楊興升

萊布尼茨的微積分?jǐn)?shù)學(xué)思想與其單子論有何關(guān)系、是否存在關(guān)系等問題，引發(fā)了不少爭議。有學(xué)者將萊布尼茨微積分中的無窮小量概念視為其哲學(xué)中單子概念的對應(yīng)物，甚至認(rèn)為他的單子論影響了其微積分等數(shù)學(xué)思想，或者反過來，將其微積分?jǐn)?shù)學(xué)思想視為單子論的基礎(chǔ)。例如，波耶(Carl B.Boyer)認(rèn)為，微分這一無窮小量對應(yīng)著單子思想(1)[美]波耶：《微積分概念發(fā)展史》，唐生譯，上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2011年，第206頁。，萊布尼茨將其連續(xù)律思想作為其后期微積分研究的基礎(chǔ)(2)同上，第212頁。。羅素則認(rèn)為，數(shù)學(xué)，特別是是微積分，極大地影響了萊布尼茨的哲學(xué)思想(3)[英]羅素：《對萊布尼茨哲學(xué)的批評性解釋》，段德智、張傳有等譯，北京：商務(wù)印書館，2010年，第19頁。。也有學(xué)者認(rèn)為，萊布尼茨的無窮小量概念不僅不是其單子概念的對應(yīng)物，而且其數(shù)學(xué)思想與單子論無關(guān)。例如，蒙虎認(rèn)為，萊布尼茨的數(shù)學(xué)工作與其哲學(xué)思想的關(guān)聯(lián)，不是體現(xiàn)為本體論意義上單子與微分的相似，而主要表現(xiàn)為認(rèn)識論和方法論上的“普遍文字”“數(shù)理算法”(4)參見蒙虎：《關(guān)于萊布尼茨微積分的哲學(xué)背景》，《首都師范大學(xué)學(xué)報(bào)》2004年第1期。。還有學(xué)者將二進(jìn)制同“單子”的創(chuàng)造、微積分和連續(xù)律對應(yīng)起來，認(rèn)為萊布尼茨的單子論有其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(5)參見朱新春：《“單子”哲學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)初探》，《長春理工大學(xué)學(xué)報(bào)》社會科學(xué)版2010年第2期。。

無窮小量是微積分的核心概念之一，并同連續(xù)等概念掛鉤，進(jìn)而涉及不可分的點(diǎn)和連續(xù)性的關(guān)系問題，而后者恰恰是萊布尼茨單子論所致力解決的“連續(xù)體迷宮”。所以盡管學(xué)者們對無窮小量、微積分等數(shù)學(xué)思想概念與單子論的關(guān)系存在爭議，甚至語焉不詳，但提出了一個值得研究的問題：萊布尼茨無窮小量等微積分概念與其單子論究竟有何關(guān)聯(lián)？如何關(guān)聯(lián)？雖然這種關(guān)聯(lián)不意味著“無窮小量”同“單子”相對應(yīng)，但該問題對于把握萊布尼茨的“連續(xù)性迷宮”和單子論具有重要意義。本文嘗試從無窮小量概念入手，分析其引發(fā)的連續(xù)性問題及其對萊布尼茨微積分工作和單子論的影響，以此定位這一概念甚至微積分對于萊布尼茨“連續(xù)體迷宮”和單子論的影響。

