孟坤 崔春義 王本龍 李靜波 王坤鵬

摘要：為分析大直徑浮承樁縱向振動特性，基于黏彈性連續(xù)介質(zhì)理論同時考慮樁身和樁底土的三維波動效應(yīng)，提出了一種三維虛土樁模型.首先，采用拉普拉斯變換和分離變量法求解得到樁身和樁底虛土樁的位移基本解；然后，結(jié)合樁-土及樁-虛土樁完全耦合條件，推導(dǎo)得出大直徑樁樁頂動力阻抗解析解，并通過與已有解答對比分析驗(yàn)證了推導(dǎo)所得解析解的合理性和準(zhǔn)確性；最后，利用數(shù)值算例分析了樁頂徑向位置及三維虛土樁參數(shù)對大直徑浮承樁樁頂動力阻抗的影響.計(jì)算結(jié)果表明：大直徑樁頂動剛度和動阻尼呈現(xiàn)由樁中心向樁邊緣減小的趨勢，且樁長徑比越小樁頂動力阻抗的這種徑向不均勻性越明顯；對于大直徑樁忽略樁身徑向波動效應(yīng)會過高估計(jì)樁頂動力阻抗的振幅和頻率，不利于樁基抗振防振設(shè)計(jì)；三維虛士樁模型不僅對于大直徑浮承樁縱向振動問題具有更好的適用性，而且可以通過調(diào)整虛土樁參數(shù)將其應(yīng)用于端承樁動力特性分析中.

關(guān)鍵詞：大直徑樁；縱向振動；連續(xù)介質(zhì)理論；三維虛土樁；解析解

中圖分類號：TU473文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Study on Vertical Vibration of Large Diameter Pile Based on Three-dimensional Fictitious Soil Pile Model

MENG Kun1，2，CUI Chunyi2，WANG Benlong2，LI Jingbo2，WANG Kunpeng2

（1. College of Transportation，Shandong University of Science and Technology，Qingdao 266590，China；2. College of Transportation Engineering，Dalian Maritime University，Dalian 116026，China）

Abstract：To investigate the vertical vibration characteristic of a large-diameter floating pile，a threedimensional fictitious soil pile model （TFSP）is presented by introducing a three-dimensional visco-elastic continuum theory and considering the three-dimensional wave propagation effect of the pile and pile end soil. First，the fundamental solutions of pile shaft and fictitious soil pile are derived by using Laplace transform and variables separation methods. Then，combining the compatibility conditions at the interfaces of pile-soil and pile-TFSP，the analytical solution of dynamic impedance at the head of a large-diameter pile is obtained. The rationality and accuracy of the proposed model and corresponding analytical solutions are verified by comparing them with existing research.Finally，the numerical examples are performed to investigate the effect of the radial location of the pile cross-section and parameters of TFSP on the dynamic impedance of a large-diameter floating pile. The results indicate that the dynamic stiffness and damping of the pile head decrease from the pile center to the pile edge，and the smaller the length diameter ratio of the pile，the more obvious the radial heterogeneity of the dynamic impedance of the pile. For large-diameter piles，ignoring the radial wave effect of the pile shaft can overestimate the amplitude and frequency of the dynamic impedance at the pile head，which is not conducive to the anti-vibration design of' the pile shaft. The proposed three-dimensional fictitious soil pile model not only has better applicability for the vertical vibration of the large-diameter floating pile but also can be used to analyze the dynamic characteristics of the end-bearing pile by adjusting the parameters of' the fictitious soil pile.

Key words：large-diameter pile；vertical vibration；continuum theory；three-dimensional fictitious soil pile；analytical solution

隨著社會經(jīng)濟(jì)的全面發(fā)展，現(xiàn)代建筑及各類基礎(chǔ)設(shè)施呈現(xiàn)大型化和復(fù)雜化趨勢，其對基礎(chǔ)的承載和變形要求也隨之提高，樁基作為一種承載力高、抗變形能力強(qiáng)的基礎(chǔ)形式得到更為普遍的應(yīng)用.樁基除了承受上部結(jié)構(gòu)傳遞的靜荷載外，還會受到諸如交通、機(jī)械振動等縱向動荷載作用，而樁-土縱向振動理論作為樁基抗振防振設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)，受到國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注[1-3].

