吳高橋 聶建國

摘要：基于隨機場理論和Karhunen-Loeve展開構造隨機場以模擬具有空間變異性的地層，并結合有限元極限分析法和蒙特卡洛模擬對含溶洞地層上的基礎開展可靠度分析.本文重點是通過大量數(shù)值模擬進行全面參數(shù)分析，探究地層中溶洞特征（如溶洞埋深、溶洞水平偏移距離）以及土體空間變異性參數(shù)（如土體相關長度、土體變異系數(shù)）對基礎極限承載力以及失效概率的影響；進而結合可視化溶洞-基礎體系破壞模式深入揭示巖溶區(qū)基礎失效概率變化機理；最后將有限元極限分析結果與已有研究進行對比，驗證了數(shù)值模型的準確性及研究結論的可靠性.結果表明體系破壞線發(fā)散度越大，則基礎在受荷破壞時可能發(fā)展出的破壞路徑越多，從而導致失效概率提高；此外，下伏溶洞距基礎越遠或土體空間變異性越強則基礎失效概率越高，且失效概率將隨所選取安全系數(shù)的增加而大幅降低，在前期設計中若采用本文方法進行可靠度分析，為確保安全性，安全系數(shù)應盡量大于2并采用下限理論進行分析.

關鍵詞：基礎工程；溶洞；有限元極限分析；隨機場理論；隨機分析

中圖分類號：U416.161文獻標志碼：A

Reliability Analysis of Footings Lying on Karst Area Considering Spatially Variability of Stratum

WU Gaoqiao，NIE Jianguo

（Department of Civil Engineering，Tsinghua University，Beijing 100084，China）

Abstract：This study simulates the soils with spatial variability by random field theory and Karhunen-Loeve expansion. Reliability analysis of strip footing lying on karst area is carried out based on finite element limit analysis and Monte Carlo simulation. The emphasis of this study is performing the parametric analysis through finite element modeling，in order to explore the effect of karst cave parameters （including depth and horizontal offset distance of karst caves）and spatial variability parameters（including correlation length and coefficient of variation）on the ultimate bearing capacity and failure probability of footings. Then，combined with the visualization of failure patterns of cave-footing system，the variation mechanism of footing failure probability is revealed. Finally，the finite element analysis results are compared with the existing research results to verify the accuracy of the numerical model and the reliability of the research conclusions. The results indicate that the higher the disperse degree of failure curve is，the more failure paths may develop under external loads，which leads to a higher failure probability of the footing. Fur- thermore，the footing failure probability increases with the increase of distance between the karst cave and the footing. The higher spatially variability of soils also leads to a higher failure probability of the footing. And the failure probability decreases significantly with the increasing factor of safety. If the method proposed in this paper is used for reliability analysis in the advanced design，the safety factor should be larger than 2 as far as possible and the lower limit theory should be used for analysis，in order to guarantee the safety.

Key words：foundation engineering；Karst cave；finite element limit analysis；random field theory；stochastic analysis

我國喀斯特地貌占地約344萬平方千米，廣泛分布于我國西部地區(qū).隨著近年城市化進程加速，土地緊缺問題日益嚴重，因此越來越多建筑將無可避免地選址在巖溶發(fā)育地區(qū).然而近年來，因地層中空洞失穩(wěn)引起的上部構筑物沉降和傾斜等災害時有發(fā)生，據(jù)2020年中央級媒體、部委網(wǎng)站、公開出版物、中央重點新聞網(wǎng)站及地方重點報網(wǎng)等報道的數(shù)據(jù)，2020年地下空洞相關災害與事故共237起，數(shù)量與2019年持平[1]，造成巨大的人員傷亡和經(jīng)濟損失.因此，對含溶洞地層上基礎的可靠性進行分析，將有利于上部構筑物的安全性，并為上部施工提供指導，具備重要理論意義和實際工程價值.