一、“無窮小量”及其哲學(xué)意義

早在古希臘時期，數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家們就遭遇了數(shù)和直線的關(guān)系問題、離散和連續(xù)的關(guān)系問題、無限可分的問題，從而引出無窮小量概念。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派曾把數(shù)實(shí)體化，認(rèn)為線段不過是若干整數(shù)個單位的組合，所謂“萬物皆數(shù)”，但不可公度比問題的出現(xiàn)使得這些信念遭到了沉重打擊。危機(jī)讓古希臘數(shù)學(xué)家意識到：全體正整數(shù)和任兩個正整數(shù)之比組成的總體是離散的，而直線是連續(xù)的。對此，德謨克利特提出了幾何原子論式的不可分量，歐多克索斯提出了能連續(xù)變動的“變量”概念，亞里士多德在二者的基礎(chǔ)上區(qū)分了作為單位整數(shù)倍的離散的“數(shù)”和連續(xù)變動的“量”，從而把“量”的概念與連續(xù)、無限可分、運(yùn)動等概念緊密聯(lián)系起來，但它們都未能解答芝諾悖論。不過，亞里士多德的“量”概念與歐多克索斯的“變量”概念一道，隱含著“量”與直線上的點(diǎn)一一對應(yīng)的思想以及將運(yùn)動與變量相聯(lián)系的思想。此外，亞里士多德還區(qū)分了潛無限和實(shí)無限兩個概念，其中的潛無限概念強(qiáng)調(diào)了無限增大或無限減少的趨勢性，從而蘊(yùn)含了無窮小量概念。

中世紀(jì)后期，經(jīng)院哲學(xué)家對無窮大、無窮小、連續(xù)、運(yùn)動和變化等概念進(jìn)行哲學(xué)思辨式的探討。其中，最具代表性的人物是紅衣主教尼古拉的庫薩(Nicholas Cusanus)。在他看來，無窮大代表著上帝和真理，而有限代表著人以及人的知識與能力,人有限的智慧只能無限地趨近真理，永遠(yuǎn)不能達(dá)到真理，因此，無窮大成為所有知識的源泉和方法，但又是不可企及的目標(biāo)。(6)[美]波耶：《微積分概念發(fā)展史》，第88頁。他曾反對原子式的無窮小量——不可分量，卻又認(rèn)為連續(xù)的量可以在時間和空間當(dāng)中被無限分割為一系列的靜止?fàn)顟B(tài)，因而無法將兩者有機(jī)統(tǒng)一起來。于是，他提出“連續(xù)性的橋梁”的觀點(diǎn)，即多邊形與圓之間、橢圓和拋物線之間、有限與無限之間、無窮小的面積和直線之間，不存在明顯的差異。(7)同上，第88頁。這深刻影響了后來的開普勒、萊布尼茨等近代數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家。至此，無窮的問題、不可分量與連續(xù)的關(guān)系問題再次受到數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家的關(guān)注。

無窮小量概念從一開始就與不可分的點(diǎn)與連續(xù)的關(guān)系問題存在內(nèi)在的關(guān)聯(lián)，因而不僅是一個數(shù)學(xué)問題，也是一個哲學(xué)問題。盡管古希臘和中世紀(jì)的數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家最終未能解答這些問題，但他們的探討和相關(guān)思想概念的提出，為后來萊布尼茨等人的微積分?jǐn)?shù)學(xué)思想、哲學(xué)思想提供了準(zhǔn)備。

對萊布尼茨而言，他對無窮小量的理解和處理涉及其微積分的基礎(chǔ)穩(wěn)固性問題，因此他多次對這一概念進(jìn)行解釋，以說明它和零之間的關(guān)系。在1675年10月25日的數(shù)學(xué)手稿中，萊布尼茨以“瞬”(moment)表示一個可以在最終的計(jì)算當(dāng)中略去的面積微元，這是他第一次使用無窮小量的數(shù)學(xué)形式。(8)G.W.Leibniz, The Early Mathematical Script of Leibniz, trans.by J.M.Child, Chicago: Open Court Publishing Company, 1920, p.65.1690年，他在給沃利斯(John Wallis)的信中提出：無窮小量可以這樣來考慮，當(dāng)我們求它們的比例時不把它們視為零，但當(dāng)它同極大的量一同出現(xiàn)時我們可以將之舍棄，例如，我們可以把x+dx中dx的舍棄，這種計(jì)算所產(chǎn)生的誤差在任何情況下都小于任意一個有限的量。當(dāng)然，如果我們求的是x+dx和x的差，情況就不一樣了。(9)G.W.Leibniz, Mathematische Schriften, Band IV,ed.by C.I.Gerhardt, Hildesheim and New York: Georg Olms Verlag, 1971, p.63.

