陳 廷 國(guó)， 郭 召 迪， 王 祖 能

( 大連理工大學(xué) 建設(shè)工程學(xué)部 土木工程學(xué)院, 遼寧 大連 116024 )

0 引 言

采用鋼材建造的塔式結(jié)構(gòu)中主要受力構(gòu)件多為細(xì)長(zhǎng)形，受力時(shí)往往未達(dá)到鋼材的屈服強(qiáng)度便由于失穩(wěn)而破壞[1]．例如2008年因南方雨雪天氣湖南省郴州市近1/3的輸電塔整體失穩(wěn)破壞而倒塌[2]．

塔式結(jié)構(gòu)主要由塔柱、橫腹桿以及斜腹桿組成，構(gòu)件之間的協(xié)同受力為結(jié)構(gòu)安全提供保障，故塔式結(jié)構(gòu)中某根桿件的受力性能不能獨(dú)立分析，應(yīng)同時(shí)考慮桿件的端部約束、相連支撐等因素．

在國(guó)內(nèi)外的相關(guān)文獻(xiàn)中，目前關(guān)于壓桿失穩(wěn)問題的理論研究方面，Timoshenko等[3]針對(duì)桿間有彈性支撐的兩端簡(jiǎn)支桿件進(jìn)行了詳盡的理論推導(dǎo)．試驗(yàn)研究方面，謝鵬[2]針對(duì)Timoshenko等的理論推導(dǎo)進(jìn)行了試驗(yàn)驗(yàn)證．Foster等[4]通過程序模擬強(qiáng)調(diào)了鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中支撐構(gòu)件的重要性．陳紹蕃[5]通過理論計(jì)算得到了設(shè)有多道彈性撐桿的壓桿穩(wěn)定承載力與撐桿剛度的關(guān)系．劉榮剛等[6]、湯心儀等[7]通過理論和試驗(yàn)找出壓桿失穩(wěn)的判定方法以及彈簧剛度的確定方法．Bleich[8]補(bǔ)充了壓桿失穩(wěn)理論計(jì)算的方法．夏大橋等[9-10]用工程實(shí)例分析了橫梁支撐的重要性．另外，在壓桿失穩(wěn)方面，國(guó)內(nèi)外還有許多學(xué)者針對(duì)構(gòu)件初始缺陷、桿間彈性支撐、非彈性柱屈曲等因素做了大量的理論計(jì)算及有限元分析[11-16]．但現(xiàn)有研究缺乏對(duì)端部固定軸壓桿件穩(wěn)定性的研究，尤其缺少對(duì)桿間具有彈性支撐的壓桿進(jìn)行相關(guān)試驗(yàn)研究．

實(shí)際工程中的鋼塔式結(jié)構(gòu)，端部約束較為復(fù)雜，約束效果介于簡(jiǎn)支和固定之間，設(shè)計(jì)簡(jiǎn)化過程中直接將兩端約束視為簡(jiǎn)支欠缺準(zhǔn)確性．因此本文針對(duì)具有桿間彈性支撐的端部固定壓桿模型進(jìn)行理論及試驗(yàn)研究，并用有限元分析驗(yàn)證其準(zhǔn)確性，為工程設(shè)計(jì)人員提供參考．

1 模型簡(jiǎn)化、理論推導(dǎo)及理論公式簡(jiǎn)化

1.1 模型簡(jiǎn)化

為便于進(jìn)行理論推導(dǎo)，需將工程中的鋼塔架局部模型進(jìn)行簡(jiǎn)化．首先將鋼塔架局部受力模型簡(jiǎn)化為圖1所示模型，受壓桿為受力分析桿件，支撐梁和支撐柱共同組成受壓桿的支撐系統(tǒng)，支撐梁之間的夾角為θ，若將支撐系統(tǒng)視作具有一定剛度的彈簧支撐，則圖1所示鋼塔架局部模型可等效為圖2所示模型，下面針對(duì)圖2理論模型推導(dǎo)出受壓桿失穩(wěn)時(shí)極限承載力與彈簧剛度之間的關(guān)系．