樁-土縱向振動理論模型主要由三部分組成，即樁側(cè)土、樁底土和樁身，已有研究多圍繞樁側(cè)土和樁底土模型的改進(jìn)展開[4].樁側(cè)土模型由簡化的Winkler模型[5]，到可考慮徑向波動效應(yīng)的Novak平面應(yīng)變模型[6]，再到可進(jìn)一步考慮豎向波動效應(yīng)的三維連續(xù)介質(zhì)模型[7]，發(fā)展已趨于完善.樁底土模型作為界定浮承樁和端承樁的關(guān)鍵，近年來受到越來越多的關(guān)注.對于端承樁，采用樁端固定模型即可很好地分析其縱向振動特性[8]；而對于浮承樁，樁底土模型的合理性則會對計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生較大影響[9].Kelvin- Voigt模型[10]是針對浮承樁縱向振動問題應(yīng)用最為普遍的一種樁底土模型，但其作為一種離散的彈簧- 阻尼器模型無法考慮樁底土波動效應(yīng)的影響.因此，Muki等[11]和Zheng等[12]將彈性半空間模型引入樁- 土縱向耦合振動分析中，探討了樁底土波動效應(yīng)對樁基縱向動力響應(yīng)的影響.然而，彈性半空間模型僅適用于樁底基巖埋深無限大的情況，鑒于此，楊冬英等[13]和吳文兵等[14]通過將樁底土假設(shè)為與樁基等直徑的圓柱體提出了一種理論上更為嚴(yán)格的虛土樁模型，該模型既考慮了樁底土波動效應(yīng)的影響，又不受樁底基巖埋深的限制.

上述研究中，樁身模型均采用基于平面應(yīng)變假定的Euler-Bernoulli桿模型，該模型對于細(xì)長樁縱向振動問題具有很好的適用性.然而，隨著上部結(jié)構(gòu)對基礎(chǔ)承載力要求的不斷提高，樁身直徑也隨之加大，這樣，平截面假定對于此類大直徑樁將不再適用[15].呂述暉等[16]和李振亞等[17]通過在樁身一維波動方程中引入泊松比項(xiàng)，考慮樁身橫向慣性效應(yīng)的影響，提出了一種可應(yīng)用于大直徑樁縱向振動問題的Rayleigh-Love模型.然而，Rayleigh-Love模型實(shí)際意義上仍是一種一維模型，無法考慮樁身徑向波動效應(yīng)的影響.鑒于此，楊驍?shù)萚18]將樁底考慮為固定端，基于連續(xù)介質(zhì)理論建立了三維樁身模型，分析了樁身徑向波動效應(yīng)對端承樁縱向振動特性的影響. 在此基礎(chǔ)上，孟坤等[19]進(jìn)一步利用Kelvin-Voigt模型考慮樁底土對樁的支撐作用，對大直徑浮承樁的縱向振動特性進(jìn)行了分析.

綜上所述，在利用樁身三維模型分析大直徑樁縱向振動特性的研究中，浮承樁樁底土采用了簡化的Kelvin-Voigt模型，無法合理考慮樁底土波動效應(yīng)的影響.鑒于此，本文基于三維黏彈性連續(xù)介質(zhì)理論，將樁底一維虛土樁模型拓展到三維情況，提出一種可同時考慮樁身和樁底土徑向波動效應(yīng)的三維虛土樁模型.利用拉普拉斯變換和分離變量法，并結(jié)合樁-土完全耦合條件，推導(dǎo)得出大直徑浮承樁樁頂動力阻抗解析解，進(jìn)而分析樁頂徑向位置及三維虛土樁參數(shù)對樁頂動力阻抗的影響規(guī)律，所得相關(guān)解析解及分析結(jié)果可為實(shí)際工程中大直徑浮承樁的動力設(shè)計(jì)及現(xiàn)場樁基完整性檢測提供理論指導(dǎo).

