理解和應(yīng)用，需要學(xué)生具有嚴(yán)密的邏輯推理和探究能力。

三、利用所給圖像構(gòu)建恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型

圖像不但能直觀地表現(xiàn)出物理規(guī)律，而且一些圖像對應(yīng)著相關(guān)的函數(shù)解析式，利用函數(shù)解析式能得到精確的解，因此在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注圖像對應(yīng)的函數(shù)模型，并會求函數(shù)解析式顯得非常重要。高中物理中常見的函數(shù)圖像有正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、正(余)弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等。

圖13

( )

A.67.3 d B.101.0 d C.115.1 d D.124.9 d

【點評】從所給圖像來看，本題是衰變物質(zhì)量與衰變時間的關(guān)系，而且符合指數(shù)函數(shù)模型，可先求出解析式，進(jìn)而可準(zhǔn)確解出半衰期。對函數(shù)圖像在物理應(yīng)用中要注意以下幾個方面：(1)橫、縱坐標(biāo)的含義；(2)理解圖像反映的是哪些物理量之間的關(guān)系以及符合的函數(shù)模型，再求出解析式；(3)理解圖像中切線斜率、面積、特殊點(原點、拐點、截距、交點)、峰值等的物理意義。

綜上所述，物理和數(shù)學(xué)在高中階段的學(xué)習(xí)中是聯(lián)系最為緊密的兩門學(xué)科，物理的學(xué)習(xí)得益于數(shù)學(xué)嚴(yán)密的推理論證和較強(qiáng)邏輯思維，而且各種數(shù)學(xué)方法可作為工具，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)事物的狀態(tài)、各種物理量的關(guān)系和過程，經(jīng)過推導(dǎo)、運算、分析、比較、檢驗、討論，最終得出結(jié)論。此外，由于數(shù)學(xué)方法具有高度的概括性和抽象性、邏輯的嚴(yán)密性和結(jié)論的準(zhǔn)確性、應(yīng)用的普遍性和可操作性的三個特征，所以在高中物理教學(xué)與復(fù)習(xí)備考中，教師應(yīng)盡量運用數(shù)學(xué)方法和思想研究物理規(guī)律，用簡明的數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)、形式化的語言表達(dá)物理規(guī)律以及規(guī)律背后的復(fù)雜現(xiàn)象，用函數(shù)觀點研究各種物理量之間確定的關(guān)系和規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生將數(shù)學(xué)知識延伸使用到物理學(xué)習(xí)過程中，以提升學(xué)生數(shù)學(xué)、物理知識的綜合應(yīng)用能力。