廖小舟

［摘 要］幾何畫板在數(shù)學概念和數(shù)學圖形的教學中起到較大的作用。應(yīng)用幾何畫板可以讓學生按給定的數(shù)學規(guī)律和關(guān)系來制作圖形（或圖像、表格），發(fā)現(xiàn)幾何規(guī)律及幾何關(guān)系；應(yīng)用幾何畫板可以模擬知識的發(fā)生過程和展現(xiàn)知識的形成過程；應(yīng)用幾何畫板，可有效引導學生進行探究性學習；應(yīng)用幾何畫板能培養(yǎng)學生的數(shù)形結(jié)合思想。

［關(guān)鍵詞］幾何畫板；數(shù)學概念；作用；初中數(shù)學

［中圖分類號］ ? ?G633.6 ? ? ? ?［文獻標識碼］ ? ?A ? ? ? ?［文章編號］ ? ?1674-6058（2022）23-0001-03

隨著現(xiàn)代信息技術(shù)的不斷發(fā)展，初中數(shù)學的教學方式也隨之發(fā)生了新變化，教學方法更加多樣化。在數(shù)學教學中，現(xiàn)代信息技術(shù)越來越得到重視，逐漸成為學生學習數(shù)學知識和解決數(shù)學問題的強有力的工具。幾何畫板是一種強有力的可視化動態(tài)軟件，它能有效促進學生學習數(shù)學，改變學生的數(shù)學學習方式，對初中數(shù)學的教與學都產(chǎn)生了深遠的影響。在初中數(shù)學教學中，教師可有效應(yīng)用幾何畫板輔助教學，創(chuàng)設(shè)多種有助于學生思考、觀察的問題情境，充分調(diào)動學生學習的主動性和積極性，活躍學生的思維，提升學生的動手操作能力。本文主要討論幾何畫板在數(shù)學概念、數(shù)學圖像的教學和數(shù)學問題解決中的作用及其在初中數(shù)學教學中的應(yīng)用。

一、幾何畫板在數(shù)學概念教學中的作用

一般來說，數(shù)學概念的形成是一個抽象的過程，傳統(tǒng)的教學方法不能將這個抽象的過程具體化和形象化，學生無法深入理解概念，更不能很好地把握概念的本質(zhì)。而幾何畫板可以將靜態(tài)轉(zhuǎn)化為動態(tài)，將抽象轉(zhuǎn)化為具體，能夠清晰、直觀地“展示”概念的抽象過程。借助幾何畫板，學生可以進行觀察、思考、比較和分析，增強了學生對概念本質(zhì)的理解。

例如，對于“三角形的中位線”這一內(nèi)容，教材大多是直接給出相關(guān)的概念，使得學生學習和理解概念時產(chǎn)生了不少疑惑。借助幾何畫板，可以使教學過程更加形象。如圖1，當點[P]在[BC]邊上運動時，線段[AP]的中點[Q]的運動軌跡是怎樣的呢？借助幾何畫板的動畫功能，學生可以直觀地看到動點[Q]在線段[MN]上來回運動，線段[AP]的所有中點軌跡的點正好形成三角形的中位線[MN]。通過觀察，學生很容易理解中位線的概念，而且對中位線概念的形成也有深刻的認識。

二、幾何畫板在展示知識間聯(lián)系時的作用

（一）可以準確展示不同概念間的聯(lián)系

例如對于圓的切線，在傳統(tǒng)教學中，學生往往只是停留在對教材概念“直線與圓有且只有一個交點時，該直線即為圓的切線”的文字理解上，而若應(yīng)用幾何畫板的動態(tài)功能來展示圓的割線到圓的切線的變化，則能很好地揭示圓的割線與切線之間的區(qū)別與聯(lián)系。這樣，學生在學習圓的切線性質(zhì)與判定時，就會更加清楚它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，而且學生學習其他曲線的切線時也都可以通過類似的關(guān)系去理解。

（二）能形象展示一些性質(zhì)定理間的聯(lián)系

例如，在探索等腰三角形“三線合一”這一性質(zhì)時，借助幾何畫板的移動功能，不僅能讓學生充分認識到等腰三角形的特殊性，還豐富了學生的感性認識。如圖2，在[△ABC]中，[BA=BD]， 點[C]可以在[AD]延長線上移動，[AC]邊上的高[BP]、中線[BN]和[∠ABC]的平分線[BM]是三條不同的線段，當點[C]在靠近點[D]運動時， [△ABC]由不等邊三角形逐漸向等腰三角形轉(zhuǎn)化，中線[BN]及角平分線[BM]隨著點[C]的移動也不斷向高[BP]“靠近”，直至與高[BP]重合。這樣的動態(tài)過程能更好地幫助學生理解等腰三角形“三線合一”這一特殊性質(zhì)的由來。