1定解問題

1.1簡化力學(xué)模型

基于三維虛土樁模型的大直徑黏彈性樁簡化力學(xué)模型，如圖1所示.大直徑樁力學(xué)性質(zhì)采用三維黏彈性連續(xù)介質(zhì)描述，樁側(cè)土和樁底土簡化為相互獨(dú)立的薄層，樁底半徑范圍內(nèi)的土體考慮為與樁等截面的三維虛土樁.大直徑樁樁長和半徑分別為H^P和r₀，三維虛土樁樁長（即樁底土層厚度）為H^FP，基巖上土層總厚度為H.樁頂激振力p（t）均布在半徑為r_h的圓形區(qū)域內(nèi)，具體形式如式（1）（2）所示：

式中：Q為激振力幅值；T為脈沖寬度；h為階躍函數(shù).

本文解析模型基于樁與樁側(cè)土、虛土樁與樁底土以及樁與虛土樁界面完全耦合假定，適用于小變形的振動和波動問題，具體的應(yīng)用場景包括：1）樁基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)物抗振防振設(shè)計(jì)，如大直徑浮承樁樁頂動力阻抗計(jì)算及影響因素分析；2）低應(yīng)變反射波法檢測樁基完整性，如大直徑樁浮承樁樁頂不同位置處速度反射波曲線變化規(guī)律對樁基完整性判別的影響.

1.2控制方程

基于Novak平面應(yīng)變理論建立土體縱向振動控制方程：

大直徑樁和三維虛土樁的控制方程則可根據(jù)三維黏彈性連續(xù)介質(zhì)模型理論建立：

1.3邊界條件

1）土體邊界條件.

徑向無窮遠(yuǎn)處土體位移為零：

2）樁邊界條件.

大直徑樁樁頂作用均布激振力p（t）：

虛土樁樁底位移為零：

樁和虛土樁樁中心處位移為有限值：

樁與虛土樁界面位移、應(yīng)力耦合條件：

3）樁-土界面耦合條件.

為樁、樁側(cè)土、虛土樁和樁底土的切應(yīng)力.

2定解問題求解

對樁-土耦合縱向振動控制方程式（3）～（5）進(jìn)行拉普拉斯變換后可得：

2.1土體振動求解

方程（15）的位移基本解為：

2.2樁-虛土樁振動求解

2.2.1位移基本解

利用分離變量法，令U^P=Z^P（z）·R^P（r），U^FP=Z^FP（z）·R^FP（r），并將其分別代入式（16）和式（17）可得：

進(jìn)一步地，式（21）和式（22）可分解為常微分方程：

根據(jù)式（21）和式（22）可知，α^P和β^P、α^FP和β^FP分別滿足關(guān)系式（25）（26）：

方程（23）和（24）的基本解為：

式中：C^P、D^P、E^P、F^P、C^FP、D^FP、E^FP和F^FP為待定系數(shù).

將式（27）和式（28）分別代入邊界條件式（9）和（10）可得E^P=E^FP=0，因此樁和虛土樁的位移可表示為：

2.2.2振動模態(tài)特征值

根據(jù)式（29）和（30），可以得到樁和虛土樁的正應(yīng)力和剪應(yīng)力表達(dá)式：

根據(jù)樁-土界面耦合條件，當(dāng)j=1時將式（19）（29）（20）（32）代入式（13）后可得：

當(dāng)j=2時將式（19）（30）（20）（34）代入式（14）后可得：

分別聯(lián)立式（35）～（38）后可得：

根據(jù)疊加原理可得樁和虛土樁位移解為：

2.2.3待定系數(shù)求解

將式（41）和式（42）分別代入邊界條件式（7）和

式中：P（ω）為p（t）的拉氏變換.