針對萊布尼茨時而把無窮小量當(dāng)作零、時而不當(dāng)作零的處理方式，紐紋提(Bernard Nieuwentijdt)提出了一系列質(zhì)疑。對此，萊布尼茨回應(yīng)道：無窮小量就是要多小有多小的量，其產(chǎn)生的誤差可以小于任意指定的量，不過，該概念所表示的過渡狀態(tài)或即將消失的狀態(tài)實(shí)際上并沒有完全相等或靜止，其中的剩余量、剩余速度都是無窮小，至于這種過渡狀態(tài)是否嚴(yán)密或具有形而上學(xué)的意義則是未解決的問題。(10)G.W.Leibniz, Mathematische Schriften, Band V,ed.by C.I.Gerhardt, Hildesheim and New York: Georg Olms Verlag, 1971, pp.320-328.

此后，萊布尼茨把無窮小量問題從數(shù)學(xué)當(dāng)中剝離出來，將之視為形而上學(xué)問題。在1702年，他提出“數(shù)學(xué)家根本不需要討論形而上學(xué)，也不必操心去管這種點(diǎn)，這種不可分的、無窮小的、嚴(yán)格意義上的無限的東西是否實(shí)際存在……只要不取‘無窮小’而取‘要多小有多小’就夠”；也就是說，不應(yīng)要求幾何學(xué)去解決形而上學(xué)的問題(11)[德]萊布尼茨：《新系統(tǒng)及其說明》，陳修齋譯，北京：商務(wù)印書館，2002年，第125-126頁。。之后，他在《神義論》當(dāng)中將不可分的點(diǎn)和連續(xù)性的關(guān)系問題稱為“讓哲學(xué)家們費(fèi)心”的著名“迷宮”，并認(rèn)為該問題涉及到無限性的思考。(12)[德]萊布尼茨：《神正論》，段德智譯，北京：商務(wù)印書館，2018年，第61頁。

可見，在對待無窮小量的問題上，萊布尼茲在數(shù)學(xué)上有了定性描述的極限概念，因而他十分確信自己以數(shù)學(xué)方式處理無窮小量時的正確性。但同時，他也承認(rèn)這種處理方式仍然缺乏嚴(yán)密性和理論根據(jù)。于是，他將無窮小量概念及其引發(fā)的連續(xù)性問題歸根為“形而上學(xué)”的問題，并同“連續(xù)體迷宮”關(guān)聯(lián)起來，繼而在其單子論中對這一問題進(jìn)行探究。就此而言，數(shù)學(xué)史家克萊因(Morris Kline)的說法是有道理的，即萊布尼茨對無窮小量的數(shù)學(xué)處理不能滿足他的批評者，因此他訴諸于其哲學(xué)中的連續(xù)性定律。(13)[美]克萊因：《古今數(shù)學(xué)思想》第1冊，張理京、張錦炎等譯，上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2014年，第320頁。但克萊因并未深究二者關(guān)聯(lián)的具體方式，而后者同萊布尼茨的實(shí)體觀念緊密相關(guān)。

二、“連續(xù)體迷宮”和“單子”的提出

萊布尼茨認(rèn)為，連續(xù)性與不可分點(diǎn)的“連續(xù)體迷宮”問題“涉及到對于無限性的思考”，但人們對實(shí)體的本性缺乏正確的概念，因而導(dǎo)致了不可克服的困難。(14)[德]萊布尼茨：《神正論》，第61頁。因此，要解決該問題，必須考慮“無限性”，并提出正確的“實(shí)體本性”。