三、幾何畫板在初中數(shù)學教學中的應(yīng)用

（一）幾何畫板在代數(shù)教學中的應(yīng)用

“多個絕對值之和的最值問題”是初中數(shù)學比較難的內(nèi)容，學生感到非常抽象，難以入手。應(yīng)用幾何畫板的度量功能，能幫助學生直觀、形象地進行求解。教師應(yīng)進一步啟發(fā)學生分析、探索這類問題的一般求解方法，從而使學生認識到這類問題的本質(zhì)。

［例1］如圖3，一條街道旁有[A]，[B]，[C]，[D]，[E]五幢居民樓。某大桶水經(jīng)銷商統(tǒng)計各幢樓內(nèi)居民每周所需大桶水的數(shù)量如下表。

該經(jīng)銷商計劃在這五幢樓中租一間房，設(shè)立大桶水供應(yīng)點。若要使這五幢樓內(nèi)的居民取水所走路程之和最小，那么可以選擇的地點應(yīng)在什么地方？

經(jīng)討論，學生給出了如下方案。

設(shè)[AB=a]，[BC=b]，[CD=c]，[DE=d]。每戶居民每次取一桶水。

（1）若以點[A]為取水點，則五幢樓內(nèi)的居民取水所走路程之和為[55AB+50AC+72AD+85AE=262a+207b+157c+85d]。

（2）若以點[B]為取水點，則五幢樓內(nèi)的居民取水所走路程之和為[38AB+50BC+72BD+85BE=38a+207b+157c+85d]。

（3）若以點[C]為取水點，則五幢樓內(nèi)的居民取水所走路程之和為[38AC+55BC+72CD+85CE=38a+93b+157c+85d]。

（4）若以點[D]為取水點，則五幢樓內(nèi)的居民取水所走路程之和為[38AD+55BD+50CD+85DE=38a+93b+143c+85d]。

（5） 若以點[E]為取水點，則五幢樓內(nèi)的居民取水所走路程之和為[38AE+55BE+50CE+72DE=38a+93b+143c+215d]。

故以點[D]為取水點，五幢樓內(nèi)的居民取水所走路程之和最小。

這時，筆者再提出問題：如果將“該經(jīng)銷商計劃在這五幢樓中租一間房，設(shè)立大桶水供應(yīng)點”改為“該經(jīng)銷商計劃在這條街道上租一間房，設(shè)立大桶水供應(yīng)點”，那么可以選擇的地點在什么地方？

一石激起千層浪，學生給出了各種各樣的答案，而且爭論激烈，互不相讓。筆者告訴學生，可以應(yīng)用幾何畫板的度量功能和計算功能來探究這個問題。

如圖4，在該直線上任取一個點[P]，選擇度量距離，在繪圖區(qū)顯示出度量出來的長度，可以得到[PA]，[PB]，[PC]，[PD]，[PE]的長度。拖動點[P]，隨著點[P]位置的變化，[PA]，[PB]，[PC]，[PD]，[PE]的值和[38PA+55PB+50PC+72PD+85PE]的值都在改變。當點[P]與點[D]重合時，[38PA+55PB+50PC+72PD+85PE]的值最小。因此，如果將“該經(jīng)銷商計劃在這五幢樓中租一間房，設(shè)立大桶水供應(yīng)點”改為“該經(jīng)銷商計劃在這條街道上租一間房，設(shè)立大桶水供應(yīng)點”，則在[D]處設(shè)立大桶水供應(yīng)點，五幢樓內(nèi)的居民取水所走路程之和最小。

這時，有學生提出問題：如果將某幢樓居民每周所需大桶水的數(shù)量改動一下，結(jié)論還一樣嗎？

可重新編輯該運算，如果將[E]幢樓居民每周所需大桶水的數(shù)量改為22桶，即[PE]前的數(shù)量由85改為22，拖動點[P]，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，當點[P]與點[C]重合時，[38PA+55PB+50PC+72PD+22PE]的值最小。

學生一下子興奮起來，躍躍欲試。于是，筆者讓學生自由修改其中的數(shù)據(jù)，然后改變點[P]的位置，告訴大家所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。

當一個學生將[PE]前的數(shù)量85改為71后，學生沸騰了，他們發(fā)現(xiàn)當點[P]位于點[C]和點[D]之間（含點[C]，[D]）時，3[8PA+55PB+50PC+72PD+71PE]的值保持不變，而且最小。這時，學生充滿了好奇，他們很想知道到底是怎么一回事。

