甘肅 趙強(qiáng)強(qiáng) 李勝江

涉及彈簧的問題通常為綜合問題，物體運(yùn)動(dòng)過程復(fù)雜、涉及知識(shí)面廣、能力要求高，是許多學(xué)生望而生畏的題型。但是這類問題對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的物理核心素養(yǎng)具有重要意義，可以有效完善學(xué)生的物理觀念，提升學(xué)生的科學(xué)思維和分析探究能力?，F(xiàn)有的研究主要是對(duì)涉及彈簧的問題進(jìn)行了分類討論，針對(duì)不同類型提出了不同的解決辦法，缺乏系統(tǒng)性，不利于學(xué)生物理思維的培養(yǎng)。彈簧產(chǎn)生彈力時(shí)的兩個(gè)端點(diǎn)都要連接物體，若彈簧某一端點(diǎn)的物體固定不動(dòng)，則稱為定彈簧；若彈簧兩端連接的物體能同時(shí)運(yùn)動(dòng)，則稱為動(dòng)彈簧。本文主要以定彈簧為例，展示“一圖五點(diǎn)二線”法解決含定彈簧類問題的策略。

1.構(gòu)建“一圖五點(diǎn)二線”

1.1 一個(gè)彈簧形變過程圖

彈簧的形變可以沿任意方向，但高中階段只涉及沿彈簧軸線產(chǎn)生壓縮或拉伸形變時(shí)的問題，同時(shí)高中階段涉及的彈簧為輕彈簧，即不考慮自身重力的作用，彈簧產(chǎn)生形變的整個(gè)變化過程如圖1。圖中①②③④⑤為彈簧變化過程中的幾個(gè)特殊位置點(diǎn)，其中①②為壓縮狀態(tài)變化過程，④⑤為拉伸狀態(tài)變化過程。在彈簧產(chǎn)生形變的過程中，它的起點(diǎn)可以是任何一個(gè)點(diǎn)(通常為以上五個(gè)點(diǎn)中的某一個(gè))，但變化過程只有兩個(gè)即從起點(diǎn)向序號(hào)數(shù)值變大方向變化或向序號(hào)數(shù)值變小方向變化，且變化一般發(fā)生在同一狀態(tài)(即壓縮狀態(tài)或拉伸狀態(tài))，具體如圖1所示。

圖1 彈簧形變過程圖

1.2 五個(gè)特殊位置點(diǎn)

彈簧在產(chǎn)生形變的過程中，隨著形變量的變化，彈簧和彈簧連接物體的對(duì)應(yīng)物理量也隨著改變，而在這個(gè)變化過程中彈簧在五個(gè)點(diǎn)時(shí)對(duì)應(yīng)的各個(gè)物理量具有特殊性，總結(jié)如表1。為了分析方便，用F外表示物體受到的除彈簧彈力之外的其他力的合力，通常為一恒力、方向與彈簧彈力方向相反；F合表示物體受到的總合力；F、x、k分別表示彈簧產(chǎn)生的彈力、形變量和勁度系數(shù)；m、v和a分別表示與彈簧連接物體的質(zhì)量、速度和加速度；Ep表示彈簧的彈性勢能，Ek表示與彈簧連接物體的動(dòng)能，具體分析如表1。

表1 五個(gè)特殊點(diǎn)對(duì)應(yīng)物理量的特點(diǎn)

1.3 兩條變化主線

彈簧產(chǎn)生形變時(shí)的狀態(tài)有壓縮狀態(tài)和拉伸狀態(tài)，每個(gè)狀態(tài)又有兩條變化主線，分別為壓縮狀態(tài)的①→②→③和③→②→①過程及拉伸狀態(tài)的③→④→⑤和⑤→④→③過程，在不同狀態(tài)時(shí)物體所受彈簧彈力F反向。盡管彈簧的起點(diǎn)不同，但變化過程是固定的，可以從以上五個(gè)點(diǎn)的任一點(diǎn)開始沿著其中一條線變化，對(duì)照五個(gè)點(diǎn)的特點(diǎn)依次分析①→⑤和⑤→①對(duì)應(yīng)的兩條變化過程表，如表2所示。

表2 兩條變化過程表

【總結(jié)】利用圖像將彈簧產(chǎn)生形變時(shí)兩個(gè)狀態(tài)對(duì)應(yīng)的各個(gè)物理量隨形變量變化趨勢(非函數(shù)關(guān)系)反映出來，如圖2所示，橫軸x表示彈簧的形變量所對(duì)應(yīng)的①②③④⑤五個(gè)特殊位置；線b表示v和Ek隨形變量x的變化趨勢，線c表示a和F合隨形變量x的變化趨勢，線d表示F和Ep隨形變量x的變化趨勢。