圖1 工程模型

圖2 理論模型

1.2 理論推導(dǎo)

理論模型如圖2所示，首先確定坐標(biāo)系，桿件縱向?yàn)閤坐標(biāo)方向，向上為正，垂直桿件方向?yàn)閥坐標(biāo)方向，向右為正，彎矩M以桿右側(cè)受拉為正方向．桿長(zhǎng)為2l，彈簧支撐距離桿件底部為l，設(shè)彈簧位移為v，支撐剛度為c．以彈簧支撐為界線，截取上下兩側(cè)截面作為隔離體分別討論．

情況1截取隔離體的截面在彈簧支撐處下側(cè)，即0≤x

圖3 彈簧支撐處下側(cè)隔離體

根據(jù)隔離體建立平衡方程：

MC+Py-M(x)-FCx=0

(1)

將位移的二次微分等效為曲率可得

EIy″+Py+MC-FCx=0

(2)

令k2=P/EI，式(2)可化簡(jiǎn)為

(3)

求解式(3)微分方程，可得桿件位移曲線為

(4)

式(4)中的常數(shù)A1、B1可由邊界條件求得，代入y(0)=0，y′(0)=0可得

A1=-FC/kP，B1=MC/P

代入常數(shù)A1、B1得到

(5)

式(5)求導(dǎo)后得

(6)

代入式(5)邊界條件ylo(l)=v，可得

(7)

利用式(6)求得彈簧支撐處下側(cè)截面轉(zhuǎn)角：

(8)

情況2截取隔離體的截面在彈簧支撐處上側(cè)，即l

圖4 包含彈簧支撐的隔離體

此時(shí)隔離體平衡方程為

MC+Py+cv(x-l)-M(x)-FCx=0

(9)

參照情況1，可得微分方程：

(10)

求解微分方程，可得桿件位移曲線為

FCx]

(11)

式(11)中的常數(shù)A2、B2可由邊界條件求得，代入y(2l)=0，y′(2l)=0可得

A2=[kMCsin 2kl+(klsin 2kl+cos 2kl)cv-

(2klsin 2kl+cos 2kl)FC]/kP

B2=[kMCcos 2kl+(klcos 2kl-sin 2kl)cv+

(sin 2kl-2klcos 2kl)FC]/kP

代入常數(shù)A2、B2得到

yup(l)=[k(coskl-1)MC+(klcoskl-sinkl)cv+

(-2klcoskl+sinkl+kl)FC]/kP=v

(12)

彈簧支撐處上側(cè)截面轉(zhuǎn)角為

y′up(l)=[kMCsinkl+(klsinkl+coskl-1)cv+

(1-2klsinkl-coskl)FC]/P

(13)

由彈簧支撐處位移連續(xù)關(guān)系可知

ylo(l)=yup(l)，y′lo(l)=y′up(l)

(14)

結(jié)合式(7)、(12)、(14)可得

FC=FA=cv/2

(15)

結(jié)合式(8)、(13)、(14)、(15)可得

(16)

由式(16)可知需滿足式(17)恒成立或式(18)條件成立：

(17)

(18)

根據(jù)穩(wěn)定承載力取最小值的原則，滿足式(17)成立的最小穩(wěn)定承載力P=4π2EI/l2，一定大于式(18)成立的穩(wěn)定承載力，舍去．

當(dāng)式(18)條件成立時(shí)，結(jié)合式(7)、(15)得到

(19)

為更加清晰得到桿間彈簧支撐下的兩端固定壓桿穩(wěn)定承載力與彈簧剛度之間的關(guān)系，做出如下簡(jiǎn)化：其他條件相同，無彈簧支撐時(shí)兩端簡(jiǎn)支桿件穩(wěn)定承載力為P0=π2EI/4l2，引入穩(wěn)定承載力系數(shù)μ，將具有桿間彈簧支撐兩端固定壓桿的穩(wěn)定承載力表示為