國內外有眾多學者通過理論分析、模型試驗和數(shù)值模擬等手段針對空洞-基礎體系穩(wěn)定性開展研究.在理論分析方面，Wang和Hsieh[2]基于傳統(tǒng)上限分析法研究了圓形空洞正上方條形基礎的穩(wěn)定性問題，提出基礎穩(wěn)定性理論計算框架和基礎極限承載力計算公式，并總結3種典型破壞模式.隨后Wang等[3]繼續(xù)研究了空洞與條形基礎水平距離對體系破壞模式的影響，將典型破壞模式擴展至10種，并歸納了不同破壞模式之間的演化規(guī)律.劉輝等[4]通過極限分析上限法合理構造速度場，進而通過剪切耗散和基礎功率的關系推出溶洞上方條形基礎的極限承載力計算方法，并詳細分析了不同參數(shù)對體系破壞模式的影響.趙明華等[5]考慮自然溶洞形成過程中溶洞頂板的空間形態(tài)特征，采用結構力學分析理論建立了溶洞頂板最小抗彎厚度的計算公式，并揭示了該厚度隨空洞跨度、地層物理力學性質以及基礎所受荷載改變而變化的規(guī)律.在模型試驗方面，Wood等[6]和Al-Tabbaa等[7]基于模型試驗分析了下伏空洞對上部淺基礎承載力的削弱作用.Kiyosumi等[8]研究了溶洞-基礎體系的穩(wěn)定性問題，通過對基礎失去承載能力后溶洞周邊巖體的破壞情況，總結了多溶洞工況下，不同排布位置的溶洞對上部基礎極限承載力的影響.劉鐵雄等[9]和王革立[10]將溶洞上方地層視為梁板，通過一系列試驗分析了溶洞跨徑、溶洞上覆巖土體厚度等對基礎穩(wěn)定性的影響.趙明華等[11]通過模型試驗，研究了上部基礎荷載作用下的巖溶頂板的承載機理，對諸如頂板厚跨比、地層力學性能等參數(shù)開展了參數(shù)分析，并總結了溶洞安全埋深的計算公式.

上述研究使研究工程人員對空洞-基礎穩(wěn)定性問題有了更深入的認知，但使用理論分析時，通常要事先對問題進行一定假設以降低求解難度，因此僅能分析相對簡單的問題.而模型試驗受限于時間成本和經(jīng)濟成本，無法開展大規(guī)模研究以進行參數(shù)分析.隨著計算機算力的發(fā)展，數(shù)值模擬成為了一種被廣泛使用的巖土工程分析方法.Baus和Wang[12]在1983年采用有限元法（finite element method，F(xiàn)EM）研究了粉質黏土中空洞上方條形基礎的穩(wěn)定性問題，并總結出能夠反映空洞尺寸、空洞位置及條形基礎埋深對基礎極限承載力影響的設計圖.Badie和Wang[13]采用三維有限元程序對基礎-空洞體系穩(wěn)定性進行分析，結果表明基礎下方存在某臨界區(qū)域，只有當下伏空洞處于該區(qū)域范圍內時空洞才會對基礎造成顯著影響，且該臨界區(qū)域的范圍取決于土體物理力學性質以及空洞大小和位置.Jao等[14]使用有限元法研究了條形基礎荷載作用下的有襯砌隧道穩(wěn)定性問題，對不同地層類型、隧道大小、隧道位置以及襯砌厚度的影響進行了詳細探討.孫映霞等[15]采用有限差分法（finite difference method，F(xiàn)DM）研究下伏空洞埋深以及距基礎距離對體系失穩(wěn)機理的影響. 隨后在其基礎上，Kiyosumi等[16]使用有限元軟件PLAXIS率先對多空洞上方條形基礎的極限承載力進行研究，分析了不同位置空洞對基礎造成影響強弱的關系，結果表明靠近基礎的空洞對基礎承載力造成的影響遠大于較遠處空洞.基于Kiyosumi的研究，Lavasan等[17]分析了位于兩個平行圓形空洞上方的條形基礎的極限承載力，深入研究了空洞的破壞機理并歸納了數(shù)種典型破壞模式.隨后Zhou等[18]和Lee等[19]分別采用局部不連續(xù)優(yōu)化法（discontinuity layout optimization，DLO）和有限元法分析了下伏雙空洞對條形基礎穩(wěn)定性的影響.