在萊布尼茨看來，以往哲學(xué)家們提出的實(shí)體概念要么是連續(xù)的，要么是原子式不可分的，二者相互對立，前者的代表人物是笛卡爾，后者的代表人物是伽桑狄。笛卡爾認(rèn)為：實(shí)體是不依賴其他事物而能自己存在的事物，因而上帝是唯一絕對獨(dú)立的實(shí)體；不過，上帝還創(chuàng)造了物質(zhì)和精神兩種實(shí)體，其中，物質(zhì)實(shí)體的本質(zhì)屬性是廣延性，即空間性；因此，物質(zhì)實(shí)體是連續(xù)的、無限可分的，不存在原則上不可再分的“原子”，也不存在只有廣延性而無物質(zhì)的“虛空”，世界是“連續(xù)”的。(15)[法]笛卡爾：《哲學(xué)原理》，關(guān)文運(yùn)譯，北京：商務(wù)印書館，1958年，第20、35、44、42頁。伽桑狄則認(rèn)為，世界萬物都是由不可再分的“原子”即“不可分的點(diǎn)”構(gòu)成的，原子的基本屬性是堅(jiān)實(shí)性，同時具有廣延性，原子和原子之間存在虛空，它們共同造就了一個不連續(xù)的宇宙。(16)參見王筱娜：《伽桑狄主動性物質(zhì)初考》，《北京大學(xué)學(xué)報(bào)》哲學(xué)社會科學(xué)版2014年第3期。

萊布尼茨認(rèn)為，笛卡爾的物質(zhì)實(shí)體肯定了實(shí)體的連續(xù)性，卻否定了實(shí)體的不可分性，即肯定“連續(xù)”而否定“不可分的點(diǎn)”；而伽桑狄不可分的點(diǎn)即“原子”雖然否定了實(shí)體的連續(xù)性，但其“原子”仍具有廣延性，因而并非不可再分；他們兩人在實(shí)體的連續(xù)性和不可分性方面，也就是整體和部分、一般和個別的實(shí)在性方面，各執(zhí)一端，這是錯誤的，應(yīng)該予以協(xié)調(diào)，因?yàn)槲覀儾荒苓@樣說整體是真實(shí)的而部分是不真實(shí)的，或者部分是真實(shí)的而整體是不真實(shí)的。(17)Leibniz, The Monadology and Other Philosophical Writings, ed.by Robert Latta, Oxford: The Clarendon Press, 1898, p.22.換言之，實(shí)體作為世界的基本構(gòu)成單元必然是不可分的，否則就不是單純的實(shí)體，而且還必須具有連續(xù)性。

為此，萊布尼茨闡發(fā)了自己的實(shí)體概念，即“形而上學(xué)的點(diǎn)”——單子。單子是構(gòu)成事物的最初本原，也是實(shí)體性東西分析到最后的元素，還是沒有任何部分的單元和行動的根源?！拔覀兛梢园阉鼈兘凶餍味蠈W(xué)的點(diǎn)，它們有某種有生命的東西以及一種知覺，而數(shù)學(xué)的點(diǎn)是它們用來表現(xiàn)宇宙的觀點(diǎn)。”(18)[德]萊布尼茨：《新系統(tǒng)及其說明》，第7頁。這里，萊布尼茨強(qiáng)調(diào)單子實(shí)體是一種“不可分的點(diǎn)”，即“沒有部分”；單子的屬性還包括具有動力、具有某種生命的東西、具有知覺等；此外，他還將單子的“知覺”屬性同“表現(xiàn)宇宙”的“數(shù)學(xué)的點(diǎn)”進(jìn)行關(guān)聯(lián)。

三、單子的知覺屬性和連續(xù)性問題

由于單子沒有部分，是“不可分的點(diǎn)”，由此可引申出單子其他方面的一些規(guī)定性：第一，單子不像廣延的自然事物那樣因?yàn)榻M合、分解而生滅，只能由神來突然創(chuàng)造或突然毀滅；第二，由于沒有“可供事物出入的窗戶”，因此單子之間是相互獨(dú)立的；第三，由于單子本身不存在量的差別，因此它們必然通過某些性質(zhì)上的差異而相互區(qū)分；第四，因?yàn)橐磺斜辉煳锒加凶兓?，且沒有外因使之變化，所以單子有其變化的內(nèi)在原則；第五，所有的單子都反映著同一個宇宙，遵守上帝的“前定和諧原則”，以上帝的全知狀態(tài)為終極發(fā)展目標(biāo)，并且符合“不飛躍”的連續(xù)律。單子的這些屬性是相互關(guān)聯(lián)的，它們共同構(gòu)成單子論的主體內(nèi)容。

(一)單子的知覺屬性及其“數(shù)學(xué)的點(diǎn)”

