龐啟滿，張祖蘭

(南寧市第三中學(xué)，廣西南寧，530021)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出，最值是函數(shù)內(nèi)容中重要的性質(zhì)之一，要求學(xué)生能用符號(hào)語言表征函數(shù)的最值，并理解函數(shù)最值在實(shí)際生產(chǎn)與生活中的作用與實(shí)際意義[1].與此同時(shí)，最值也是高考的高頻考點(diǎn).三角函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)等高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容都可以聯(lián)合最值加以考察.要想解決最值問題，學(xué)生需要充分理解并且綜合地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化等多種思想方法.這些思想方法有助于鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維，也有利于培養(yǎng)學(xué)生形成問題解決的策略.掌握這些思想方法是學(xué)生形成核心素養(yǎng)的重要途徑.

在最值問題的教學(xué)中，教師們要以落實(shí)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，以避免迷失在偏題、怪題等的教學(xué)與訓(xùn)練中[2].因此，本文以解三角形為研究載體，研究此類問題的通法通解.

1 非對邊對角中的最值

例1若a,b,c為銳角三角形A,B,C的對邊，且sin2B+sin2C-sin2(B+C)=sinBsinC.

(1) 求角A；

(2) 若b=2，求△ABC面積的取值范圍.

解：(1) ∵B=π-(A+C)∴sin(B+C)=sinA；

方法一 余弦定理列方程

求邊長c的范圍，可以借助余弦定理表述出三角形的邊角條件，運(yùn)用方程與不等式的思想求解c的范圍.

由a2=b2+c2-2bc·cosA得，a2=c2-2c+4. ①

在解題后，不僅要檢驗(yàn)過程與結(jié)果，更要回頭體會(huì)方法一中的函數(shù)與方程思想.解法一是以運(yùn)動(dòng)與變化為出發(fā)點(diǎn)，在動(dòng)態(tài)中抓住不變量，通過分析將題目條件—銳角三角形轉(zhuǎn)化成不等量關(guān)系，并建立函數(shù)、方程與不等式，從而解決問題.解法二中也充分體現(xiàn)出這一思想方法，讀者要注意體會(huì).

方法二 正弦定理邊化角

由于三角形內(nèi)角有限制范圍，因此可以選擇運(yùn)用正弦定理將c邊轉(zhuǎn)化成角C的表達(dá)式，將問題轉(zhuǎn)化成在給定角度范圍內(nèi)三角函數(shù)的最值問題，從而再求解.

∵△ABC為銳角三角形，

在方法二中我們一起體會(huì)了轉(zhuǎn)化與化歸的魅力.數(shù)學(xué)教育家布盧姆曾說：轉(zhuǎn)化思想就是“把問題元素從一種形式向另一種形式轉(zhuǎn)化的能力”[3].當(dāng)解決問題受阻時(shí)，我們需要觀察問題的本質(zhì)，思考分析如何將所學(xué)知識(shí)與能力水平與待解決的問題建立聯(lián)系，將復(fù)雜的問題簡單化，將陌生的問題熟悉化，從而將問題轉(zhuǎn)化成較易求解的問題.在求解新問題后，翻譯并得到原問題的解答.

方法三 直觀想象探范圍

角C和邊b是固定不變的，因此我們借助圖形觀察點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的軌跡，以動(dòng)態(tài)的思維去找尋銳角的臨界位置.

當(dāng)點(diǎn)B在線段B1B2上從左往右運(yùn)動(dòng)時(shí)，S△ABC越來越大，

圖1

可以看到，直觀想象是借助數(shù)形結(jié)合進(jìn)行問題轉(zhuǎn)化的核心素養(yǎng).在解題中，以形助數(shù)，以數(shù)輔形，借助圖形直觀地呈現(xiàn)問題本質(zhì)，形象靜態(tài)地呈現(xiàn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律，從而達(dá)到優(yōu)化解題之效.