上述研究基本全部假設空洞所處地層為均勻材質，然而現(xiàn)實中地層往往具有一定的空間變異性，這將導致基礎承載機理發(fā)生改變，進而增加基礎承載力的不確定性，因此有必要在基礎穩(wěn)定性分析中充分考慮土體空間變異性的影響.鑒于此，本研究結合隨機場理論和Karhunen-Loeve展開構造實現(xiàn)隨機場土體強度的隨機分布，進而通過有限元極限分析和蒙特卡洛模擬（Monte Carlo simulation）對含溶洞地層上基礎進行可靠度分析，著重分析下伏溶洞位置及土體空間變異程度對基礎穩(wěn)定性及失效概率的影響，以期為工程設計提供參考，并進一步確保巖溶區(qū)基礎的安全性.

1問題描述

1.1基本假定

圖1為待研究問題的平面模型示意圖，問題關鍵影響因素已標示于圖中.具體為：地表存在寬度為D的條形基礎，在其中心位置施加有豎直集中荷載q_u.基礎下方地層存在邊長為D的正方形溶洞，溶洞中心到地表及基礎中垂線的垂直距離分別為H和S.空洞周圍的土體遵循特雷斯卡屈服準則（Tresca yield criterion）且存在一定空間變異性，其重度γ=20 kN/m³，平均剪切強度s_u=40 kPa.

1.2數(shù)值模型建立

為了盡量規(guī)避邊界效應，需要建立尺寸足夠大的數(shù)值模型，以保證在所有工況中塑性破壞區(qū)不會延伸至模型的側面邊界以及下邊界.經(jīng)測試，當模型尺寸寬度為30D、高度為15D時既可滿足上述要求，也能保證較高的運算效率.此外，基于已有研究[19-21]，本文在模型底部邊界設置完全約束，左右兩側邊界設置水平約束，在地表邊界則不設置約束.由于本文擬采用蒙特卡洛法分析基礎失效概率，所以對每組工況均需開展上千次模擬以獲得準確結果，這將耗費大量時間.因此為了盡可能提高分析效率和精度，采用網(wǎng)格自適應迭代技術基于分析域內能量耗散情況對網(wǎng)格進行重分布優(yōu)化.針對本文數(shù)值模型，將網(wǎng)格初始數(shù)量和最終數(shù)量分別設置為1 000 和10 000，自適應迭代次數(shù)設為3次，經(jīng)過重分布優(yōu)化后的效果圖如圖2所示.

1.3隨機場實現(xiàn)

本文假定地層土體遵循Tresca屈服準則，其中對基礎穩(wěn)定性影響最大的參數(shù)為不排水剪切強度s_u，因此在本文的隨機分析中主要考慮土體剪切強度的空間變異性.為實現(xiàn)土體空間變異性，將土體不排水剪切強度在分析域內模擬為對數(shù)正態(tài)分布，其具體表達式為：

剪切強度的均值和標準差可以通過一種能簡潔描述隨機場土壤固有變異性的無量綱變異系數(shù)（coefficient of variation，COV）表示.該參數(shù)能夠幫助設計者對土體中固有變異性的可能范圍進行評估[22]，具體表達式為：

上述表達式中的對數(shù)正態(tài)分布參數(shù)可表示

如下：

對式（3）和式（4）進行轉換可得：

則對數(shù)正態(tài)分布的累積分布函數(shù)（cumulativedistribution function，CDF）可表示為：

式中：erfc為互補誤差函數(shù).需要注意的是，CDF是隨機分析中概率密度函數(shù)（probability density function，PDF）的積分形式.