萊布尼茨認(rèn)為，單子的本性是“力”，這是單子的內(nèi)在原則，也是單子變化的來源，它包含一種努力、作為和“隱德萊希”，使得單子及其構(gòu)成的自然事物能夠活動。(19)[德]萊布尼茨：《新系統(tǒng)及其說明》，第25頁。因此，這種“力”既是單子的構(gòu)成要素，也是事物行動的原則。單子的“力”是同其“知覺”和“欲望”聯(lián)系在一起的。事實(shí)上，這種“力”就表現(xiàn)為單子的欲望對其知覺狀態(tài)的推動。每個單子都通過其特定的知覺可以像鏡子一樣表象外在事物和反映整個宇宙，它們在各自欲望的推動下不斷過渡到新的知覺狀態(tài)，也因此相互區(qū)別。(20)[德]萊布尼茨：《萊布尼茨后期形而上學(xué)文集》，段德智、陳修齋譯，北京：商務(wù)印書館，2019年，第227頁。

由于單子之間不存在量的差別，因此它們必須通過某些性質(zhì)上的差別來相互區(qū)分和推動事物的變化，且這種性質(zhì)差異主要是單子在知覺屬性“清晰程度”上的差別。也就是說，單子實(shí)體本身并沒有量的規(guī)定性，但其知覺的“清晰程度”可以表征為量的不同。正是單子之間知覺“清晰程度”上的“量”的差別，造就了單子實(shí)體之間“質(zhì)”的不同。因此，萊布尼茨指出，“形而上學(xué)的點(diǎn)，它們有某種有生命的東西以及一種知覺，而數(shù)學(xué)的點(diǎn)是它們用來表現(xiàn)宇宙的觀點(diǎn)”(21)[德]萊布尼茨：《新系統(tǒng)及其說明》，第7頁。。

接著，萊布尼茨區(qū)分了“物理學(xué)的點(diǎn)”“數(shù)學(xué)的點(diǎn)”和“形而上學(xué)的點(diǎn)”(22)同上，第7頁。。其中，“物理學(xué)的點(diǎn)”如原子，雖然被強(qiáng)調(diào)不可再分，但仍然具有廣延性，并非不可再分，因而不是實(shí)在的；“數(shù)學(xué)上的點(diǎn)”精確，但只是樣式，沒有實(shí)在性；“形而上學(xué)的點(diǎn)”則既“實(shí)在”又“精確”，其實(shí)在性體現(xiàn)為不可再分，其精確性表現(xiàn)為通過其“知覺”上的“數(shù)學(xué)的點(diǎn)”(知覺清晰程度的“量”)來表現(xiàn)宇宙，如果單子之間喪失了這種“精確”，那么它們將無法區(qū)分。通過“形而上學(xué)的點(diǎn)”，萊布尼茨把不可分性、知覺上的精確性(數(shù)學(xué)的點(diǎn))賦予單子實(shí)體。那么，這種“數(shù)學(xué)的點(diǎn)”是連續(xù)的嗎？

(二)單子的知覺屬性和連續(xù)律

為了應(yīng)對“連續(xù)體迷宮”，單子實(shí)體在不可分的同時，也得具有某種連續(xù)性。由于這種連續(xù)性不能由單子本身體現(xiàn)，那就只能由它的屬性來表達(dá)，且主要是知覺屬性。為此，萊布尼茨論述了單子在其知覺屬性上所表現(xiàn)的連續(xù)律。

