郭儀昊

(江蘇省無錫市錫山區(qū)天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校，214105)

一、試題及分析

函數(shù)圖象有關(guān)的問題常常出現(xiàn)在各地中考試卷中.這類問題對(duì)學(xué)生審題能力、數(shù)形結(jié)合等思想方法的應(yīng)用要求較高.本文結(jié)合一道中考題,嘗試對(duì)函數(shù)的教學(xué)給出一些粗淺的策略．

(2021年無錫第10題)設(shè)P(x,y1),Q(x,y2)分別是函數(shù)C1,C2圖象上的點(diǎn),當(dāng)a≤x≤b時(shí),總有-1≤y1-y2≤1恒成立,則函數(shù)C1,C2在a≤x≤b上是“逼近函數(shù)”,a≤x≤b為“逼近函數(shù)區(qū)間”,則下列結(jié)論:

(1)函數(shù)y=x-5,y=3x+2在1≤x≤2上是“逼近函數(shù)”;

(2)函數(shù)y=x-5,y=x2-4x在3≤x≤4上是“逼近函數(shù)”;

(3)0≤x≤1是函數(shù)y=x2-1,y=2x2-x的“逼近區(qū)間”;

(4)2≤x≤3是函數(shù)y=x-5,y=x2-4x的“逼近區(qū)間”;

其中,正確的有( )

(A)(2)(3) (B) (1)(4)

(C)(1)(3) (D)(2) (4)

本題所涉及到的知識(shí)點(diǎn)有:一次函數(shù),二次函數(shù)以及在給定的定義域內(nèi),求出對(duì)應(yīng)函數(shù)值的差值,其中,函數(shù)是主背景圖,熟練掌握一次、二次函數(shù)的圖象是理解本題的關(guān)鍵．對(duì)于學(xué)生而言,如果在日常學(xué)習(xí)中沒有對(duì)兩個(gè)函數(shù)求差值的做題經(jīng)驗(yàn)或者不理解函數(shù)差值在圖象中是怎么體現(xiàn)的,那么題干中提到的“逼近函數(shù)”就會(huì)讓學(xué)生不知所措或者頗費(fèi)周折．優(yōu)秀的學(xué)生可能會(huì)經(jīng)歷畫圖象,找區(qū)間,求對(duì)應(yīng)函數(shù)差值的過程,從而不斷的去理解當(dāng)a≤x≤b時(shí),總有-1≤y1-y2≤1恒成立所表示的含義．筆者以一次函數(shù)應(yīng)用為例,結(jié)合具體的教學(xué)實(shí)踐闡述了如何把函數(shù)教學(xué)落實(shí)到位．

二、 課例呈現(xiàn),落實(shí)核心素養(yǎng)

函數(shù)是刻畫兩個(gè)變量之間關(guān)系的重要工具,方程是刻畫等量關(guān)系的重要工具．利用函數(shù),方程知識(shí)能有效地解決生活中的實(shí)際問題,一次函數(shù)這一章所遇到的實(shí)際問題以行程問題居多,因此,以行程問題為背景的函數(shù)建模研究對(duì)于我們進(jìn)一步理解運(yùn)用函數(shù)知識(shí)就非常有必要．

活動(dòng)1——設(shè)置生活情境,激活學(xué)生思維

問題1秋游時(shí),導(dǎo)游帶著隊(duì)伍(長度不計(jì))以60m/min的速度勻速的從三國城前往水滸城,全程600米,出發(fā)時(shí),A同學(xué)晚出發(fā)了2分鐘,為了趕上,A同學(xué)以120m/min的速度跑步追趕,結(jié)果比隊(duì)伍早到終點(diǎn)．設(shè)隊(duì)伍行走的時(shí)間為x(min),隊(duì)伍和A同學(xué)離三國城的距離分別為y1和y2,請(qǐng)寫出y1和y2關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式,并畫出圖象．

設(shè)計(jì)意圖設(shè)置學(xué)生熟悉的以秋游為背景的題目,可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情,使學(xué)生能快速的進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)．

活動(dòng)2——設(shè)置開放問題,提升思維品質(zhì)

問題2回看問題1中的畫的兩個(gè)函數(shù)圖象(如圖1),若把它們畫在一張圖上,你能提出什么問題?

生1:當(dāng)隊(duì)伍走了300米時(shí),所需時(shí)間為多少?

生2:兩圖象交點(diǎn)表示的含義是什么?

生3:幾分鐘后同學(xué)超過隊(duì)伍?

生4:隊(duì)伍和同學(xué)什么時(shí)候到達(dá)終點(diǎn)?