除了上述對數(shù)正態(tài)分布參數(shù)，還有兩個重要參數(shù)在隨機場理論中至關重要，即用于描述空間變異性土體不同方向波動程度的水平相關長度（CL_x）以及垂直相關長度（CL_y）.相關長度被定義為土體中一臨界距離，若土體中任意兩點間距離小于該距離，則兩點的剪切強度趨于密切相關，且相關長度越大則隨機場中剪切強度的過渡越平滑；相反，相關長度越小則土體中各點剪切強度的關聯(lián)性越弱，隨機場趨于參差.由其定義可知當相關長度趨于無窮大時，分析域可視為均勻土體；而當其趨于0時，隨機場中各點之間無任何關聯(lián).為了更直觀地反映相關長度與隨機場平滑度的關系，將水平、豎直相關長度不同的土體剪切強度分布模擬情況列于圖3.對比圖3（a）和圖3（b）可以看出，當豎直相關長度較大時，土體剪切強度在豎直方向過渡較均勻；而當水平相關長度較大時，則土體剪切強度在水平方向過渡較均勻.由圖3（c）可知若各向相關長度均較小，土體的剪切強度分布較離散且無規(guī)律.Phoon和Kulhawy[22]經(jīng)過大量調研總結出土體在水平方向的隨機性通常較弱，CL_x范圍在46 m到60 m之間；而土體在豎直方向的隨機性通常較強，CL_y的范圍在0.8 m到6.1m之間.基于上述結論，本文中的CL_x固定為50 m，僅考慮CL_y，對基礎穩(wěn)定性的影響.為了方便表述，對相關長度進行無量綱化處理如下：

Θ_x=CL_x/D（8）

Θ=CL_y/D（9）

本研究選擇通過能夠提供指數(shù)協(xié)方差函數(shù)解析解的Karhunen-Loeve展開式生成隨機場.由于該展開式的項數(shù)將隨著隨機場相關長度的減小而大幅增加[23]，因此為了保證隨機分析結果的可靠度，將展開項數(shù)設置為1 000.此外，本研究采用蒙特卡洛模擬分析基礎失效概率，若模擬次數(shù)不足，將嚴重影響所得結果的準確性，因此在后續(xù)隨機分析中各工況模擬次數(shù)均設為500次.

2確定分析

通過隨機分析研究基礎失效概率問題的原理是先不考慮土體空間變異性，對各工況進行傳統(tǒng)確定分析（deterministic analysis）；隨后再通過多次模擬隨機場并總結小于經(jīng)安全系數(shù)換算過的確定性分析基礎承載力的次數(shù)，進而得出基礎失效概率.則失效概率的表達式為：

p_f=p（N_ram≤N_det/FS）（10）

式中：p_f為基礎失效概率，在本文中具體定義為500次蒙特卡洛模擬所得極限承載力中小于確定性承載力N_det與安全系數(shù)比值的比例；FS為設計中選取的安全系數(shù)（factor of safety），一般來說安全系數(shù)越大，則設計越保守；N_ram為每次蒙特卡洛模擬所得基礎極限承載力因子；N_det為確定分析中的基礎極限承載力因子，其具體定義為：

式中：q_u為基礎極限承載力；s_u為土體剪切強度.

基礎極限承載力與下伏空洞所處位置密切相關，參照已有研究，在本節(jié)中對H/D=1、2、3、4以及S/D=0、0.5、1、2、3、4對應的工況進行確定分析，所得結果為上限解及下限解的平均值，基礎極限承載力因子總結于圖4以及表1.由圖4可知基礎極限承載力將隨著S/D以及H/D的增加而提升，這是因為下伏溶洞離基礎越遠，則其對基礎造成的負面影響越弱. 同時，H/D越大則對應的承載力曲線越平緩，這說明溶洞埋深越大則水平位置的改變對基礎的影響越弱.此外，圖4中有多個工況基礎極限承載力因子集中在5.20附近，該現(xiàn)象說明此時溶洞由于距離過遠不再對基礎產生影響.