萊布尼茨提出，上帝在能力、知識、意志等方面是絕對完滿的，這種完滿性體現(xiàn)為“全部數(shù)量的積極實(shí)在性”和絕對無限性，但是受造的單子在這些方面“只是這些屬性的仿品，這些仿品的模仿程度依照它們所具有的完滿性程度而定”，而且這些無限多的單子“都以混亂的方式追求無限，追求全體，但它們都按照知覺的清晰程度而受到限制，并相互區(qū)別”。(23)[德]萊布尼茨：《萊布尼茨后期形而上學(xué)文集》，第283、290-291、297、300頁。也就是說，單子的等級越高，就越趨近于上帝，而上帝的知覺清晰程度是無限和無窮大。由于單子的數(shù)量是無限多，且其知覺清晰程度上的“數(shù)學(xué)的點(diǎn)”各不相同，因此若按照知覺清晰程度進(jìn)行排列，這些單子可由最混亂意識的“零”趨近全知意識的“無窮大”，且兩個相鄰單子之間的知覺清晰程度的差異是無窮小。此外，每個單子在其知覺清晰程度的變化上也符合連續(xù)律的，因?yàn)椤懊總€受造物，從而每個受造的單子，都是有變化的，而且，這種變化在每件事物中都是持續(xù)不斷的”(24)[德]萊布尼茨：《萊布尼茨后期形而上學(xué)文集》，第260頁。。

因此，萊布尼茨通過單子之間知覺清晰程度的不同、單子知覺清晰程度的變化論述了單子知覺上的“數(shù)學(xué)的點(diǎn)”的連續(xù)性，即它們都符合連續(xù)律。這樣，他便在其單子實(shí)體概念中結(jié)合了不可分性和連續(xù)性，即單子是一個沒有部分的“形而上的點(diǎn)”，且其知覺屬性在清晰程度上具有量的連續(xù)性。

(三)單子的知覺屬性與前定和諧原則

單子之間相互獨(dú)立，但是它們各自變化之時又保持著連續(xù)律和秩序。這何以可能呢？也就是說，“不可分的點(diǎn)”和“連續(xù)性”存在分裂的危險(xiǎn)。為此，萊布尼茨請出了上帝：上帝在創(chuàng)造單子之時就預(yù)見了所有單子的變化，并為每一個單子進(jìn)行了安排。這樣，每個單子只需按照其與生俱來的法則，就能同其他單子和諧一致，就像“上帝除了一般的維持之外還時時插手其間似的”(25)[德]萊布尼茨：《新系統(tǒng)及其說明》，第51頁。。換言之，為了保證不可分的單子能夠維持其在知覺屬性等方面的連續(xù)性，上帝必須從在創(chuàng)造單子之時就給它們安排了先天的內(nèi)在的法則，所謂前定和諧原則。

因此，盡管單子之間沒有直接的相互作用，但它們各自以不同的知覺清晰程度反映著同一個宇宙，進(jìn)而產(chǎn)生了主動性或受動性不同的相互影響。其中，知覺越清楚的單子，其活動的主動性就越強(qiáng)；知覺越混亂的單子，其活動的被動性也越強(qiáng)。(26)[德]萊布尼茨：《萊布尼茨后期形而上學(xué)文集》，第291-292頁。正是通過這些主動或被動的相互作用，所有單子最終實(shí)現(xiàn)了它們本來就有的前定和諧原則。

此外，每個形體(復(fù)合實(shí)體)都由眾多單子構(gòu)成。其中，最為卓越的單子，即該形體、事物的中心與統(tǒng)一性原則，將通過自身的屬性表象外在的事物。(27)同上，第228-229頁。這樣，世界萬物都在不同知覺清晰程度的單子的相互作用之中實(shí)現(xiàn)和諧。換言之，正是前定和諧原則的存在，使得“連續(xù)性在時間、廣延、各種性質(zhì)以及運(yùn)動中，實(shí)際上在所有的自然變化中，也都能找到，因?yàn)檫@些從來都不可能通過飛躍而發(fā)生”(28)[德]萊布尼茨：《萊布尼茨邏輯學(xué)與語言哲學(xué)文集》，段德智編譯，北京：商務(wù)印書館，2020年，第525頁。；也正是連續(xù)律的普遍存在，使得前定和諧原則最終得以實(shí)現(xiàn)，進(jìn)而造就整個宇宙的活力與秩序。

盡管萊布尼茨希望通過上帝的前定和諧原則來保證單子的不可分性及其知覺屬性等方面的連續(xù)性，但他最終還是要以單子知覺屬性的連續(xù)律來體現(xiàn)和實(shí)現(xiàn)這一原則，就此而言，他的前定和諧原則也終究未能脫離其無窮小量數(shù)學(xué)概念及其連續(xù)性問題的影響。