根據(jù)貝塞爾函數(shù)性質(zhì)可知其具有如下正交性：

式中：

此外，考慮樁與虛土樁界面的耦合條件，將式（41）和（42）代入邊界條件式（11）和（12）后可得：

聯(lián)立式（47）～（50）可求解得到大直徑樁位移解

待定系數(shù)的具體形式：

式（8）后可得：

2.2.4樁頂動力阻抗

將待定系數(shù)代入式（41）可得大直徑樁樁頂（z=0）縱向振動位移頻響函數(shù)：

樁頂動力阻抗則可進(jìn)一步表示為：

樁頂動力阻抗為復(fù)數(shù)，其實(shí)部代表動剛度，虛部代表動阻尼，具體可表示為：

K_d=K_r+iK_i（55）

根據(jù)式（53）可進(jìn)一步得到樁頂速度頻域和時域解：

V^P（z，r，ω）=iωU^P（z，r，ω）（56）

v^P（z，r，t）=IFT［iωU^P（z，r，ω）］（57）

式中：V^p和v^p分別為樁頂速度頻域解析解和時域半解析解；IFT為傅里葉逆變換.

3模型驗(yàn)證及參數(shù)化分析

在應(yīng)用本文方法對大直徑浮承樁進(jìn)行抗振防振設(shè)計(jì)及對樁身完整性進(jìn)行評價時，樁長、樁徑、樁身密度、彈性模量、土體密度、剪切模量等可通過現(xiàn)場或室內(nèi)試驗(yàn)測量的參數(shù)，根據(jù)實(shí)際工程情況取值；泊松比、材料阻尼等無法實(shí)測的參數(shù)，可參照已有相關(guān)研究取值［21］.

3.1模型驗(yàn)證

3.1.1本文解與已有解退化驗(yàn)證

為更合理地考慮樁底土波動效應(yīng)的影響，吳文兵等[14]將樁和樁底土簡化為Euler-Bernoulli桿，提出了一維虛土樁模型，探討了虛土樁參數(shù)對浮承樁縱向振動特性的影響規(guī)律.Liu等[20]將樁底考慮為周端支撐，基于三維波動理論建立了大直徑端承樁縱向振動理論模型，并基于此分析了樁身三維波動效應(yīng)對端承樁縱向振動特性的影響.結(jié)合一維虛土樁模型和三維波動理論，本文進(jìn)一步提出了對于大直徑浮承樁適用性更好的三維虛土樁模型.

3.1.2本文解與已有實(shí)測案例對比驗(yàn)證

此外，圖5給出了相同參數(shù)體系下本文樁頂速度時域半解析解與Chow等[22]三維有限元計(jì)算結(jié)果的對比.綜合圖4和圖5可見，本文樁頂速度時域半解析解與有限元計(jì)算結(jié)果及現(xiàn)場試驗(yàn)實(shí)測結(jié)果吻合較好.

3.2樁頂縱向振動特性參數(shù)化分析

3.2.1三維樁徑向位置的影響

為探討樁截面徑向位置對樁頂縱向振動特性的影響規(guī)律，選取樁頂截面動力阻抗曲線上第三個峰值點(diǎn)處動剛度值K_rF₃和動阻尼值K_iF₃，并按式（58）和（59）對K_rF₃和K_iF₃進(jìn)行無量綱化后分析其沿樁截面徑向位置的變化情況.

不同樁徑（長徑比）情況下，K_r-R和K_i-R隨無量綱徑向位置F的變化規(guī)律如圖6所示.由圖6可見，K_r-R和K_i-R均為負(fù)值，結(jié)合式（58）和（59）的定義可知，樁中心處的動剛度和動阻尼值最大，且呈現(xiàn)由樁中心向樁邊緣減小的趨勢.此外，隨著樁徑的增大（樁長徑比減?。?，樁邊緣處與樁中心處動力阻抗值的差距增大，也就是說大直徑樁動力阻抗的徑向不均勻性更為明顯，因此，本文提出的三維樁身模型對于大直徑樁縱向振動問題適用性更好.