綜上可知，要想突破解三角形中的最值問題，需要學(xué)生深刻理解并且綜合地運(yùn)用正余弦定理進(jìn)行邊角表達(dá)與轉(zhuǎn)化.在上述三種解法中，學(xué)生不僅需要牢固地掌握正余弦定理，也深刻體會(huì)到轉(zhuǎn)化與劃歸、函數(shù)與方程思想，感受到數(shù)學(xué)知識(shí)之間的緊密聯(lián)系；邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng)得以鍛煉而提高，而這也正是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)》的要求.

掌握了正余弦定理，就可以解決簡單的三角形度量問題.而在三角形中，除了面積外，邊長、周長以及特殊的線段范圍都是常見的最值問題.

變式1在例題的條件下，求△ABC周長的范圍.

方法一 余弦定理造函數(shù)

由于周長就是三邊之和，因此可以直接運(yùn)用余弦定理找尋邊長關(guān)系，運(yùn)用消元的方法構(gòu)造出以邊c為自變量的函數(shù)，從而將三角形周長的最值轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值，運(yùn)用函數(shù)知識(shí)解決問題.

方法二 正弦定理邊化角

方法三 直觀想象探范圍

我們同樣可以結(jié)合題目條件與數(shù)據(jù)，作圖直觀呈現(xiàn)出點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)中周長的變化趨勢，從而獲得周長的范圍.

我們可以發(fā)現(xiàn)給出的角A與邊b不是對角與對邊的關(guān)系時(shí)，可以靈活地選擇正弦定理將問題轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的單調(diào)性問題；也可以選用余弦定理構(gòu)造出有關(guān)邊長的函數(shù)，再求解此函數(shù)的單調(diào)性.選用正弦定理或者余弦定理的過程雖然大不相同，但是思想一致，在解決問題的過程中盡可能根據(jù)三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行消元，構(gòu)造出函數(shù)問題，將所求的問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的值域問題.

3 對邊對角中的最值

在解決完問題之后，一定要及時(shí)地反思與回顧，進(jìn)一步地思考與探究.那么如果給出的是對邊與對角的關(guān)系，上述思想方法是否還適用？現(xiàn)代學(xué)習(xí)理論認(rèn)為有意義的學(xué)習(xí)都是在原有的認(rèn)知基礎(chǔ)上遷移而得的.在經(jīng)歷綜合運(yùn)用正余弦定理綜合解決非對邊對角的問題之后，學(xué)生不僅要掌握此類問題，還要學(xué)會(huì)將解題過程中的思想方法與部分的解決結(jié)論遷移到對邊對角類型中，通過比較分析不斷同化問題，構(gòu)建穩(wěn)定的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提升認(rèn)知水平與邏輯能力.

解：

按照前面的思維過程，我們先考慮是否可以運(yùn)用余弦定理表示找尋邊長關(guān)系進(jìn)而求解.

又由余弦定理可得，a2=b2+c2-2bccosA，即4=b2+c2-bc.

觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)，利用基本不等式進(jìn)行放縮，即可以求出bc的范圍，b2+c2-bc≥2bc-bc=bc，故bc≤4.

圖2

若是題目對三角形的形狀有限制，那么面積又在什么范圍呢？

在變式2的解答中，我們運(yùn)用余弦定理，結(jié)合基本不等式的代數(shù)計(jì)算技巧求出面積的最大值，但是無法以同樣的思想求出最小值.那么現(xiàn)在我們可以結(jié)合圖形分析三角形面積的范圍.

解：方法一 余弦定理求范圍

方法二 正弦定理邊化角

結(jié)合已有的解決問題的經(jīng)驗(yàn)，不難想到下一步是要消元，將問題轉(zhuǎn)化成求給定區(qū)間上的三角函數(shù)最值問題.

此時(shí)，需要對式子降冪，

又∵△ABC為銳角三角形，

方法三 直觀想象探范圍

圖3

考慮到銳角△ABC中，角度的范圍任意表示，這里采用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化成角，這樣容易表示變式中的條件與結(jié)論；而角度的限制不容易轉(zhuǎn)化成線段之間的關(guān)系，故在條件變式4中，筆者采用正弦定理示范解答.