于是，筆者便從[x-3+x-5]的最小值談起。由絕對值的幾何意義知，[x-3]和[x-5]在數(shù)軸上分別表示[x]到3和[x]到5的距離。在[x]軸上任取一點[x]作為動點，仿照上一環(huán)節(jié)中的步驟，即可研究[x-3+x-5]的最小值。仿照[x-3+x-5]最小值的研究方法，再探究[x-3+x-5+x-2]，[x-3+x-5+x-2+x+1]，[x-3+x-5+x-2+x+1+x+7]的最小值。結(jié)合數(shù)軸、絕對值的幾何意義等相關(guān)知識，學生很快發(fā)現(xiàn)了如下規(guī)律。

若[a1≤a2≤a3≤…≤an-1≤an] ，對于[x-a1+x-a2+x-a3+…+x-an-1+x-an]。

（1）若[n]為奇數(shù)，則當[x=an+1]時，原式有最小值。

（2）若[n]為偶數(shù)，則當[an≤x≤an+1]時，原式有最小值。

至此，學生恍然大悟。原來例1中的街道相當于數(shù)軸，[A]，[B]，[C]，[D]，[E]五幢樓則是數(shù)軸上的點[a1]，[a2]，[a3]，[a4]，[a5]。要計算設(shè)立大桶水供應(yīng)點的位置，使得五幢樓內(nèi)的居民取水所走路程之和最小，則相當于在數(shù)軸上尋找點[x]，使[38x-a1+55x-a2+50x-a3+72x-a4+85x-a5]的值最小。這樣，此類問題的本質(zhì)得到了很好的揭示。

（二）幾何畫板在幾何教學中的應(yīng)用

幾何畫板為學生自主探索和自主學習提供了一個很好的平臺，它是學生進行研究性學習的強有力的工具。教師應(yīng)教會學生應(yīng)用幾何畫板畫圖分析、探索思考、合作交流，讓學生親歷知識的產(chǎn)生與形成過程，使“知識”發(fā)現(xiàn)、“方法”習得與“態(tài)度”形成達到高度統(tǒng)一，從而實現(xiàn)知識的自主建構(gòu)。

近年來，一類以“鏈式”問題形式出現(xiàn)的幾何探究題可謂精彩紛呈，命題者充分考慮到學生的認知規(guī)律，讓學生在一定的情境中完成探究，使學生的才能得到充分的展示，因此此類探究題成為中考數(shù)學的一大亮點。這類探究題往往缺少一定的條件或無明確的結(jié)論，需要經(jīng)過推斷、補充并加以證明。根據(jù)其特征大致可分為條件探究題、結(jié)論探究題、規(guī)律探究題和存在探究題等。探究題的知識覆蓋面較大，綜合性較強，靈活選擇方法的要求較高，再加上題意新穎、構(gòu)思精巧，具有相當?shù)纳疃群碗y度。

［例2］如圖5，點[A]為等邊三角形[BCE]內(nèi)任一點，以[AB]為一邊作等邊三角形[ABD]，連接[DE]，[AC]，則圖中哪兩個三角形全等？請說明理由。

學生容易發(fā)現(xiàn)并證明[△ABC≌△DBE]，然后以[AC]為一邊作等邊三角形[ACF]，連接[EF]（如圖6），同理可證[△ABC≌△FEC]。這時，教師提出問題，并進行師生交流。

師：除全等三角形外，你還發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？你能說明其中的道理嗎？

生1：四邊形[AFED]是平行四邊形。易得[△ABC≌△DBE]和[△ABC≌△FEC]，所以[△DBE≌△FEC]，所以[EF=DB=AD]，[DE=FC=AF]，用“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”可證。

師：拖動點[A]，改變它在[△BCE]中的位置，有什么發(fā)現(xiàn)？

生2：四邊形[AFED]還有可能是矩形、菱形、正方形。

師：當[△ABC]滿足什么條件時，會出現(xiàn)上述情形？

生3：只要[△ABC]滿足[∠BAC=150°]，四邊形[AFED]就是矩形。

師：你是怎么探索的？

生4：因為四邊形[AFED]是平行四邊形，所以要使四邊形[AFED]是矩形，只要有一個角等于90°或?qū)蔷€相等即可。而點[A]是[△ABC]與四邊形[AFED]的公共點，分析與點[A]相關(guān)的元素。四邊形[AFED]與[△ABC]相關(guān)的角是[∠DAF]，只要使[∠DAF=90°]即可，[△ABC]只要滿足[∠BAC=360°-90°-2×60°=150°]即可。

很快，學生的興趣被激發(fā)了，有學生發(fā)現(xiàn)，要使四邊形[AFED]是正方形，首先要保證它為矩形，即[△ABC]滿足[∠BAC=150°]，而這樣的點[A]有無數(shù)多個，同時還應(yīng)滿足“鄰邊相等”，而四邊形[AFED]與[△ABC]相關(guān)的鄰邊為[AD]，[AF]，所以只要[AD=AF]即可，而[AD=AB]，[AF=AC]，需要再補充[AB=AC]這個條件，所以當[△ABC]滿足[AB=AC]且[∠BAC=150°]時，四邊形[AFED]是正方形。