(20)

(21)

結(jié)合式(20)、(21)以及k2=P/EI，式(19)可簡(jiǎn)化為

(22)

使用MATLAB求解不同彈簧剛度系數(shù)時(shí)的μ，將γ=c/c0作為橫坐標(biāo)，μ2=P/P0作為縱坐標(biāo)繪制歸一化曲線，見圖5．

圖5 穩(wěn)定承載力與彈簧剛度關(guān)系曲線

由圖5可以看出，兩端固定桿件的穩(wěn)定承載力與彈簧剛度近似呈線性關(guān)系，這與Timoshenko等[3]推導(dǎo)的關(guān)于兩端簡(jiǎn)支桿件結(jié)論相近，不同的是，在圖5所示曲線中沒有峰值點(diǎn)．

從理論上來講，當(dāng)桿間彈簧剛度趨近于無窮大，此時(shí)兩端固定壓桿可以等效為一端固定，另一端簡(jiǎn)支的長(zhǎng)度為l的壓桿．根據(jù)計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)法求得此時(shí)的穩(wěn)定承載力P/P0=8.17．類比Timoshenko 等推導(dǎo)的結(jié)論，彈簧剛度在達(dá)到一定值后，兩端固定桿件的穩(wěn)定承載力達(dá)到最大值P=8.17P0后不再增加．修正后的理論關(guān)系曲線如圖6所示．

圖6 穩(wěn)定承載力與彈簧剛度理論關(guān)系曲線

1.3 理論公式簡(jiǎn)化

根據(jù)Timoshenko等已有結(jié)論，桿間有彈性支撐的兩端簡(jiǎn)支壓桿的穩(wěn)定承載力與彈簧剛度的關(guān)系見圖7[3]，呈線性關(guān)系．

同理兩端固定壓桿穩(wěn)定承載力與彈簧剛度也可以簡(jiǎn)化為線性關(guān)系，見圖7．

圖7 簡(jiǎn)化關(guān)系曲線

P/P0=4+0.198 6c/c0

(23)

2 試驗(yàn)研究

2.1 試驗(yàn)?zāi)康?/h3>

設(shè)計(jì)具有桿間彈簧支撐的兩端固定壓桿失穩(wěn)試驗(yàn)，驗(yàn)證理論關(guān)系曲線．

2.2 試驗(yàn)平臺(tái)及試驗(yàn)裝置

試驗(yàn)依托于煙臺(tái)新天地試驗(yàn)技術(shù)有限公司YJ-IIA-W型結(jié)構(gòu)力學(xué)組合試驗(yàn)裝置．試驗(yàn)?zāi)Ｐ鸵妶D8．

①剎車塊；②隨動(dòng)小車平臺(tái)；③轉(zhuǎn)接板；④電動(dòng)缸；⑤導(dǎo)向裝置；⑥固定支座；⑦邊立柱；⑧調(diào)距裝置；⑨彈簧；⑩彈簧連接板；側(cè)向防失穩(wěn)裝置；連接鉸；力傳感器；位移傳感器

2.3 試件設(shè)計(jì)

為避免鋼管實(shí)際抗彎剛度EI與理論值不同，使用鋼管樣本進(jìn)行抗彎剛度測(cè)定試驗(yàn)，取其中3次有效結(jié)果，分別為279.1、280.2、280.5 N·m2，取平均值，因此本批次試驗(yàn)圓鋼管的EI=280.0 N·m2．

2.4 彈簧支撐設(shè)計(jì)

本節(jié)主要研究桿間彈簧剛度對(duì)桿件穩(wěn)定承載力的影響，需購(gòu)置滿足需求的彈簧．對(duì)彈簧剛度進(jìn)行標(biāo)定[18]，試驗(yàn)曲線見圖9，其中縱坐標(biāo)為施加在彈簧上的力F，橫坐標(biāo)為彈簧拉伸長(zhǎng)度δ．