3.2.2三維虛土樁參數(shù)的影響

三維虛土樁樁長對樁頂動力阻抗的影響如圖7 所示.為進(jìn)一步對比分析本文提出的三維虛土樁與已有一維虛土樁模型的差異，圖7同時給出了樁頂動力阻抗隨一維虛土樁長度的變化情況，圖中H^1DFP即為一維虛土樁的樁長.由圖可見，三維虛土樁模型與一維虛土樁模型計(jì)算結(jié)果差異性主要體現(xiàn)在以下兩個方面：

1）基于三維虛土樁模型計(jì)算所得樁頂動力阻抗振動幅值和頻率均較一維虛土樁模型小；

2）三維虛土樁樁長對動力阻抗的振幅和頻率均有較明顯影響，具體而言三維虛土樁樁長的增加會使得樁頂動力阻抗振幅和頻率減小，不同地，一維虛土樁樁長對樁頂動力阻抗的影響則可忽略.

引起這兩種模型計(jì)算結(jié)果呈現(xiàn)上述差異性的原因可歸結(jié)為：一維虛土樁模型將實(shí)體樁和虛土樁簡化為Euler-Bernoulli桿，僅考慮樁身縱向波動效應(yīng)的影響，而三維虛土樁模型中實(shí)體樁和虛土樁控制方程均基于三維連續(xù)介質(zhì)理論建立，可同時考慮實(shí)體樁和樁底土層的縱向和徑向波動效應(yīng).

結(jié)合現(xiàn)象與原因不難發(fā)現(xiàn)，實(shí)體樁樁身徑向波動效應(yīng)會使得樁頂動力阻抗振動幅值和頻率減小，也就是說對于大直徑樁采用一維桿模型計(jì)算其縱向動力阻抗會過高地估計(jì)共振幅值和頻率，這對于大直徑樁的抗振防振設(shè)計(jì)是不利的.此外，虛土樁的徑向波動效應(yīng)同樣會引起樁頂動力阻抗振幅和頻率的減小，且此種減小效應(yīng)隨著虛土樁樁長的增加而更加明顯.

三維虛土樁（即樁底土層）剪切模量對樁頂動力阻抗的影響如圖8所示.由圖可見，三維虛土樁剪切

4結(jié)論

本文基于三維黏彈性連續(xù)介質(zhì)理論，將樁底一維虛土樁模型拓展到三維情況，建立了一種可同時考慮樁身和樁底土徑向波動效應(yīng)的三維虛土樁模型，并推導(dǎo)得出大直徑浮承樁樁頂動力阻抗解析解，進(jìn)而分析了樁頂徑向位置及三維虛土樁參數(shù)對樁頂動力阻抗的影響情況，計(jì)算分析結(jié)果表明：

1）大直徑樁頂動剛度和動阻尼呈現(xiàn)由樁中心向樁邊緣減小的趨勢，且樁長徑比越小樁頂動力阻抗的徑向不均勻性越明顯.

2）實(shí)體樁樁身徑向波動效應(yīng)會使得樁頂動力阻抗振動幅值和頻率減小，對于大直徑樁采用一維桿模型計(jì)算其縱向動力阻抗會過高地估計(jì)共振幅值和頻率，不利于大直徑樁的抗振防振設(shè)計(jì).

3）虛土樁的徑向波動效應(yīng)使得樁頂動力阻抗振幅和頻率減小，且此種減小效應(yīng)隨著虛土樁樁長的增加而更加明顯.

4）三維虛土樁模型不僅對于大直徑浮承樁縱向振動問題具有更好的適用性，而且可以通過調(diào)整虛土樁參數(shù)將其應(yīng)用于端承樁動力特性分析中.

本文所得解析解可通過MATLAB實(shí)現(xiàn)公式簡化計(jì)算，進(jìn)一步結(jié)合其中的GUI控件可建立簡單、易用的人機(jī)交互界面，以便實(shí)際工程中樁基動力設(shè)計(jì)和現(xiàn)場完整性檢測的應(yīng)用.

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