解：由正弦定理可以得到，

總結(jié)：當(dāng)所給的邊角關(guān)系不是對邊與對角關(guān)系時(shí)，或者給出的銳角三角形，運(yùn)用正弦定理將問題轉(zhuǎn)化成角度，這樣有利于解決問題.如果給的是對邊與對角，則可以在余弦定理的基礎(chǔ)上靈活運(yùn)用基本不等式進(jìn)行解答.

如果題目進(jìn)一步限制三角形的形狀時(shí)，由于角度的范圍容易求得，故用正弦定理將邊長轉(zhuǎn)化成角度，更加有利于解決問題.

當(dāng)我們能綜合地運(yùn)用正余弦有關(guān)知識(shí)解決三角形面積與周長的問題之后，我們不妨思考：這些方法策略還能解決三角形中的哪些問題呢？三角形中還有三條重要的線段：角平分線、中線與高，那么如何刻畫這些線段的范圍呢？

解：方法一 向量模長求線段

此式中出現(xiàn)兩個(gè)正數(shù)的和與積的結(jié)構(gòu)，不難想到運(yùn)用余弦定理進(jìn)行消元，基本不等式求范圍.

當(dāng)然，作圖數(shù)形結(jié)合也可以解決.

方法二 直觀想象探范圍

圖4

由于中線位置特殊，此時(shí)我們可以考慮引入向量，借助向量的模長刻畫線段的長度.

由余弦定理得，c2+b2=4+bc≥2bc，解得bc≤4，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)，等號(hào)成立.

圖5

此時(shí)，讀者可以考慮在統(tǒng)一條件下的△ABC中高AD又在何范圍呢？

4 提煉總結(jié)

本文對高中階段解三角形中常見的最值問題按照非對邊對角與對邊對角兩大類型以豐富的變式對三角形的性質(zhì)如面積、周長、重要線段進(jìn)行了全面而深入的解法研究.可以看到，正弦定理與余弦定理是解決三角形最值問題的強(qiáng)有力工具，我們需要靈活地運(yùn)用正余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，將三角形的問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)特別是三角函數(shù)的最值問題，這既是求解三角形最值的通法；也是復(fù)雜的三角形問題如要求三角形為銳角三角形的優(yōu)解.當(dāng)然，通過作圖表征出三角形特點(diǎn)并直觀想象，探索規(guī)律也是很好用的辦法.在本文中，筆者從余弦定理列方程、正弦定理邊化角、直觀想象探范圍等三個(gè)思想方法一題多解，進(jìn)行解法拓展，目的是使得學(xué)生在掌握每種類型的相應(yīng)解法的同時(shí)又不囿于解題通法，鍛煉學(xué)生的邏輯思維.

5 教學(xué)啟示

在筆者看來，講授三角形最值最重要的是引導(dǎo)學(xué)生感悟上述的思想方法，剖析清楚上述思想方法在解決此類問題中發(fā)揮的作用與意義，這樣學(xué)生才能領(lǐng)悟思想本質(zhì)，形成解三角形的方法策略.當(dāng)然，題目是思想方法的載體，教師要精心挑選典型例題進(jìn)行精講，由淺到深，層層深入歸納出解三角形最值問題的通法通解，總結(jié)出解題模型.再輔以適當(dāng)?shù)淖兪接?xùn)練，努力做到深入淺出.在課上給予學(xué)生充分練習(xí)的時(shí)間，鼓勵(lì)學(xué)生積極思考、主動(dòng)探究最值問題的本質(zhì)，塑造學(xué)生在相應(yīng)題型中實(shí)用高效思維模式，以便學(xué)生能掌握并運(yùn)用有關(guān)知識(shí)；通過螺旋式教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的遷移能力，提升學(xué)生的思維水平.