在探索當[△ABC]滿足什么條件，四邊形[AFED]是菱形時，學生首先進行了分析和猜想：在上面正方形的探索中，當[△ABC]滿足[AB=AC]時，[AF=AC]一定成立，這時四邊形[AFED]是菱形。

生5：在操作幾何畫板尋找滿足條件的點[A]的位置時，總是很難精準地找到相應(yīng)的位置，不知有什么辦法？

生6：因為點[A]滿足[AB=AC]，且點[A]在[△BCE]內(nèi)，所以點[A]的軌跡為線段[BC]的中垂線在[△BCE]內(nèi)的那一部分，那么作線段[BC]的中垂線[EM]，在線段[EM]（不含端點[E]）上的任何一點均可使四邊形[AFED]是菱形。

由于學生的知識限制，對于使四邊形[AFED]是矩形及正方體時，找點的精確位置需要進行詳細的講解。因為[△ABC]滿足[∠BAC=150°]，而“同弧所對的圓周角相等”，所以只要找到一個特殊點[N]，使[∠BNC=150°]，劣弧[BNC]即為所求點[A]的軌跡，將點[A]與劣弧[BNC]合并即可。

通過上述分析與操作，學生發(fā)現(xiàn)點[A]的運動引起[△ABC]的形狀發(fā)生變化，進而使得四邊形[AFED]變成不同的形狀。這樣的課堂生動形象而又有趣，減少了教師畫圖的時間，提高了教學效率，激發(fā)了學生對數(shù)學問題的探究熱情。

綜上，數(shù)學課程的設(shè)計與實施應(yīng)根據(jù)實際情況合理地運用現(xiàn)代信息技術(shù)，要注意信息技術(shù)與課程內(nèi)容的整合，注重實效；要充分考慮信息技術(shù)對數(shù)學學習內(nèi)容和方式的影響，開發(fā)并向?qū)W生提供豐富的學習資源，把現(xiàn)代信息技術(shù)作為學生學習數(shù)學和解決問題的有力工具，有效地改進教與學的方式，使學生樂意投入到探索性的數(shù)學活動中去。數(shù)學課程改革要反映信息技術(shù)所引發(fā)的變革，就必須將數(shù)學課堂教學與信息技術(shù)進行整合。幾何畫板在作圖的過程中動態(tài)地保持了幾何圖形中內(nèi)在的、恒定不變的幾何關(guān)系及幾何規(guī)律。利用幾何畫板可以按給定的數(shù)學規(guī)律和關(guān)系來制作圖形（或圖像、表格）。學生在通過觀察、類比和分析提出問題后，還可以借助幾何畫板驗證問題的真假，從而發(fā)現(xiàn)恒定不變的幾何規(guī)律。

課堂教學魅力無窮、潛力巨大，結(jié)合信息技術(shù)，可使課堂教學精彩紛呈。幾何畫板具備強大的圖形生成功能，彌補了傳統(tǒng)教學手段的不足，大大提高了教學效率和教學效果，但課堂教學也不能由信息技術(shù)“牽”著走，教師應(yīng)根據(jù)課程內(nèi)容擇優(yōu)使用，不能太過依賴信息技術(shù)。信息技術(shù)的本質(zhì)是輔助教學，幾何畫板的使用應(yīng)以提高學生學習興趣、引發(fā)學生思考、提高學習效率為目的，讓學生學會主動探究，理解概念和結(jié)論，知其所以然。

［ ? 參 ? 考 ? 文 ? 獻 ? ］

［1］ ?人民教育出版社，課程教材研究所，中學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心.義務(wù)教育教科書數(shù)學八年級下冊 ［M］.北京：人民教育出版社，2013：47．

［2］ ?人民教育出版社，課程教材研究所，中學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心.義務(wù)教育教科書數(shù)學八年級上冊［M］.北京：人民教育出版社，2013：2-27．

［3］ ?人民教育出版社，課程教材研究所，中學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心.義務(wù)教育教科書數(shù)學七年級下冊［M］.北京：人民教育出版社，2012：2-35．

［4］ ?人民教育出版社，課程教材研究所，中學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心.義務(wù)教育教科書數(shù)學九年級上冊［M］.北京：人民教育出版社，2013：94．

［5］ ?張景中，江春蓮，彭翕成.《動態(tài)幾何》課程的開設(shè)在數(shù)學教與學中的價值［J］.數(shù)學教育學報，2007（3）：1-5．

（責任編輯 黃桂堅）