3隨機分析

本節(jié)將基于確定性分析結果開展隨機分析，以期全面探究空洞埋深、空洞水平偏移距離以及土體豎直相關長度對基礎平均承載力因子以及失效概率的影響.其中基礎平均承載力因子為每個工況500 次蒙特卡洛模擬所得極限承載力因子的平均值.由于隨機分析中每個工況均需構造500個不同的隨機場并計算相應的基礎極限承載力，導致運算量巨大，因此對所有影響因素進行排列組合再開展全面分析是不現(xiàn)實的.鑒于此，本文參考正交試驗設計原理，在探究某些參數(shù)的影響時固定其他參數(shù)，以達到減少運算量且不影響所得規(guī)律的目的.本文隨機分析所考慮工況的具體參數(shù)見表2.

3.1空洞埋深的影響

為了探究空洞埋深對基礎穩(wěn)定性的影響，對S/D=0，Θ_y=1以及H/D=1，2，3，4對應工況開展蒙特卡洛模擬，所得基礎平均極限承載力因子和失效概率分別總結于圖5和圖6.由圖5可以看出隨機分析所得的平均承載力因子變化趨勢基本和確定分析一致，但由于土體存在空間變異性，導致蒙特卡洛模擬所得的大部分基礎極限承載力因子小于確定分析，所以平均承載力因子會小于確定分析所得結果.

圖6為各工況通過上、下限分析所得的基礎失效概率.可以看到對幾乎所有工況而言，基礎失效概率都隨空洞埋深的增加而增加，該結論似乎與實際情況不符，因為通常認為下伏溶洞距離基礎越遠則其對基礎承載能力造成的負面影響越小.實際上確如圖5所示，基礎的極限承載力因子隨著H/D的增加而單調增加.但本文中的失效概率是指采用確定分析所得基礎極限承載力進行設計時，由土體空間變異性引起失穩(wěn)的概率，與基礎極限承載力的絕對大小無必然聯(lián)系.值得一提的是，在實際工程設計中一般會通過增加安全系數(shù)的方式以保證安全性，因此有必要在失效概率分析中考慮安全系數(shù)的影響.由圖6可以看出隨著安全系數(shù)的增加，基礎失效概率顯著下降，當安全系數(shù)為2時基礎的失效概率將趨于0，同時由曲線上升幅度可知安全系數(shù)越小則空洞埋深對基礎失效概率的影響越顯著.此外，通過對比上、下限分析對應的失效概率，可以看出使用上限分析進行蒙特卡洛模擬時所得基礎失效概率較低.為了進一步探究基礎失效概率變化機理，將某次蒙特卡洛模擬所得溶洞-基礎體系破壞模式總結于圖7，可以看出當空洞埋深較淺時，破壞線較集中，說明體系的破壞模式較單一.而隨著溶洞埋深的增加，主破壞線逐漸向周圍發(fā)散且發(fā)散程度越來越明顯，而這些較為發(fā)散的破壞線可能導致土體中失穩(wěn)路徑（failure path）增加，進而引起破壞模式的復雜化并導致失效概率的增加.

3.2空洞水平偏移距離的影響

為了探究空洞水平偏移距離的影響，將H/D=2，Θ_y=1以及S/D=0.5，1，2，3，4工況對應的平均承載力因子和基礎失效概率總結于圖8和圖9.由圖8可以看出隨機分析所得的平均承載力因子變化趨勢與確定分析基本一致，這與圖5所展示的規(guī)律基本一致. 由此可以認為只要蒙特卡洛模擬次數(shù)達到一定數(shù)量，那么土體空間變異性幾乎不會對隨機分析中的平均承載力因子變化趨勢造成影響.