生5:描述兩人的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)．

……

設(shè)計(jì)意圖開放的例題可以讓學(xué)生去提問、去思、去悟,教師可以順著學(xué)生的領(lǐng)悟往下去教學(xué),從而實(shí)現(xiàn)以學(xué)定教．

活動(dòng)3——設(shè)置變式問題,拓展學(xué)生思維

問題3圖1中還有哪些量會(huì)隨著時(shí)間的改變發(fā)生變化?

生:隊(duì)伍和同學(xué)之間的距離也會(huì)隨著時(shí)間的改變發(fā)生變化．

追問:同學(xué)們能畫出其隨時(shí)間變化的圖象嗎?若能請(qǐng)以時(shí)間為x軸,隊(duì)伍和同學(xué)之間的距離為s軸,把圖象畫出來．

學(xué)生完成圖象,并展示答案．

追問:觀察圖1和圖2,同學(xué)們能找出這兩幅圖之間的聯(lián)系嗎?要找到這兩幅圖之間的聯(lián)系,要抓住圖2中的s,在圖1中怎么體現(xiàn)?

生:圖2中的s在圖1中是當(dāng)取定同一個(gè)x值時(shí),

對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的差值,也就是|y1-y2|．

追問:你能把|y1-y2|表示的含義在圖1中畫出來嗎?并描述它隨時(shí)間怎么變化的嗎?它代表的實(shí)際意義是什么?

小組合作探究,并把學(xué)生答案呈現(xiàn)在黑板上．

總結(jié):把圖3中的這些線段按時(shí)間順序依次排列得到圖4,可以發(fā)現(xiàn)組成的圖形就是我們畫的圖2,這樣我們就建立了兩幅圖之間的聯(lián)系,加深了對(duì)函數(shù)圖象的理解．

練習(xí):根據(jù)畫的兩幅圖來完成下面的題目：

(1)隊(duì)伍出發(fā)多長時(shí)間后,隊(duì)伍和A同學(xué)相距60m?

(2)若A同學(xué)到達(dá)水滸城后,立即以原速返回隊(duì)伍,你還能提出哪些問題?

設(shè)計(jì)意圖活動(dòng)三以圖象變換為明線,用一張圖來貫穿整個(gè)活動(dòng),通過引導(dǎo)學(xué)生觀察兩個(gè)圖象的特點(diǎn),幫助學(xué)生建立聯(lián)系,并引導(dǎo)學(xué)生從圖3和圖4兩個(gè)角度來解決兩人之間相距的問題,讓學(xué)生抓住數(shù)形結(jié)合的本質(zhì),高屋建瓴地從幾何法和代數(shù)法兩個(gè)角度來突破難點(diǎn)．

活動(dòng)4——設(shè)置鞏固練習(xí),強(qiáng)化思維方式

練習(xí):如圖5所示,已知一條鐵路線上有A，B，C三站,B，C兩地相距280千米,甲、乙兩列動(dòng)車分別從B，C兩地同時(shí)沿鐵路勻速相向出發(fā),向終點(diǎn)C，B站而行,甲、乙兩動(dòng)車離A地的距離y(千米)與行駛時(shí)間x(時(shí))的關(guān)系如圖6所示,根據(jù)圖象,解答以下問題．

(1)填空:路程a=______,路程b=______,點(diǎn)M的坐標(biāo)為______．

(2)求甲離A地的距離y甲與行駛時(shí)間x之間的函數(shù)關(guān)系式．

(3)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)并解釋N點(diǎn)的實(shí)際意義．

(4)補(bǔ)全動(dòng)車乙的函數(shù)圖象．

(5)畫出兩車之間的距離S與行駛時(shí)間x的大致函數(shù)關(guān)系圖象．

設(shè)計(jì)意圖練習(xí)的目的是加強(qiáng)學(xué)生讀圖、用圖、畫圖的能力．

活動(dòng)5——設(shè)置數(shù)學(xué)文化,體會(huì)數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性

某輪船公司較長時(shí)間以來,每天中午都有一艘輪船從哈佛開往紐約,并且在每天的同一時(shí)刻也有一艘輪船從紐約開往哈佛．輪船在途中所花的時(shí)間,來去都是七晝夜,而且都是勻速航行在同一條航線上．問今天中午從哈佛開出的輪船,在開往紐約的整個(gè)運(yùn)途中,將會(huì)遇到幾艘同一公司的輪船從對(duì)面開來?一位法國數(shù)學(xué)家柳卡提供了“無字的證明”,是都能看懂的圖形(圖7)．

由圖7可見,從左下角到右上角的線段,與“途中”的平行線段有15個(gè)交點(diǎn),故與同一公司從對(duì)面開來的15艘船在航行中相遇．

設(shè)計(jì)意圖最后以一則數(shù)形結(jié)合的故事結(jié)尾,讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)來源于生活更要服務(wù)于生活、不僅要用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、更要用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界．

活動(dòng)6——回顧反思

1.我是怎么學(xué)習(xí)的? 2.我還想學(xué)習(xí)什么? 3.我還有什么困惑?