圖9 彈簧剛度標(biāo)定

試驗(yàn)曲線的斜率即代表了彈簧拉伸剛度，試驗(yàn)中取彈簧剛度為3.11 N/mm．

2.5 量測(cè)內(nèi)容與加載方案

當(dāng)軸壓桿件失穩(wěn)時(shí)，承載力下降的同時(shí)桿件中點(diǎn)位移會(huì)明顯增大．故本文的量測(cè)內(nèi)容為桿端力以及桿件中部位移，并繪制荷載-位移曲線．

本次試驗(yàn)同時(shí)采用以下兩種方法反映壓桿中點(diǎn)位移：(1)測(cè)量桿件上端部位移；(2)直接測(cè)量桿件中部位移[19]．事實(shí)上，桿件上端部位移和桿件中部位移均可反映壓桿穩(wěn)定承載力，二者雖在相同荷載下大小不一，但荷載-位移曲線對(duì)應(yīng)的壓桿極限承載力相同．

試驗(yàn)采用5 t電動(dòng)缸，按照位移控制單調(diào)加載，同時(shí)采集力與位移信號(hào)，當(dāng)承載力下降到峰值的70%左右時(shí)停止加載，存儲(chǔ)數(shù)據(jù)，卸載，更換桿件重復(fù)以上步驟．

2.6 試驗(yàn)結(jié)果

根據(jù)理論關(guān)系曲線(圖7)，設(shè)計(jì)不同彈簧剛度(通過調(diào)整彈簧數(shù)量實(shí)現(xiàn))使試驗(yàn)點(diǎn)較均勻分布在理論曲線上．共設(shè)計(jì)5組試驗(yàn)?zāi)Ｐ停篗X-1～MX-5，彈簧支撐數(shù)量分別為2、3、4、5、6．

根據(jù)2.5節(jié)中所述，同步采集豎向荷載P、圓鋼管豎向位移|Δv|、中部橫向位移|Δh|(由于失穩(wěn)方向在平面內(nèi)具有隨機(jī)性，采取位移絕對(duì)值來作為特征參數(shù))，并繪制P-|Δ|曲線．每組試驗(yàn)?zāi)Ｐ?MX-1～MX-5)進(jìn)行不少于3次試驗(yàn)，取3次有效數(shù)據(jù)的平均值作為最終結(jié)果，下面詳細(xì)介紹MX-1的其中一次試驗(yàn)，其余試驗(yàn)同理．

MX-1失穩(wěn)時(shí)圓鋼管中部產(chǎn)生大位移，帶動(dòng)彈簧平移，圓鋼管發(fā)生整體彈性失穩(wěn)，見圖10，為模型MX-1失穩(wěn)后形態(tài)．

圖10 MX-1失穩(wěn)形態(tài)

試驗(yàn)中采集得到的MX-1的P-|Δ|曲線如圖11所示．

圖11 MX-1荷載-位移曲線

從圖11可看出，模型失穩(wěn)為極值點(diǎn)失穩(wěn)，取荷載最大值作為穩(wěn)定承載力．試驗(yàn)結(jié)果見表1．

表1 試驗(yàn)穩(wěn)定承載力

根據(jù)5種試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷膹椈芍蝿偠?，利用?23)可求得壓桿穩(wěn)定承載力的理論值，理論值與試驗(yàn)值的誤差如表2所示．

表2 端部固定壓桿穩(wěn)定承載力理論值與試驗(yàn)值對(duì)比

根據(jù)2.3節(jié)標(biāo)定試驗(yàn)得到P0=1 079.49 N，c0=674.68 N/m，利用穩(wěn)定承載力的試驗(yàn)值計(jì)算P/P0以及c/c0，記為MX-1～MX-5，將5種模型的試驗(yàn)值繪在理論關(guān)系曲線中對(duì)比，如圖12所示．