從圖9可看出除FS=1的下限分析以及FS=1.5的上限分析在S/D=0時失效概率略高于S/D=0.5，其余工況的基礎失效概率隨溶洞水平偏移距離的增加而增加.圖10為各工況對應的體系破壞模式，可以看出當溶洞水平偏移距離較小時，破壞主要集中在洞頂，且破壞線較細.隨著空洞偏移距離的持續(xù)增加，破壞模式逐漸變?yōu)槎错?洞側聯(lián)合破壞，且溶洞頂部將受到來自其正上方土體的擠壓.此外可以看到S/D=0和S/D=0.5時破壞線離散度較低，因此其所對應的失效概率接近.而隨著溶洞水平偏移距離的增加，破壞線發(fā)散程度加劇進而導致基礎受荷時土體中可能發(fā)展出的失穩(wěn)路徑增多，引起失效概率的增加，這與圖9所展示的規(guī)律相吻合.結合3.1與3.2節(jié)的研究，可以認為對大部分工況而言，除了溶洞水平偏移距離極小的工況，下伏溶洞與基礎的間距（包括埋深及水平偏移距離）越大，則對應的基礎失效概率越高.此外結合圖6和圖9可知采用極限分析下限法進行隨機分析時，所得基礎失效概率相對于上限法明顯偏高，而承載力偏低，亦即采用下限法進行施工設計時總體偏于保守.

3.3土體空間變異性參數(shù)的影響

為了探究土體空間變異性參數(shù)對基礎穩(wěn)定性的影響，在本節(jié)對H/D=2、S/D=1時不同Θ_y和COV對應的基礎平均承載力因子和失效概率進行分析.由圖11可知基礎平均承載力因子隨豎直相關長度的增加而單調遞增，這是因為土體強度相關性越高則地層中剪切強度的過渡更平滑，從而使得由于土體強度分布不均導致的極低承載力工況數(shù)量減少.且承載力增強速度將逐漸平緩，當Θ_y=4時平均承載力因子已與確定性分析所得結果（圖中水平虛線所示）相差無幾，這說明此時土體空間變異性的影響較弱，已趨近于均質土.此外，COV越大則平均承載力越低，這是因為土體變異系數(shù)越大則土體空間變異性越強，這將導致蒙特卡洛模擬中低承載力工況數(shù)量的增多，進而引起平均承載力因子的下降.

圖12為Θ_y和COV對基礎失效概率的影響.可以看到失效概率隨Θ_y的增加而單調遞減，且當Θ_y很小時，失效概率相對很高，此時Θ_y只需略作提高則基礎失效概率將大幅降低，而隨著Θ_y的進一步增加，失效概率的降低速度減緩.結合上文所得結論，可知空間變異性較強時，空間變異性參數(shù)對基礎承載力以及失效概率的影響較顯著，而當空間變異性較弱時，空間變異性參數(shù)的改變僅對基礎產生微弱影響.

圖13為不同Θ_y和COV對應的破壞模式圖.對比圖13（a）（c）（e）（g）和圖13（b）（d）（f）（h）可以看到當Θ_y較小時，破壞線的離散度很高，因此所對應的基礎失效概率很高；而當Θ_y從2增加到4時，體系破壞模式及破壞線幾乎沒有變化，說明此時基礎失效概率趨于穩(wěn)定，與圖12所示規(guī)律相吻合.而對比COV=25%（左側縱列）和COV=60%（右側縱列）對應的破壞模式，可以看出COV=60%對應的地層空間變異性強度明顯高于COV=25%時.以圖13（b）為例，在基礎和溶洞間的主要破壞線之外還發(fā)育有多條破壞路徑，這將導致基礎失效概率劇增及承載力下降，因此COV越大則基礎失效概率越高，平均承載力因子越低，與圖11和圖12所示規(guī)律一致.

