柴澤禮

(甘肅省永昌縣第一高級(jí)中學(xué)，甘肅金昌，737200)

比較大小問(wèn)題在高考中一直占有一席之地，我們都是通常利用對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)進(jìn)行大小比較.但對(duì)于指數(shù)、真數(shù)、底數(shù)不同的情況混合在一起進(jìn)行比較大小時(shí)，由于形式各異，而且不能具體計(jì)算出該式子的值，也不能直接利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較，這就成了很多同學(xué)無(wú)法逾越的“障礙”，所以只能通過(guò)亂猜、靠運(yùn)氣.[1]現(xiàn)就對(duì)此類問(wèn)題進(jìn)行分類舉例，對(duì)常用的方法和技巧進(jìn)行歸納總結(jié)，以饗讀者.

1 通過(guò)公式化為同底或同指

A．b

(2) (2013年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ8)設(shè)a=log36,b=log510,c=log714則( )

A．c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c

解析給出的a、b、c的“型”一樣，故只需進(jìn)行等價(jià)變形，化為同底、同指、同真即可.

(2)a、b、c的底、真都不同，但三個(gè)式子的真數(shù)都可以分解成含底數(shù)的兩個(gè)因數(shù)的乘積形式，所以可以用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則與換底公式化為同底的形式，進(jìn)而利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行大小比較.即

2 借助“中間量”或確定大致范圍

如果給出的式子既有指數(shù)式又有對(duì)數(shù)式，直接無(wú)法比較其大小，更無(wú)法相互進(jìn)行轉(zhuǎn)化為同底或同指或同真的形式，則借助“中間量”分別與要比較的數(shù)進(jìn)行比較，從而可間接地比較出要比較的數(shù)的大小.而對(duì)指對(duì)數(shù)式而言，優(yōu)先選取的“中間量”通常為0和1，這在兵法上可稱為“分割包圍，各個(gè)擊破”.有時(shí)候0、1會(huì)“失效”，這時(shí)就要看給定的式子中是否有定值，若有則可選此定值為“中間量”，若無(wú)則需根據(jù)所給式子的范圍進(jìn)行估計(jì).如log23，可知1=log22

A．a(chǎn)

A．a(chǎn)

解析給出的a、b、c的“型”不一樣，則需先對(duì)同“型”的進(jìn)行比較，再取“中間量”與其進(jìn)行比較.

3 利用函數(shù)的圖象

如果不是直接給出幾個(gè)具體式子的大小比較，而是以方程根的形式給出，若可以求解該方程的根，則只需求解出根用方法一、二比較即可，如2a=6可得a=log26.若該方程是以“超越方程”的形式出現(xiàn)，則無(wú)法求解出根，直接比較很困難.此時(shí)常常要將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)大小問(wèn)題，再借助圖象進(jìn)行求解.

A．c

4 構(gòu)造函數(shù)

如果給出的是結(jié)構(gòu)相似或相同的式子或不等式的大小比較，看似無(wú)“型”，實(shí)則有“型”.通?？梢钥紤]通過(guò)變形得到同“型”不同“量”的幾個(gè)式子，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較.

典例4(1) (2020·全國(guó)Ⅱ卷)若2x-2y<3-x-3-y，則( )

A． ln(y-x+1)>0 B. ln(y-x+1)<0

C. ln |x-y|>0 D. ln |x-y|<0

(2) (2021·武漢市質(zhì)量監(jiān)測(cè))已知a=4ln3π，b=3ln4π，c=4lnπ3則a、b、c的大小關(guān)系是( )

A．c

指、對(duì)、冪函數(shù)值比較大小的試題是高考中的常見(jiàn)題型,此類試題雖然題目簡(jiǎn)短但內(nèi)涵豐富,不僅考查指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),冪函數(shù)的運(yùn)算,性質(zhì),圖象等內(nèi)容,還可以綜合考查導(dǎo)數(shù)和不等式等知識(shí).[2]而此類問(wèn)題處理的核心就是“求同存異”，將幾個(gè)數(shù)(式)變形為具備某相同的部分，從而轉(zhuǎn)化比較的對(duì)象，使它們同“型”，將“無(wú)法比較”轉(zhuǎn)變?yōu)椤翱梢员容^”.