圖12 MX-1～MX-5失穩(wěn)荷載

由表2可以得到，理論值和試驗(yàn)值誤差在±4%～±12%，且試驗(yàn)值普遍低于理論值，分析誤差原因主要有兩點(diǎn)：支座約束、初始缺陷．經(jīng)過與謝鵬[2]兩端簡(jiǎn)支桿件試驗(yàn)的對(duì)比，發(fā)現(xiàn)其試驗(yàn)解均大于理論解，而本文兩端固定桿件試驗(yàn)解均小于理論解，主要是因?yàn)樵囼?yàn)中圓鋼管的端部約束為非理想鉸支座或剛性支座，約束介于兩者之間，故本文試驗(yàn)解由于桿件端部約束剛性不足而略小于理論解．初始缺陷包括幾何初始缺陷、殘余應(yīng)力等，桿件初始缺陷會(huì)使其承載能力下降．

3 有限元分析

3.1 有限元模型

使用ABAQUS有限元軟件對(duì)本文理論模型進(jìn)行特征值屈曲分析，并與理論推導(dǎo)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證理論推導(dǎo)的準(zhǔn)確性．

圖13 有限元模型

3.2 有限元值與理論值對(duì)比分析

首先對(duì)5種試驗(yàn)?zāi)Ｐ蛯?duì)應(yīng)的彈簧剛度進(jìn)行有限元分析，與理論值進(jìn)行比較之后，計(jì)算多個(gè)不同彈簧剛度下的穩(wěn)定承載力，并與理論值進(jìn)行比較，得出結(jié)論．

根據(jù)5種試驗(yàn)?zāi)Ｐ蚆X-1～MX-5建立的有限元模型，使用ABAQUS中特征值屈曲分析進(jìn)行有限元計(jì)算后得到模型極限承載力，同樣與前文計(jì)算得到的理論值進(jìn)行比較，如表3所示．

表3 端部固定壓桿理論值與有限元值對(duì)比

由表3可以看出，5種試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷挠邢拊蹬c理論值誤差均在±1%以內(nèi)，因此，可以認(rèn)為5種試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷睦碚摻馐强煽康模?/p>

圖14 不同彈簧剛度下的兩種失穩(wěn)形態(tài)

根據(jù)有限元計(jì)算結(jié)果，繪制桿間彈性支撐兩端固定桿件的穩(wěn)定承載力與彈簧剛度的歸一化關(guān)系曲線，并與理論關(guān)系曲線進(jìn)行比較，見圖15．可見兩條關(guān)系曲線基本吻合．

圖15 理論曲線與有限元曲線對(duì)比

為驗(yàn)證結(jié)論普遍性，調(diào)整截面參數(shù)及桿件材料進(jìn)行重復(fù)計(jì)算，依然可以得到上述結(jié)論，說明此結(jié)論具有可靠性．

4 結(jié) 語

本文通過小撓度理論求解出具有桿間彈性支撐的端部固定壓桿穩(wěn)定承載力與桿間彈簧剛度關(guān)系的簡(jiǎn)化計(jì)算公式，并通過設(shè)計(jì)5組具有不同桿間彈簧剛度支撐的端部固定壓桿失穩(wěn)試驗(yàn)，用試驗(yàn)解驗(yàn)證了理論解的正確性；同時(shí)，基于ABAQUS有限元軟件對(duì)5組試驗(yàn)?zāi)Ｐ秃透嗖煌r下的模型進(jìn)行特征值屈曲分析，進(jìn)一步驗(yàn)證了理論公式或理論關(guān)系曲線的普遍適用性．

綜上，本文通過試驗(yàn)研究和有限元分析驗(yàn)證了理論公式的正確性，為工程設(shè)計(jì)人員提供了一種可靠的計(jì)算方法．