4模型驗證

為了驗證有限元極限分析模型的可靠性，將本文確定分析的結果與已有有限元法"9]和不連續(xù)局部優(yōu)化法結果118]進行對比，如圖14所示.通過對比可以發(fā)現(xiàn)本文上限分析結果略高于已有研究結果，下限分析結果則略低于已有研究結果，但總體變化趨勢基本吻合，且最大誤差小于5%.此外，有限元極限分析的真值是介于上、下限分析結果之間的，因此可以認為本文數(shù)值模型所得結果是準確可靠的.

5結論

本文通過隨機場理論和Karhunen-Loeve展開的方式構建隨機場，對巖溶發(fā)育地層上基礎開展了一系列隨機分析.采用有限元極限分析法以及蒙特卡洛模擬全面探究了溶洞埋深、溶洞水平偏移距離、土體相關長度以及土體變異系數(shù)對基礎穩(wěn)定性以及失效概率的影響，并結合可視化體系破壞模式深入分析基礎失效概率變化機理.本研究所得結論如下：

1）在隨機分析中，若蒙特卡洛模擬樣本數(shù)足夠，則隨機分析所得基礎承載力變化趨勢與確定分析所得趨勢幾乎一致；

2）基礎的承載力將隨溶洞埋深、溶洞偏移距離、土體相關長度的增大以及土體變異系數(shù)的減小而提升，且上述參數(shù)較小時對基礎的影響更顯著；

3）溶洞與基礎的間距越遠，則基礎的失效概率越高.且基礎的失效概率隨土體相關長度的增大而降低、隨土體變異系數(shù)的增大而升高；

4）在施工設計時采用極限分析下限法對基礎穩(wěn)定性進行隨機分析時將偏于保守，所得基礎失效概率偏高且極限承載力偏低，且基礎失效概率將隨所取安全系數(shù)的增加而大幅降低；

5）破壞模式中離散度較高的破壞線將導致基礎受荷后可能發(fā)生破壞的失穩(wěn)路徑增多，從而導致更高的失效概率.

參考文獻

[1]中國工程院戰(zhàn)略咨詢中心，中國巖石力學與工程學會地下空間分會，中國城市規(guī)劃學會.2021中國城市地下空間發(fā)展藍皮書[R].上海，2021：12.

Strategic Consulting Center of Chinese Academy of Engineering，Underground Space Branch of Chinese Society of Rock Mechanics，and Engineering，Urban Planning Society of China. 2021 Blue book of urban underground space development in China[R]. Shanghai，2021：12.（In Chinese）

[2]WANG M C，HSIEH C W. Collapse load of strip footing above circular void[J]. Journal of Geotechnical Engineering，1987，113 （5）：511-515.

[3]WANG M C，KIM Y U，JUN J T. Cavity effect on collapse load of strip footings [C]//Proceedings of the International Conference on Soil Mechanics and Geotechnical Engineering. Lisse，The Netherlands Exton，PA：AA Balkema Publishers，2001：317-320.

[4]劉輝，楊峰，陽軍生.空洞上方淺基礎地基破壞模式與極限承載力分析[J].巖土力學，2010，31（11）：3373-3378.

LIU H，YANG F，YANG J S. Failure mechanism and ultimate bearing capacity of strip footing above void[J]. Rock and Soil Mechanics，2010，31（11）：3373-3378.（In Chinese）

[5]趙明華，盧曉明，張銳.下伏空洞地基極限承載力與破壞模式上限有限元法[J].巖土力學，2017，38（1）：229-236.

ZHAO M H，LU X M，ZHANG R. Upper bound finite element method for ultimate bearing capacity and failure mechanism of subgrade above void [J]. Rock and Soil Mechanics，2017，38（1）：229-236.（In Chinese）

[6]WOOD L A，LARNACH W J. The behavior of footings located above voids[C]// Proc 11th Int Conf Soil Mech Found Eng. San Francisco：AA Balkema，1985：273-276.