圖2 各物理量隨彈簧形變量的變化圖

2.“一圖五點(diǎn)二線”解題程序

含彈簧問題主要考查彈簧處在某一狀態(tài)時(shí)某些物理量的確定或者是某一變化過程中某些物理量的變化，同時(shí)還與連接彈簧的物體運(yùn)動(dòng)過程密切相關(guān)，因此利用“一圖五點(diǎn)二線”解決定彈簧問題時(shí)，可按以下流程，即定彈簧狀態(tài)(壓縮、拉伸或自然)→定彈簧特殊點(diǎn)(五個(gè)點(diǎn)中的其中一個(gè)或其他點(diǎn))→定彈簧變化過程→定與彈簧連接物體的運(yùn)動(dòng)過程→定物體所受的外力F外→定物體所受的合力F合→定各物理量的關(guān)系式→定各物理量的變化。在這一流程中，可根據(jù)問題的實(shí)際情況確定分析的起點(diǎn)，中間某些過程也可以不出現(xiàn)，應(yīng)靈活把握。

3.演繹“一圖五點(diǎn)二線”的解題過程

【例1】如圖3所示，輕彈簧豎直放置，下端固定在水平地面上，一質(zhì)量為m的小球，從離彈簧上端高h(yuǎn)處由靜止釋放，某同學(xué)在研究小球落到彈簧上后繼續(xù)向下運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的過程，他以小球開始下落的位置為原點(diǎn)，沿豎直向下方向建立坐標(biāo)軸Ox作出小球所受彈力F的大小隨小球下落的位置坐標(biāo)x變化的關(guān)系，如圖4所示，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g，以下判斷不正確的是

圖3

圖4

( )

A.當(dāng)x=h+x0，小球的重力勢能與彈簧的彈性勢能之和最小

B.小球落到彈簧上向下運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的過程中，加速度先減小后增大

C.當(dāng)x=h+2x0，小球的加速度大小為g

D.小球動(dòng)能的最大值為mgh+mgx0

【答案】D

【解析】A選項(xiàng)：定彈簧狀態(tài)，當(dāng)x=h+x0時(shí)，彈簧為壓縮狀態(tài)→定彈簧特殊點(diǎn)，x=h+x0對(duì)應(yīng)特殊點(diǎn)②，F(xiàn)=kx0→定與彈簧連接物體的運(yùn)動(dòng)過程，小球豎直向下運(yùn)動(dòng)且速度達(dá)到最大，小球動(dòng)能Ek達(dá)到最大→定物體所受的外力F外=mg→定物體所受的合力F合=0→定各物理量的關(guān)系式，由于彈簧和小球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，則Ek=EpG+Ep彈→定各物理量變化，小球的Ek最大，則小球的重力勢能與彈簧的彈性勢能之和EpG+Ep彈最小，故A正確。

B選項(xiàng)：定彈簧狀態(tài)，小球落到彈簧上向下運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的過程為彈簧壓縮狀態(tài)→定彈簧特殊點(diǎn)，剛落到彈簧上時(shí)對(duì)應(yīng)特殊點(diǎn)③，F(xiàn)=0，F(xiàn)合=F外=ma；最低點(diǎn)對(duì)應(yīng)特殊點(diǎn)①，F(xiàn)=2kx0，F(xiàn)合=F外=ma，a達(dá)到最大→定彈簧變化過程，對(duì)應(yīng)③→②→①過程→定物體所受外力F外=mg→定各物理量變化，加速度a先減小后增大，故B正確。

C選項(xiàng)：定彈簧狀態(tài)，當(dāng)x=h+2x0時(shí)彈簧為壓縮狀態(tài)→定彈簧特殊點(diǎn)，x=h+2x0對(duì)應(yīng)特殊點(diǎn)①，F(xiàn)=2kx0，F(xiàn)合=F外=ma→定物體所受外力F外=mg→定物體所受合力F合=mg→定各物理量變化，此時(shí)a=g，故C正確。

D選項(xiàng)：定彈簧特殊點(diǎn)，小球動(dòng)能最大時(shí)對(duì)應(yīng)特殊點(diǎn)②→定與彈簧連接物體的運(yùn)動(dòng)過程，小球豎直向下運(yùn)動(dòng)且速度達(dá)到最大→定彈簧變化過程，對(duì)應(yīng)③→②→①過程→定各物理量關(guān)系式，對(duì)小球由動(dòng)能定理可得mg(h+x0)-W彈=Ekm-0→定各物理量變化，Ekm>mg(h+x0)，故D錯(cuò)誤。