三、實(shí)踐反思

1.立足核心素養(yǎng),重視直觀想象

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)最重要的概念之一，這就要求教師要將比較抽象的學(xué)習(xí)內(nèi)容轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于直觀感知的教學(xué)內(nèi)容,而函數(shù)圖象就是我們實(shí)現(xiàn)這一轉(zhuǎn)化最好的抓手．對(duì)于函數(shù)圖象的研究,應(yīng)首先通過探究圖象,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,然后探明圖象變化的趨勢(shì),以此預(yù)判函數(shù)圖象的發(fā)展,最后做到讓學(xué)生看到“看不見”的函數(shù)圖象、會(huì)數(shù)形結(jié)合地解決問題,以此來發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)．尤其對(duì)于一次函數(shù),它是學(xué)生在初中階段接觸到的第一個(gè)函數(shù),更要借由發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)．教學(xué)設(shè)計(jì)以學(xué)生熟悉的秋游為背景引出一個(gè)正比例函數(shù)及一個(gè)一次函數(shù),在列表達(dá)式的過程中完成了對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的復(fù)習(xí),然后不斷地設(shè)置開放性問題,發(fā)展了學(xué)生數(shù)學(xué)的理性思維,緊接著提出本節(jié)課的核心問題兩人之間的路程差在函數(shù)圖象上是怎么體現(xiàn)的,環(huán)環(huán)相扣,讓學(xué)生思維逐步漸入佳境,最后不僅從代數(shù)角度教給了學(xué)生如何求|y1-y2|而且從圖形的角度讓學(xué)生直觀的看到|y1-y2|所表示的線段,培養(yǎng)了學(xué)生的幾何直觀．

2.解析經(jīng)典圖象,重視挖掘聯(lián)系

在初中階段,要讓學(xué)生充分地經(jīng)歷運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法,特別是借助幾何直觀解決數(shù)學(xué)問題的過程．本節(jié)課所設(shè)計(jì)的題目并不難,也是學(xué)生在練習(xí)中經(jīng)常遇到的,但以前教師很少去深挖兩張圖之間的聯(lián)系,因此函數(shù)圖象的應(yīng)用課,不僅要幫助學(xué)生回顧舊知和運(yùn)用所學(xué),而且要讓學(xué)生能夠通過圖象直觀認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問題,能夠用圖象描述和表達(dá)熟悉的數(shù)學(xué)問題,從而啟迪學(xué)生解決這些問題的通用思路,在潛移默化中讓他們體會(huì)數(shù)形結(jié)合,落實(shí)直觀想象核心素養(yǎng)的培養(yǎng)目標(biāo)．

3.融入數(shù)學(xué)活動(dòng),促進(jìn)深度思考

教師在平時(shí)教學(xué)中要多設(shè)置開放性的數(shù)學(xué)活動(dòng),積極引導(dǎo)學(xué)生去思考,去提問,去表達(dá)心中所想,在問答過程中,就可以激活學(xué)生的思維,從而幫助學(xué)生找到解決某一類問題的通性通法,促進(jìn)學(xué)生提升分析問題和解決問題的能力．

4.培養(yǎng)理性精神,滲透數(shù)學(xué)文化

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,教師要注重培養(yǎng)學(xué)生的理性精神不能靠臆想來解決問題．如課例中的問題4的第一問,如果沒學(xué)會(huì)用圖來解決,很容易漏掉兩個(gè)答案．教師一方面要鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜測(cè)，另一方面也要強(qiáng)調(diào)小心求證,既要注重直觀想象,也要強(qiáng)調(diào)邏輯推理．教師還應(yīng)注重拓展有關(guān)數(shù)學(xué)文化背景的數(shù)學(xué)問題．比如,活動(dòng)5中的數(shù)學(xué)故事“無字的證明”,就能充分體現(xiàn)圖象在解決問題的優(yōu)越性．?dāng)?shù)學(xué)文化的合理滲透,既充分挖掘數(shù)學(xué)學(xué)科的文化內(nèi)涵,又找到了數(shù)學(xué)教學(xué)與價(jià)值引領(lǐng)的結(jié)合點(diǎn),貼近學(xué)生思想,能夠引發(fā)學(xué)生的價(jià)值認(rèn)同．