[7]AL-TABBAA A，RUSSELL L，O，REILLY M. Model tests of footings above shallow cavities [J]. Ground Engineering，1989，22 （7）：39-42.

[8]KIYOSUMI M，KUSAKABE O，OHUCHI M. Model tests and analyses of bearing capacity of strip footing on stiff ground with voids[J]. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering，2011，137（4）：363-375.

[9]劉鐵雄，彭振斌，安偉剛，等.巖溶地區(qū)樁基特性物理模擬[J].中南工業(yè)大學學報（自然科學版），2002，33（4）：339-343.

LIU T X，PENG Z B，AN W G，et al. Simulated research of pile foundation character in the Karst area[J]. Journal of Central South University of Technology（Natural Science），2002，33（4）：339-343.（In Chinese）

[10]王革立.巖溶地基嵌巖樁樁基特性分析與試驗研究[D].長沙：中南大學，2002.

WANG G L. The characteristic analysis and model test of socketed pile on karst area[D]. Changsha：Central South University，2002. （In Chinese）

[11]趙明華，吳高橋，肖堯，等.不同厚度溶洞頂板與基樁作用機理室內模型試驗研究[J].水文地質工程地質，2017，44（6）：29-36.

ZHAO M H，WU G Q，XIAO Y，et al. Laboratory model tests on punching properties of karst cave roof under pile tip considering various thickness-span ratios[J]. Hydrogeology and Engineering Geology，2017，44（6）：29-36.（In Chinese）

[12]BAUS R L，WANG M C. Bearing capacity of strip footing above void[J]. Journal of Geotechnical Engineering，1983，109（1）：1-14.

[13]BADIE A，WANG M C. Stability of spread footing above void in clay[J]. Journal of Geotechnical Engineering，1984，110（11）：1591-1605.

[14]JAO M，WANG M C. Stability of strip footings above concrete- lined soft ground tunnels[J]. Tunnelling and Underground Space Technology，1998，13（4）：427-434.

[15]孫映霞，張智浩，張慧樂.巖溶區(qū)樁基穩(wěn)定性影響參數(shù)敏感性分析[J].地下空間與工程學報，2013，9（2）：297-303.

SUN Y X，ZHANG Z H，ZHANG H L.Analysis on parameter sensitivity of pile foundations stability in Karst areas based on the theory of grey relation[J]. Chinese Journal of Underground Space and Engineering，2013，9（2）：297-303.（In Chinese）

[16]KIYOSUMI M，KUSAKABE O，OHUCHI M，et al.Yielding pressure of spread footing above multiple voids[J]. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering，2007，133（12）：1522- 1531.

[17]LAVASAN A A，TALSAZ A，GHAZAVI M，et al. Behavior of shallow strip footing on twin voids[J]. Geotechnical and Geological Engineering，2016，34（6）：1791-1805.

[18]ZHOU H Z，ZHENG G，HE X P，et al.Bearing capacity of strip footings on c-φsoils with square voids [J]. Acta Geotechnica，2018，13（3）：747-755.

[19]LEE J K，JEONG S，KO J. Undrained stability of surface strip footings above voids[J]. Computers and Geotechnics，2014，62：128-135.

[20]WU G Q，ZHAO M H，ZHAO H，et al.Effect of eccentric load on the undrained bearing capacity of strip footings above voids[J]. International Journal of Geomechanics，2020，20（7）：04020078.

[21]WU G Q，ZHAO M H，ZHANG R，et al.Ultimate bearing capacity of eccentrically loaded strip footings above voids in rock masses [J]. Computers and Geotechnics，2020，128：103819.

[22]PHOON K K，KULHAWY F H. Characterization of geotechnical variability[J]. Canadian Geotechnical Journal，1999，36（4）：612-624.

[23]ALI A，LYAMIN A V，HUANG J S，et al.Undrained stability of a single circular tunnel in spatially variable soil subjected to surcharge loading[J]. Computers and Geotechnics，2017，84：16-27.