【例2】如圖5所示，重10 N的滑塊在傾角為30°的斜面上，從a點(diǎn)由靜止下滑，到b點(diǎn)接觸到一個(gè)輕彈簧?；瑝K壓縮彈簧到c點(diǎn)開始彈回，返回b點(diǎn)離開彈簧，最后又回到a點(diǎn)，已知ab=0.8 m，bc=0.4 m，那么在整個(gè)過程中

圖5

( )

A.滑塊動(dòng)能的最大值是6 J

B.彈簧彈性勢能的最大值是6 J

C.從c到b彈簧的彈力對(duì)滑塊做的功是6 J

D.滑塊和彈簧組成的系統(tǒng)整個(gè)過程機(jī)械能減少

【答案】BC

【解析】滑塊從a點(diǎn)由靜止下滑到b點(diǎn)接觸彈簧后將彈簧壓縮到c點(diǎn)，返回b點(diǎn)離開彈簧，最高又回到a點(diǎn)，整個(gè)過程沒有能量損失，說明滑塊運(yùn)動(dòng)過程中不受摩擦力作用，滑塊和彈簧組成的系統(tǒng)整個(gè)過程機(jī)械能守恒，故D錯(cuò)誤。

對(duì)C選項(xiàng)：定與彈簧連接物體的運(yùn)動(dòng)過程，沿斜面向下直至速度為0→定彈簧變化過程，對(duì)應(yīng)③→②→①過程→定物體所受外力F外，對(duì)物體受力分析得F外=mgsinθ→定各物理量關(guān)系式，滑塊下滑到c過程由動(dòng)能定理得0=W彈-mg(ab+bc)sinθ→定各物理量關(guān)系式，W彈=6 J，故C正確。

對(duì)B選項(xiàng)：定彈簧特殊點(diǎn)，彈簧彈性勢能的最大值對(duì)應(yīng)特殊點(diǎn)①→定與彈簧連接物體的運(yùn)動(dòng)過程，對(duì)應(yīng)滑塊在c點(diǎn)，由功能關(guān)系得Epm=W彈=6 J，故B正確。

對(duì)A選項(xiàng)：定彈簧特殊點(diǎn)，小球動(dòng)能最大時(shí)對(duì)應(yīng)特殊點(diǎn)②，設(shè)該點(diǎn)為b與c間的某一點(diǎn)d，F(xiàn)=kx，Ep為某一值→定與彈簧連接物體的運(yùn)動(dòng)過程，滑塊沿斜面向下運(yùn)動(dòng)速度達(dá)到最大，動(dòng)能Ek達(dá)到最大→定彈簧變化過程，，對(duì)應(yīng)③→②過程→定各物理量關(guān)系式，對(duì)滑塊下滑到最大動(dòng)能過程，由能量守恒可得Ekm=mg(ab+bd)sinθ-Ep→定各物理量關(guān)系式，由于mg(ab+bc)sinθ=6 J，所以mg(ab+bd)sinθ<6 J，則Ekm<6 J，故A錯(cuò)誤。

4.總結(jié)

彈簧最大的特點(diǎn)就是“可拉可壓”，并且在“拉”和“壓”時(shí)產(chǎn)生的彈力方向不同，導(dǎo)致物體的受力也產(chǎn)生變化，使得含彈簧問題比較復(fù)雜。涉及彈簧類問題在解題過程中要特別注意彈簧在產(chǎn)生形變過程中的特點(diǎn)，特別是五個(gè)特殊位置點(diǎn)，它們既反映彈簧的物理量特點(diǎn)，又反映與彈簧連接物體的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，若將這些特點(diǎn)在分析解題過程中合理運(yùn)用，就能達(dá)到事半功倍的效果。因此，教師在進(jìn)行相關(guān)教學(xué)時(shí)，可以針對(duì)彈簧產(chǎn)生形變的過程先進(jìn)行系統(tǒng)的分析，并采用圖像將形變過程直觀的呈現(xiàn)，再將形變過程中的五個(gè)特殊位置進(jìn)行獨(dú)立的分析，找到各個(gè)物理量的特點(diǎn)，進(jìn)而利用圖像將特殊點(diǎn)和形變過程組合起來，最后形成一個(gè)知識(shí)體系?？傊?，利用數(shù)形結(jié)合的思想方法可將復(fù)雜問題抽象為具體，簡化思路，降低思維難度，從而進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生分析處理物理問題的能力，提升學(xué)生的物理核心素養(yǎng)。